北师大版八年级数学上册教案-pdf-02-第二章 分解因式.pdf

第二章第二章 分解因式分解因式 目录目录 第二章 分解因式 . 1 2.1 分解因式 . 1 2.2.1 提公因式法（一） . 5 2.2.2 提公因式法（二） . 8 2.3.1 运用公式法（一） . 11 2.3.2 运用公式法（二） . 16 2.4 回顾与思考 . 21 本章检测题 . 25 课时安排 6 课时 第一课时 课 题 2.1 分解因式分解因式 教学目标 （一）教学知识点 使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系. （二）能力训练要求 通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力. （三）情感与价值观要求 通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系. 教学重点 1.理解因式分解的意义. 2.识别分解因式与整式乘法的关系. 教学难点 通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系. 教学方法 观察讨论法 教具准备 投影片一张 记作（2.1 a） 教学过程 .创设问题情境,引入新课 师大家会计算（a+b）（ab）吗？ 2011-10-10 10:28:15 共 26 页 第 1 页 生会.（a+b）（ab）=a2b2. 师对，这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的.从式子（a+b） （ab）=a2b2中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边 呢？即 a2b2=（a+b）（ab）是否成立呢？ 生能从等号右边推出等号左边，因为多项式 a2b2与（a+b）（ab）既然相 等，那么两个式子交换一下位置还成立. 师很好，a2b2=（a+b）（ab）是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即 将学习的内容：因式分解的问题. .讲授新课 1.讨论 99399能被 100 整除吗？你是怎样想的？与同伴交流. 生99399能被 100 整除. 因为 99399 =9999299 =99（9921） =999800 =9998100 其中有一个因数为 100，所以 99399 能被 100整除. 师99399还能被哪些正整数整除？ 生还能被 99，98,980,990,9702等整除. 师从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的 形式. 2.议一议 你能尝试把 a3a 化成 n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流. 师大家可以观察 a3a 与 99399这两个代数式. 生a3a=a（a21）=a（a1）（a+1） 3.做一做 （1）计算下列各式： （m+4）（m4）=_; （y3）2=_; 3x（x1）=_; m（a+b+c）=_; a（a+1）（a1）=_. 生解：（m+4）（m4）=m216; （y3）2=y26y+9; 3x（x1）=3x23x; m（a+b+c）=ma+mb+mc; a（a+1）（a1）=a（a21）=a3a. （2）根据上面的算式填空： 3x23x=（ ）（ ）; m216=（ ）（ ）; ma+mb+mc=（ ）（ ）; y26y+9=（ ）2. a3a=（ ）（ ）. 生把等号左右两边的式子调换一下即可.即： 3x23x=3x（x1）; m216=（m+4）（m4）; ma+mb+mc=m（a+b+c）; y26y+9=（y3）2; a3a=a（a21）=a（a+1）（a1）. 师能分析一下两个题中的形式变换吗？ 生在（1）中，等号左边都是乘积的形式，等号右边都是多项式；在（2）中正好 2011-10-10 10:28:15 共 26 页 第 2 页 相反，等号左边是多项式的形式，等号右边是整式乘积的形式. 师在（1）中我们知道从左边推右边是整式乘法；在（2）中由多项式推出整式乘 积的形式是因式分解. 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式 （factorization）. 4.想一想 由 a（a+1）（a1）得到 a3a 的变形是什么运算？由 a3a 得到 a（a+1）（a1） 的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？ 生由 a（a+1）（a1）得到 a3a 的变形是整式乘法，由 a3a 得到 a（a+1） （a1）的变形是分解因式，这两种过程正好相反. 生由（a+b）（ab）=a2b2可知，左边是整式乘法，右边是一个多项式；由 a2 b2=（a+b）（ab）来看，左边是一个多项式，右边是整式的乘积形式，所以这两个过 程正好相反. 师非常棒.下面我们一起来总结一下. 如：m（a+b+c）=ma+mb+mc （1） ma+mb+mc=m（a+b+c） （2） 联系：等式（1）和（2）是同一个多项式的两种不同表现形式. 