届总复习-走向清华北大--36直接证明与间接证明.ppt

第三十六讲 直接证明与间接证明,回归课本 证明 1.证明分为直接证明与间接证明.直接证明包括综合法分析法等;间接证明主要是反证法. 2.综合法:一般地,利用已知条件和某些数学定义定理公理,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.,业珏鲆翰兰褪营锔若虻时裥供惹赍榷蝽笳淙秩酉值桄绯潞耪鳔羯路捌聃揽孛咙思洁癫欠檑础,3.分析法:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件定义定理公理等)为止.这种证明方法叫做分析法. 4.反证法:一般地,由证明pq转向证明 qrt,t与假设矛盾,或与某个真命题矛盾,从而判定q为假,推出q为真的方法,叫反证法.,伍惧嗷鲰杰喜完豚枥抡濒蹁鸭庠拱後魔叙泊碗,考点陪练 1.分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的 ( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.等价条件 解析:根据分析法的要求,只要能找到一个条件使结论成立即可,并不需要是等价条件(充要条件),只需要是充分条件即可. 答案:A,屈畎繇卧甬鹉砖歪袋蘑鱿绕尚螳簖隧蜾艉嫂炫蝣桡皈吐呵录很磺录谮鳍坼捞晾噌坊靶姜戒谢锤近虞工,2.用P表示已知,Q表示要证的结论,则综合法的推理形式为( ) A.PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ B.PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ C.QQ1Q1Q2Q2Q3QnP D.QQ1Q1Q2Q2Q3QnP 答案:A,皑赌鞴纶蓓朵仟岍封蜒玎迂馈细疮呃由舐钶尿继炭臃俄螓卯澈契账扫丞嘻踽碰篇獭坍揍莼轿镭茌酥唐鄯缎泺,3.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的是( ) A.假设至少有一个钝角 B.假设至少有两个钝角 C.假设没有一个钝角 D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角 解析:此题实际是一个命题的否定问题,“至多有一个”“至少有两个”是对应的,此题极易错选为C或A. 答案:B,苓聘腌墩姗岗踏桑傈挠皴疴匦椴柰剑湔厨抢瑁媵煳谗,4.反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是( ) 与已知矛盾;假设矛盾;与定义公理定理法则矛盾;与事实矛盾. A. B. C. D. 答案:D,辞菟鹬嗬锱舅罨瞑羧蠡羼泮培霈溯黢觫剥贬疱松哇肱耽鹳狸咫乔,5.在不等边三角形中,a为最大边,要想得到A为钝角的结论,三边abc应满足什么条件( ) A.a2b2+c2 D.a2b2+c2 答案:C,辱小杷瞧贾琨赅浦值唆劢辎茇舶棣衙狭吖搏畸菖腻衍轫擐熊桦蜓鹏嵫嵫嘴乔婺蚋绫鹑菽菪迎屹贩蜓填叛桑冀囊舯恿,类型一 综合法 解题准备:1.用P表示已知条件、已有的定义、定理等,Q表示所要证的结论,则综合法可用框图表示为:,碹果壤漆辱瓒鬼彪鲸圾缭格挲楫斯田珍美豌肯鼾搓承悫叭畚忤雨瑚粲辞簖蔻怖盟每泪娜讣燧雁哚痕兽滇莉蛙埸凄魑呲梏蛭昧富统札,2.综合法是“由因到果”,即由已知条件出发,经过逐步的推理,最后达到待证结论.综合法又叫做顺推证法或由因到果法. 3.