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文档简介
第三节 导数与函数的极值、最值限时规范训练(限时练夯基练提能练)A级基础夯实练1(2018聊城二模)下列函数中,既是奇函数又存在极值的是()Ayx3Byln(x)Cyxex Dyx解析:选D.由题可知,B,C选项中的函数不是奇函数;A选项中,函数yx3单调递增(无极值);D选项中的函数既为奇函数又存在极值2(2018南京模拟)函数f(x)x25x2ex的极值点所在的区间为()A(0,1) B(1,0)C(1,2) D(2,1)解析:选A.f(x)2x52ex为增函数,f(0)30,f(1)2e30,f(x)2x52ex的零点在区间(0,1)上,f(x)x25x2ex的极值点在区间(0,1)上3(2018南昌调研)已知e为自然对数的底数,设函数f(x)(ex1)(x1)k(k1,2),则()A当k1时,f(x)在x1处取得极小值B当k1时,f(x)在x1处取得极大值C当k2时,f(x)在x1处取得极小值D当k2时,f(x)在x1处取得极大值解析:选C.当k1时,f(x)exx1,f(1)0,x1不是f(x)的极值点当k2时,f(x)(x1)(xexex2),显然f(1)0,且在x1附近的左侧f(x)0,当x1时,f(x)0,f(x)在x1处取得极小值故选C.4(2018佛山调研)设函数f(x)ax2bxc(a,b,cR)若x1为函数f(x)ex的一个极值点,则下列图象不可能为yf(x)图象的是()解析:选D.因为f(x)exf(x)exf(x)(ex)f(x)f(x)ex,且x1为函数f(x)ex的一个极值点,所以f(1)f(1)0;选项D中,f(1)0,f(1)0,不满足f(1)f(1)0.5(2018山东临沂模拟)已知yf(x)是奇函数,当x(0,2)时,f(x)ln xax,当x(2,0)时,f(x)的最小值为1,则a()A. BC. D1解析:选D.因为f(x)是奇函数,所以f(x)在(0,2)上的最大值为1.当x(0,2)时,f(x)a,令f(x)0,得x,又a,所以02.当x时,f(x)0,f(x)在上单调递增;当x时,f(x)0,f(x)在上单调递减,所以f(x)maxfln a1,解得a1.6(2018南通调研)已知函数f(x)2f(1)ln xx,则f(x)的极大值为_解析:因为f(x)1,所以f(1)2f(1)1,所以f(1)1,故f(x)2ln xx,f(x)1,则f(x)在(0,2)上为增函数,在(2,)上为减函数,所以当x2时f(x)取得极大值,且f(x)极大值f(2)2ln 22.答案:2ln 227(2018大同模拟)f(x)x(xc)2在x2处有极大值,则常数c的值为_解析:f(x)x32cx2c2x,f(x)3x24cxc2,f(2)0c2或c6,若c2,f(x)3x28x4,令f(x)0x或x2,f(x)0x2,故函数在及(2,)上单调递增,在上单调递减,所以x2是极小值点,故c2(不合题意,舍去),c6.答案:68(2018遵义模拟)不等式exkx对任意实数x恒成立,则实数k的最大值为_解析:(1)不等式exkx对任意实数x恒成立,即为f(x)exkx0恒成立,即有f(x)min0,由f(x)的导数为f(x)exk,当k0时,ex0,可得f(x)0恒成立,f(x)递增,无最值;当k0时,xln k时f(x)0,f(x)递增;xln k时f(x)0,f(x)递减即在xln k处取得最小值,且为kkln k,由kkln k0,解得ke,即k的最大值为e.答案:e9已知函数f(x)(a0)的导函数yf(x)的两个零点为3和0.(1)求f(x)的单调区间(2)若f(x)的极小值为e3,求f(x)在区间5,)上的最大值解:(1)f(x),令g(x)ax2(2ab)xbc,因为ex0,所以yf(x)的零点就是g(x)ax2(2ab)xbc的零点,且f(x)与g(x)符号相同又因为a0,所以3x0时,g(x)0,即f(x)0,当x3或x0时,g(x)0,即f(x)0,所以f(x)的单调增区间是(3,0),单调减区间是(,3),(0,)(2)由(1)知,x3是f(x)的极小值点,所以有解得a1,b5,c5,所以f(x).因为f(x)的单调增区间是(3,0),单调减区间是(,3),(0,),所以f(0)5为函数f(x)的极大值,故f(x)在区间5,)上的最大值取f(5)和f(0)中的最大者而f(5)5e55f(0),所以函数f(x)在区间5,)上的最大值是5e5.10已知常数a0,f(x)aln x2x.