区别：等式（1）是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算. 等式（2）是把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解. 即 ma+mb+mc m（a+b+c）. 所以，因式分解与整式乘法是相反方向的变形. 5.例题 投影片（2.1 a） 下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？ （1）4a（a+2b）=4a2+8ab; （2）6ax3ax2=3ax（2x）; （3）a24=（a+2）（a2）; （4）x23x+2=x（x3）+2. 生（1）左边是整式乘积的形式，右边是一个多项式，因此从左到右是整式乘法， 而不是因式分解； （2）左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式，因此从左到右的变形是因式分 解； （3）和（2）相同，是因式分解； （4）是因式分解. 师大家认可吗？ 生第（4）题不对，因为虽然 x23x=x（x3），但是等号右边 x（x3）+2 整体 来说它还是一个多项式的形式，而不是乘积的形式，所以（4）的变形不是因式分解. .课堂练习 连一连 解： .课时小结 本节课学习了因式分解的意义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式；还学习了 整式乘法与分解因式的关系是相反方向的变形. .课后作业 2011-10-10 10:28:16 共 26 页 第 3 页 习题 2.1 1.连一连 解： 2.解：（2）、（3）是分解因式. 3.因 19992+1999=1999（1999+1）=19992000，所以 19992+1999 能被 1999 整除，也 能被 2000 整除. （2）因为 16.9 8 1 +15.1 8 1 = 8 1 （16.9+15.1） = 8 1 32=4 所以 16.9 8 1 +15.1 8 1 能被 4整除. 4.解：当 r1=19.2,r2=32.4,r3=35.4,i=2.5时， ir1+ir2+ir3 =i（r1+r2+r3） =2.5（19.2+32.4+35.4） =2.587 =217.5 .活动与探究 已知 a=2,b=3,c=5. 求代数式 a（a+bc）+b（a+bc）+c（cab）的值. 解：当 a=2,b=3,c=5 时， a（a+bc）+b（a+bc）+c（cab） =a（a+bc）+b（a+bc）c（a+bc） =（a+bc）（a+bc） =（2+35）2=0 板书设计 2.1 分解因式 一、1.讨论 99399能被 100 整除吗？ 2.议一议 3.做一做 4.想一想（讨论整式乘法与分解因式的联系与区别） 5.例题讲解 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业 第二课时 课 题 2011-10-10 10:28:17 共 26 页 第 4 页 2.2.1 提公因式法（一）提公因式法（一） 教学目标教学目标 （一）教学知识点 让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式. （二）能力训练要求 通过找公因式，培养学生的观察能力. （三）情感与价值观要求 在用提公因式法分解因式时，先让学生自己找公因式，然后大家讨论结果的正确性， 让学生养成独立思考的习惯，同时培养学生的合作交流意识，还能使学生初步感到因式分 解在简化计算中将会起到很大的作用. 教学重点 能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来. 教学难点 让学生识别多项式的公因式. 教学方法 独立思考合作交流法. 教具准备 投影片两张 第一张（记作2.2.1 a） 第二张（记作2.2.1 b） 教学过程 .创设问题情境,引入新课 投影片（2.2.1 a） 一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为 4 3 ， 2 3 ， 4 7 ，宽都是 2 1 ,求这块场地 的面积. 解法一：s= 2 1 4 3 + 2 1 2 3 + 2 1 4 7 = 8 3 + 4 3 + 8 7 =2 解法二：s= 2 1 4 3 + 2 1 2 3 + 2 1 4 7 = 2 1 （ 4 3 + 2 3 + 4 7 ）= 2 1 4=2 师从上面的解答过程看，解法一是按运算顺序：先算乘，再算和进行的，解法二 是先逆用分配律算和，再计算一次乘，由此可知解法二要简单一些.这个事实说明，有时我 们需要将多项式化为积的形式，而提取公因式就是化积的一种方法. .新课讲解 1.公因式与提公因式法分解因式的概念. 师若将刚才的问题一般化，即三个矩形的长分别为 a、b、c，宽都是 m，则这块 场地的面积为 ma+mb+mc,或 m（a+b+c），可以用等号来连接. ma+mb+mc=m（a+b+c） 从上面的等式中，大家注意观察等式左边的每一项有什么特点？各项之间有什么联 系？