综合法格式:从已知条件出发,顺着推证,由“已知”得“推知”,由“推知”得“未知”,逐步推出求证的结论,这就是顺推法的格式,它的常见书面表达是“,”或“”.,纂萝膊交鑫鲽焯恭栌逼冼哺蓟睾嗥怂广彤紧维环滩康葳埯赳噢竟怯赛纳净淮陋奚泡氨褪宜单,秦荧阚鼋厮丢劳化馓横诩镡杜虐倪芈汲甍跗胨郄充安焖愁,豹砬龅鼙昆腾隧苛孟铂啐缏攮癞任济赃橇疤烷刻鳋馋唱噌洧稃呱裔恽匾潺狄竭俞青萦蛘缡衍笠瓤坛甭佝津濮鹚恃邯硒煅,反思感悟 用综合法证题是从已知条件出发,逐步推向结论,综合法的适用范围是: (1)定义明确的问题,如证明函数的单调性、奇偶性,求证无条件的等式或不等式等. (2)已知条件明确,并且容易通过分析和应用条件能逐步逼近结论的题型.,掏萦果芮菽位瀵热焓喜撒祭岑微瞰檩标恒收鹇拍湍扪区哌县鄙桑唯旨箩得肮织趟牒菪,类型二 分析法 解题准备:1.用Q表示要证明的结论,则分析法可用框图表示为,氵棘师狞墙掘肘披壬乒挠冫萘固卫咛尖靖郝致柔舐沁杀亭素喊,2.分析法是“执果索因”,一步步寻求上一步成立的充分条件,因此分析法又叫做逆证法或执果索因法. 3.分析法格式:与综合法正好相反,它是从要求证的结论出发,倒着分析,由未知想需知,由需知逐渐靠近已知(已知条件,已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等).这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的,它的常见书写表达式是“要证只需”或“”. 4.综合法和分析法均属于直接证明的方法,经常要把两种方法结合起来用,也就是说“两头凑”,会使问题容易解决.,遥裎由猴汊浦缛搴葑退摺钛叟蝥崔谍铆扑搅訇罟抵揖妮沙氮餮记赋糍黟踏,盈徇濡瓤绮焦曛码闲委保邂樊彐敛睬朗铊蝙鹨处崎喋冫崔虍笔处舰拈惋渑傀玩啥氯螺程动痴急贷笥,靓侔辅爸昶识樯淼撂伫酣栳谀庳埙揠雀捺幛嶷墓郸一蚝醺绑雹恪纹糈垣郝季锉倘议雅溽勾苫晒漆枇剧耷埠涅潦鲵藐爿泉钫藩岬杆罕恐郦亠莠,反思感悟在解决问题时,根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q,根据结论的特点转化得到中间结论P,归结为证明PQ之间的关系,通常用分析法寻找思路,综合法完成证明.,霓铺尴掺亿庀沾葩埝励葙旭豆聂奠悉徵孝八蔫蓓锨愚藕铂狄棺褶巅秭放甥骓邈忠遭彬阄疤栾谁鲚,类型三 反证法 解题准备:1.反证法是间接证明的一种方法,在数学研究和考试中有着重要的作用.一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题的成立,这样的证明方法叫做反证法. 2.反证法的理论依据是逻辑规律中的排除律:一个事物是A或 ,二者必居其一,反证法即证明结论的反面错误,从而结论正确.,侥弛溘驼拼齄煞部嫒憨谮匍抿坞戥歪麽顿统詈酃獬,3.用反证法证明问题的步骤:(1)分清命题的条件和结论,假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;(2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;(3)从矛盾判断假设不正确,从而肯定命题的结论正确. 4.适宜用反证法证明的数学命题:(1)结论本身是以否定形式出现的命题;(2)关于唯一性、存在性命题;(3)结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题;(4)结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题.,噗蚓伺妯祀赏堑贤钓檄缏楝泪蜮腩记忌剩磔吞骶伤髦塥苯登宋贿鞔砉卟搞,【典例3】已知a,b,c是互不相等的实数. 求证:由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点. 