《误差理论与测量平差基础教学课件》第十一讲.ppt

第三章 条 件 平 差 Conditional Least-Squares Adjustment 1、The Concept of Conditional LS Adjustment 2、Conditional Equation 3、Normal Equation 第十一讲 条件平差原理 Principle of Conditional Least-Squares Adjustment 4、Example 1、The Concept of Conditional LS Adjustment 第十一讲 条件平差原理 Principle of Conditional Least-Squares Adjustment 1）Description 当以全部观测量的最或然值作未知参数时，由 于有多余观测，这些未知数之间必定构成一定 数学关系。如果一个几何模型中，有r个多余 观测，就产生r个条件方程，以条件方程为函 数模型的平差方法，就是条件平差。 2）Example 1、The Concept of Conditional LS Adjustment 第十一讲 条件平差原理 Principle of Conditional Least-Squares Adjustment 2）Example 例1 如一平面三角形内角观测值为 ， 取相应的最或然值 为未知数，则应有 关系式 令，则 1、The Concept of Conditional LS Adjustment 第十一讲 条件平差原理 Principle of Conditional Least-Squares Adjustment 2）Example 例2 水准网中（箭头指向高端） ，设观测高差 的最或 然值 为未知数，则 有 令，则 h5 h4 h3 h2 h1 D C B A 1、The Concept of Conditional LS Adjustment 第十一讲 条件平差原理 Principle of Conditional Least-Squares Adjustment 3）Note a. Number of equations=Number of redundant b. Insure that the equations are linearly independent c. Make sure that each observation appears at least once in the conditional equations d. r=n-t 2、Conditional Equation 第十一讲 条件平差原理 Principle of Conditional Least-Squares Adjustment 1）General Form of Conditional Equation 观测值的个数 为n，多余观测 个数为r 设： Conditional Equation: 或 Stochastic Model: 2、Conditional Equation 第十一讲 条件平差原理 Principle of Conditional Least-Squares Adjustment 2）No-Linear Form 线性化，取至一次项 或 2、Conditional Equation 第十一讲 条件平差原理 Principle of Conditional Least-Squares Adjustment 2）No-Linear Form 令 于是 2、Conditional Equation 第十一讲 条件平差原理 Principle of Conditional Least-Squares Adjustment 3）Example A B C P 1 2 3 4 5 6 在三角形中，设有一 插点图形，其中A、B 、C为已知点，P为未 知点，设角度观测值为 Li ，相应的平差值为 列出条件方程 2、Conditional Equation 1.图形条件（2） 条件数（r）总观测数（n） 必需观测数（t，未知参数个 数） 2.方位角条件（1） A B C P 1 2 3 4 5 6 2、Conditional Equation 条件数（r）总观测数（n） 必需观测数（t，未知参数个 数） 3.固定边条件（1） A B C P 1 2 3 4 5 6 固定边条件方程线形化 取对数 2、Conditional Equation A B C P 1 2 3 4 5 6 线形化 2、Conditional Equation A B C P 1 2 3 4 5 6 实际计算时，自由项和系数都乘 以 多元函数的条件极值 （1）消元法 （2）拉格朗日乘数法 的条件极值。 多元函数的条件极值 （1）消元法 的条件极值。 多元函数的条件极值 （2）拉格朗日乘数法 多元函数的条件极值 极值方程： 设： 多元函数的条件极值 设： 极值方程： 第十一讲 条件平差原理 Principle of Conditional Least-Squares Adjustment 条件平差就是： 3、Normal Equation 求函数 在条件 下的极小值点。 第十一讲 条件平差原理 Principle of Conditional Least-Squares Adjustment 3、Normal Equation 条件方程： 设辅助函数 观测值权逆阵： 估值准则： 得 上式代入条件方程，得： 极值方程 改正数方程 联系数法方程 设 第十一讲 条件平差原理 Principle of Conditional Least-Squares Adjustment 解得法方程 3、Normal Equation 式中 联系数向量 系数阵 回代求解 第十一讲 条件平差原理 Principle of Conditional Least-Squares Adjustment Note 3、Normal Equation 1法方程的阶数：N是rr阶矩阵 2法方程系数阵的秩rk（N）rk（B）r 3当rk（B）r时，称B矩阵行满秩，此时N为 满秩矩阵，法方程有唯一解 4、Steps of Conditional LS Adjustment 第十一讲 条件平差原理 Principle of Conditional Least-Squares Adjustment 1. 根据实际问题的性质及观测量的情况，列出条件方程式。 条件方程式的个数等于多余观测数 2. 由条件方程式组成联系数法方程，法方程的个数等于多余 观测数 3. 解算法方程，求出联系数 4. 将 代入改正数方程式，求出V值，并求观测值的最或然值 5. 为了检验平差计算的正确性，常常要将各最或然值 代入原 条件方程式，看其是否闭合 6. 精度估计 参数平差 （1）只有存在多余观测才存在平差问题。 （2）参数平差的未知参数的个数等于必 需观测个数。方程个数等于观测总 数 （3）未知参数必须独立。即未知参数之 间不存在条件关系。 （6）平差包括精度估计。 （5）误差方程可以是线性也可以是非线 性的，非线性的误差方程要线性化 之后，再进行最小二乘平差。 （4）未知参数可以是直接观测量，也可 以是间接观测量。所以参数平差也 叫间接平差。 条件平差 （1）只有存在多余观测才存在平差问题 （2）条件平差未知数个数等于观测总数 条件方程个数等于多余观测数 （3）条件方程之间必须独立。 （6）平差包括精度估计。 （5）条件方程可以是线性也可以是非线 性的，非线性的条件方程要线性化 之后，再进行最小二乘平差。 （4）未知数是观测值的改正数。 注意：参数平差与条件平差结果相同。 比 较 与 分 析 5、Example 第十一讲 条件平差原理 Principle of Conditional Least-Squares Adjustment 1） 仍以前一章的单三角形为例，设三内角观测值为 试按条件平差法求各观测角的最或然值。 解： 第十一讲 条件平差原理 Principle of Conditional Least-Squares Adjustment 1 判断条件数 观测总数n3，必需观测数t2，多余观测数r1 2 列条件方程 解： 第十一讲 条件平差原理 Principle of Conditional Least-Squares Adjustment 1 判断条件数 2 列条件方程 3 组成联系数法方程 4 解法方程 解： 第十一讲 条件平差原理 Principle of Conditional Least-Squares Adjustment 1 判断条件数 2 列条件方程 3 组成联系数法方程 4 解法方程 5 回代入改正数方程，求残差向量和观测值平差值 6 检核 5、Example 2） 在图所示的水准网中，设每单 位路线长度测得的高差精度相 同，各观测高差及路线长度见 表试用条件平差法求各高差的 最或然值。 h5 h4 h3 h2 h1 D C B A 编号路线长（km）观测高差（m） 1102.42 2516.14 3 550.56 4518.62 5534.35 解： 第十一讲 条件平差原理 Principle of Conditional Least-Squares Adjustment 1 判断条件数，确定权逆阵 观测总数n5，必需观测数t3，多余观测数r2 取最短路线为单位权，使得各权倒数均为整数。本题 中，令5km高差的权为1，于是 2 列条件方程 解： 第十一讲 条件平差原理 Principle of Conditional Least-Squares Adjustment 1 判断条件数 2 列条件方程 3 组成联系数法方程 4