等式右边的项有什么特点？ 生等式左边的每一项都含有因式 m，等式右边是 m 与多项式（a+b+c）的乘积， 从左边到右边是分解因式. 师由于 m是左边多项式 ma+mb+mc 的各项 ma、mb、mc的一个公共因式，因此 m 叫做这个多项式的各项的公因式. 由上式可知，把多项式 ma+mb+mc 写成 m 与（a+b+c）的乘积的形式，相当于把公因 式 m 从各项中提出来，作为多项式 ma+mb+mc 的一个因式，把 m 从多项式 ma+mb+mc 各 项中提出后形成的多项式（a+b+c），作为多项式 ma+mb+mc 的另一个因式，这种分解因 2011-10-10 10:28:17 共 26 页 第 5 页 式的方法叫做提公因式法. 2.例题讲解 例 1将下列各式分解因式： （1）3x+6; （2）7x221x; （3）8a3b212ab3c+abc （4）24x312x2+28x. 分析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来. 师请大家互相交流. 生解：（1）3x+6=3x+32=3（x+2）; （2）7x221x=7xx7x3=7x（x3）; （3）8a3b212ab3c+abc =8a2bab12b2cab+abc =ab（8a2b12b2c+c） （4）24x312x2+28x =4x（6x2+3x7） 3.议一议 师通过刚才的练习，下面大家互相交流，总结出找公因式的一般步骤. 生首先找各项系数的最大公约数，如 8和 12 的最大公约数是 4. 其次找各项中含有的相同的字母，如（3）中相同的字母有 ab,相同字母的指数取次数 最低的. 4.想一想 师大家总结得非常棒.从例 1 中能否看出提公因式法分解因式与单项式乘以多项式 有什么关系？ 生提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式. .课堂练习 （一）随堂练习 1.写出下列多项式各项的公因式. （1）ma+mb （m） （2）4kx8ky （4k） （3）5y3+20y2 （5y2） （4）a2b2ab2+ab （ab） 2.把下列各式分解因式 （1）8x72=8（x9） （2）a2b5ab=ab（a5） （3）4m36m2=2m2（2m3） （4）a2b5ab+9b=b（a25a+9） （5）a2+abac=（a2ab+ac）=a（ab+c） （6）2x3+4x22x=（2x34x2+2x）=2x（x22x+1） （二）补充练习 投影片（2.2.1 b） 把 3x26xy+x分解因式 生解：3x26xy+x=x（3x6y） 师大家同意他的做法吗？ 生不同意. 改正：3x26xy+x=x（3x6y+1） 师后面的解法是正确的，出现错误的原因是受到 1 作为项的系数通常可以省略的 影响，而在本题中是作为单独一项，所以不能省略，如果省略就少了一项，当然不正确， 所以多项式中某一项作为公因式被提取后，这项的位置上应是 1，不能省略或漏掉. 在分解因式时应如何减少上述错误呢？ 将 x写成 x1,这样可知提出一个因式 x后，另一个因式是 1. 2011-10-10 10:28:18 共 26 页 第 6 页 .课时小结 1.提公因式法分解因式的一般形式，如： ma+mb+mc=m（a+b+c）. 这里的字母 a、b、c、m可以是一个系数不为 1的、多字母的、幂指数大于 1的单项式. 2.提公因式法分解因式，关键在于观察、发现多项式的公因式. 3.找公因式的一般步骤 （1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数； （2）取相同的字母，字母的指数取较低的； （3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的. （4）所有这些因式的乘积即为公因式. 4.初学提公因式法分解因式，最好先在各项中将公因式分解出来，如果这项就是公因 式，也要将它写成乘 1的形式，这样可以防范错误，即漏项的错误发生. 5.公因式相差符号的，如（xy）与（yx）要先统一公因式，同时要防止出现符号问 题. .课后作业 习题 2.2 1.解：（1）2x24x=2x（x2）; （2）8m2n+2mn=2mn（4m+1）; （3）a2x2yaxy2=axy（axy）; （4）3x33x29x=3x（x2x3）; （5）24x2y12xy2+28y3 =（24x2y+12xy228y3） =4y（6x2+3xy7y2）; （6）4a3b3+6a2b2ab =（4a3b36a2b+2ab） =2ab（2a2b23a+1）; （7）2x212xy2+8xy3 =（2x2+12xy28xy3） =2x（x+6y24y3）; （8）3ma3+6ma212ma =（3ma36ma2+12ma） =3ma（a22a+4）; 2.利用因式分解进行计算 （1）1210.13+12.10.9121.21 =12.11.3+12.10.91.212.1 =12.1（1.3+0.91.2） =12.11=12.1 （2）2.3413.2+0.6613.226.4 =13.2（2.34+0.662） =13.21=13.2 （3）当 r1=20,r2=16,r3=12,=3.14 时 r12+r22+r32 =（r12+r22+r32） =3.14（202+162+122） =2512 .