(1)当a4时,求f(x)的极值;(2)当f(x)的最小值不小于a时,求实数a的取值范围解:(1)由已知得f(x)的定义域为x(0,),f(x)2.当a4时,f(x).当0x2时,f(x)0,即f(x)单调递减;当x2时,f(x)0,即f(x)单调递增f(x)只有极小值,且在x2时,f(x)取得极小值f(2)44ln 2,无极大值(2)f(x),当a0,x(0,)时,f(x)0,即f(x)在x(0,)上单调递增,没有最小值;当a0时,由f(x)0得,x,f(x)在上单调递增;由f(x)0得,0x,f(x)在上单调递减当a0时,f(x)的最小值为faln2.根据题意得faln2a,即aln(a)ln 20.a0,ln(a)ln 20,解得2a0,实数a的取值范围是2,0)B级能力提升练11设函数f(x)的定义域为R,x0(x00)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是()AxR,f(x)f(x0)Bx0是f(x)的极小值点Cx0是f(x)的极小值点Dx0是f(x)的极小值点解析:选D.函数f(x)的极大值f(x0)不一定是最大值,故A错误;f(x)与f(x)关于原点对称,故x0(x00)是f(x)的极大值点时,x0是f(x)的极小值点,故选D.12(2018武汉模拟)若函数f(x)2x2ln x在其定义域内的一个子区间(k1,k1)内存在最小值,则实数k的取值范围是()A1,) BC1,2) D解析:选B.因为f(x)的定义域为(0,),又因为f(x)4x,所以由f(x)0解得x,由题意得解得1k.13(2018江苏卷)若函数f(x)2x3ax21(aR)在(0,)内有且只有一个零点,则f(x)在1,1上的最大值与最小值的和为_解析:f(x)6x22ax2x(3xa)(x0)当a0时,f(x)0,f(x)在(0,)上递增,又f(0)1,f(x)在(0,)上无零点当a0时,由f(x)0解得x,由f(x)0解得0x,f(x)在上递减,在上递增又f(x)只有一个零点,f10,a3.此时f(x)2x33x21,f(x)6x(x1),当x1,1时,f(x)在1,0上递增,在0,1上递减又f(1)0,f(1)4,f(x)maxf(x)minf(0)f(1)143.答案:314(2018北京卷)设函数f(x)ax2(4a1)x4a3ex.(1)若曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线与x轴平行,求a;(2)若f(x)在x2处取得极小值,求a的取值范围解:(1)因为f(x)ax2(4a1)x4a3ex,所以f(x)ax2(2a1)x2ex.f(1)(1a)e.由题设知f(1)0,即(1a)e0,解得a1.此时f(1)3e0.所以a的值为1.(2)由(1)得f(x)ax2(2a1)x2ex(ax1)(x2)ex.若a,则当x时,f(x)0;当x(2,)时,f(x)0.所以f(x)在x2处取得极小值若a,则当x(0,2)时,x20,ax1x10,所以f(x)0.所以2不是f(x)的极小值点综上可知,a的取值范围是.15(2017浙江卷)已知函数f(x)(x)ex.(1)求f(x)的导函数;(2)求f(x)在区间上的取值范围解:(1)因为(x)1,(ex)ex,所以f(x)ex(x)ex.(2)由f(x)0,解得x1或x.因为x1f(x)00f(x)e0e又f(x)(1)2ex0,所以f(x)在区间上的取值范围是.C级素养加强练16(2018辽宁省五校联考)已知函数f(x)2ln xx22ax(a0)(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数f(x)有两个极值点x1,x2(x1x2),且f(x1)f(x2)2ln 2恒成立,求a的取值范围解:(1)由题意知,函数f(x)的定义域是(0,),f(x),令x2ax10,则a24,当0a2时,0,f(x)0恒成立,函数f(x)在(0,)上单调递增;当a2时,0,方程x2ax10有两个不同的实根,分别设为x3,x4,不妨令x3x4,则x3,x4,此时0x3x4,因为当x(0,x3)时,f(x)0,当x(x3,x4)时,f(x)0,当x(x4,)时,f(x)0,所以函数f(x)在上单调递增,在上单调递减,在(,)上单调递增(2)由(1)得f(x)在(x1,x2)上单调递减,x1x2a,x1x21,则f(x1)f(x2)2
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