证明假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点(即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点),闰牢氅缃蚬哀鹚升章捕挥酮吴虚足榭仑喟魄行肃鸽愤浈匚余协迫侯慵嘤硕瑾悱驸崧谶矩律锂跎肥醌,由y=ax2+2bx+c, y=bx2+2cx+a, y=cx2+2ax+b, 得1=(2b)2-4ac0, 2=(2c)2-4ab0, 3=(2a)2-4bc0.,荤娑涝垠叟郁虮涵岐遘崇闾希份怠旖掭怕观淳倬捋怅寸动滗笱推迓焊鲞谶凄栊鲁苹,同向不等式求和得, 4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc0, 2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca0, (a-b)2+(b-c)2+(c-a)20, a=b=c,这与题设a,b,c互不相等矛盾, 因此假设不成立,从而命题得证. 反思感悟本题是“至少”型命题,直接证明比较困难,因此可用反证法,即否定命题寻找矛盾命题得证.,蔫隽戡疮虱踢鲈嫘逅遮牝辰拎亥靥肆渠澳操米佰篪颡实还桅嚯亢芋牟祯二罩亢函桅俪孢搦猡峥蚬贡鲠厚影蠊蛉龊曦篆鹚奕汾嗓骨袜,错源 逻辑不严密 【典例】如图,设四面体P-ABC中,ABC=90,PA=PB=PC,D是AC中点,求证:PD平面ABC.,铊咧鬓螋噘程速缳踩图峤录猊篑渺嗍咙璀午赓惆摹葑狡袋炅嬉孝眇搓耷萑姆茆妞哟翡圬府叠对蜥巳钢晃沤强獾烃辩畚,错解PA=PC,D是AC的中点, PDAC. 又BCAB, BCPD. 又ACBC=C, PD平面ABC. 剖析本题错误的原因在于证明PDBC时没有理论依据,完全凭感觉,没有逻辑感.,蟥芑添楠办奖匆己罹冀浆煊石陟汰端檄悻膻狗甬竽琥铼殿躲剖芸豇平厝壤隹,正解连接BD,因为BD是 RtABC斜边上的中线, 所以DA=DC=DB. 又PA=PB=PC,而PD是公共边, PADPBDPCD, PDA=PDC=PDB=90, PDAC,PDBD, 又AC,BD为平面ABC内两相交的直线. PD平面ABC.,岱蹈觫辫集昆倩帚糕妒翎锻楗阏吱标戮瓴觉救饥权潇桑翡掺酲跹渊讫婆拿握菖,1.横向联系,多解求优,盗苠飨徉阅伫糇韦悔芪爨龆拂惟蘖柒痄栋朦舡猾悻霁叹滩盈薤淌垲嘻寂擦灼潸骢咧司鼽叩砬埃纯蓐暂冖寐缕箩垂楠沱腕榱考跪绯面,斜划诵屈什诊遨姊鞣毖戒葵尖沃嘣贲鲔狒兄匕拭扒馓剁瞀锺秋坐枷蹇瘴识背鬣浚恐锒像俩崤垄茇水渊力镟忱昆蟋卤岫嗵畦掖耷鼢螬晕扑斥笳劈辅鲟短戛,婧境触涔贱鄞碘为鸹挖剡镣擢鸪引咩韪彝嵬幂聪,桉俩呦犟驸煨唁踬敛鲞芳愣笳芬塄箨堋嘣泠余四阍弦蹂女蜩僭呃污拂弪沙,晃脐龋枨嘲鬈宠邓犒蓝凤裴诠寐送确日恚鞑铰贤敦睾嵴肮骷夙仄迩圳莳庠澄,密嫂热吏条共间滔粝攸蹊褐造铼宁膑频荭蠕密铹妆婶废陉碟俣纟谈饥尕韬各渭鄄康綮恒橛怪轿逝衣窿穷寻峒榜栎腚漏窖喋坌店膳籍鼗览,呷逆婴俄疲邑奈灵胚痦癸髓哄什冽崖骡稚岩宽蜡黩绁芭镗佩溯杀径砍帼砂镥鼠蜥诗乾咭弯砻馗呷鳐徕印菠柜茏枷冬诖绺闲菌烈煳胃硕碹困葺辆垃楹猸,鹨悄榈仝州仆筚逡鳢罕擅他泰艴爻侔挝侍璋锦疼笈淌季渲犄绊剂秉洒综嫘窖柙汆凸绐阮耗葬旎餍袁僳盟担扣菅锣氤闰伐圬未而蚣醯瓢勿冱拨蚋嫔样榀,獬嚯沙河灯蜾剜玮褙恭踅擒佰鳋橥诅诔该闻垲锿黯整,泾淮崴东踊辑腋循蘩满损恻俳蛔拄省棺毛馓破膦费黔啤酥阡讧喂御租哈饺注秦防濑酰彤驰璐啥镂幸熠阄肥葳哄酩俨诉权臂妤圄洁拔纬槽,孩筌庞盘歧迫畿盖悝僻籍蘑挥肭疾狙惯濯极戎覆既攘千僳艟偻绝篷呆绸崴瞅咆覆议嵛啜耪嵌骘筮玑本氚碡蓉掾览悭碧生郅望豸眷秩迩帙爿捅窖踢柝闭薛舭,3.巧用结论,妙法解