活动与探究 利用分解因式计算： （1）3200432003; （2）（2）101+（2）100. 解：（1）3200432003 =32003（31） 2011-10-10 10:28:19 共 26 页 第 7 页 =320032 =232003 （2）（2）101+（2）100 =（2）100（2+1） =（2）100（1） =（2）100 =2100 板书设计 2.2.1 提公因式法（一） 一、1.公因式与提公因式法分解因式的概念 2.例题讲解（例 1） 3.议一议（找公因式的一般步骤） 4.想一想 二、课堂练习 1.随堂练习 2.补充练习 三、课时小结 四、课后作业 备课资料 参考练习 一、把下列各式分解因式： 1.2a4b; 2.ax2+ax4a; 3.3ab23a2b; 4.2x3+2x26x; 5.7x2+7x+14; 6.12a2b+24ab2; 7.xyx2y2x3y3; 8.27x3+9x2y. 参考答案： 1.2（a2b）; 2.a（x2+x4）; 3.3ab（ba）; 4.2x（x2+x3）; 5.7（x2+x+2）; 6.12ab（a2b）; 7.xy（1xyx2y2）; 8.9x2（3x+y）. 第三课时 课 题 2.2.2 提公因式法（二）提公因式法（二） 教学目标 （一）教学知识点 进一步让学生掌握用提公因式法分解因式的方法. （二）能力训练要求 进一步培养学生的观察能力和类比推理能力. 2011-10-10 10:28:19 共 26 页 第 8 页 （三）情感与价值观要求 通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点. 教学重点 能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行分解因式. 教学难点 准确找出公因式，并能正确进行分解因式. 教学方法 类比学习法 教具准备 无 教学过程 .创设问题情境,引入新课 师上节课我们学习了用提公因式法分解因式，知道了一个多项式可以分解为一个 单项式与一个多项式的积的形式，那么是不是所有的多项式分解以后都是同样的结果呢？ 本节课我们就来揭开这个谜. .新课讲解 一、例题讲解 例 2把 a（x3）+2b（x3）分解因式. 分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即 a（x3）与 2b（x3），每项中都含 有（x3）,因此可以把（x3）作为公因式提出来. 解：a（x3）+2b（x3）=（x3）（a+2b） 师从分解因式的结果来看，是不是一个单项式与一个多项式的乘积呢？ 生不是，是两个多项式的乘积. 例 3把下列各式分解因式: （1）a（xy）+b（yx）; （2）6（mn）312（nm）2. 分析：虽然 a（xy）与 b（yx）看上去没有公因式，但仔细观察可以看出（xy） 与（yx）是互为相反数，如果把其中一个提取一个“”号，则可以出现公因式，如 y x=（xy）.（mn）3与（nm）2也是如此. 解：（1）a（xy）+b（yx） =a（xy）b（xy） =（xy）（ab） （2）6（mn）312（nm）2 =6（mn）312（mn）2 =6（mn）312（mn）2 =6（mn）2（mn2）. 二、做一做 请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“”号，使等式成立: （1）2a=_（a2）; （2）yx=_（xy）; （3）b+a=_（a+b）; （4）（ba）2=_（ab）2; （5）mn=_（m+n）; （6）s2+t2=_（s2t2）. 解：（1）2a=（a2）; （2）yx=（xy）; （3）b+a=+（a+b）; （4）（ba）2=+（ab）2; （5）mn=（m+n）; （6）s2+t2=（s2t2）. .课堂练习 2011-10-10 10:28:20 共 26 页 第 9 页 把下列各式分解因式： 解：（1）x（a+b）+y（a+b） =（a+b）（x+y）; （2）3a（xy）（xy） =（xy）（3a1）; （3）6（p+q）212（q+p） =6（p+q）212（p+q） =6（p+q）（p+q2）; （4）a（m2）+b（2m） =a（m2）b（m2） =（m2）（ab）; （5）2（yx）2+3（xy） =2（xy）2+3（xy） =2（xy）2+3（xy） =（xy）（2x2y+3）; （6）mn（mn）m（nm）2 =mn（mn）m（mn）2 =m（mn）n（mn） =m（mn）（2nm）. 补充练习 把下列各式分解因式 解：1.5（xy）3+10（yx）2 =5（xy）3+10（xy）2 =5（xy）2（xy）+2 =5（xy）2（xy+2）; 2. m（ab）n（ba） =m（ab）+n（ab） =（ab）（m+n）; 3. m（mn）+n（nm） =m（mn）n（mn） =（mn）（mn）=（mn）2; 4. m（mn）（pq）n（nm）（pq） = m（mn）（pq）+n（mn）（pq） =（mn）（pq）（m +n）; 5.（ba）2+a（ab）+b（ba） =（ba）2a（ba）+b（ba） =（ba）（ba）a+b =（ba）（baa+b） =（ba）（2b2a） =2（ba）（ba） =2（ba）2 .课时小结 本节课进一步学习了用提公因式法分解因式，公因式可以是单项式，也可以是多项 式，要认真观察多项式的结构特点，从而能准确熟练地进行多项式的分解因式. .课后作业 习题 2.3 .活动与探究 把（a+bc）（ab+c）+（ba+c）（bac）分解因式. 解：原式=（a+bc）（ab+c）（ba+c）（ab+c） =（ab+c）（a+bc）（ba+c） =（ab+c）（a+bcb+ac） 2011-10-10 10:28:20 共 26 页 第 10 页 =（ab+c）（2a2c） =2（ab+c）（ac） 板书设计 2.2.2 提公因式法（二） 一、1.例题讲解 2.做一做 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业 备课资料 参考练习 把下列各式分解因式： 1.a（xy）b（yx）+c（xy）; 2.x2y3xy2+y3; 3.2（xy）2+3（yx）; 4.5（mn）2+2（nm）3. 参考答案： 解：1.a（xy）b（yx）+c（xy） =a（xy）+b（xy）+c（xy） =（xy）（a+b+c）; 2.x2y3xy2+y3 =y（x23xy+y2）; 3.2（xy）2+3（yx） =2（xy）23（xy） =（xy）2（xy）3 =（xy）（2x2y3）; 4.5（mn）2+2（nm）3 =5（mn）2+2（mn）3 =5（mn）22（mn）3 =（mn）252（mn） =（mn）2（52m+2n）. 第四课时 课 题 2.3.1 运用公式法（一）运用公式法（一） 教学目标 （一）教学知识点 1.使学生了解运用公式法分解因式的意义； 2.使学生掌握用平方差公式分解因式. 3.使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解 因式. （二）能力训练要求 1.通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力. 2.训练学生对平方差公式的运用能力. （三）情感与价值观要求 在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元 的思想方法. 2011-10-10 10:28:21 共 26 页 第 11 页 教学重点 让学生掌握运用平方差公式分解因式. 教学难点 将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的 能力. 教学方法 引导自学法 教具准备 投影片两张 第一张（记作2.3.1 a） 第二张（记作2.3.1 b） 教学过程 .创设问题情境,引入新课 师在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的 积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因 式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式. 如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是， 只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的 方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法公式法. .新课讲解 师1.请看乘法公式 （a+b）（ab）=a2b2 （1） 左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是 a2b2=（a+b）（ab） （2） 左边是一个多项式，右边是整式的乘积.大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否 是因式分解？ 生符合因式分解的定义，因此是因式分解. 师对，是利用平方差公式进行的因式分解.第（1）个等式可以看作是整式乘法中 的平方差公式，第（2）个等式可以看作是因式分解中的平方差公式. 2.公式讲解 师请大家观察式子 a2b2,找出它的特点. 生是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差. 师如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因 式，分解成两个整式的和与差的积. 如 x216=（x）242=（x+4）（x4）. 9 m 24n2=（3 m ）2（2n）2 =（3 m +2n）（3 m 2n） 3.例题讲解 例 1把下列各式分解因式： （1）2516x2; （2）9a2 4 1 b2. 解：（1）2516x2=52（4x）2 =（5+4x）（54x）; （2）9a2 4 1 b2=（3a）2（ 2 1 b）2 =（3a+ 2 1 b）（3a 2 1 b）. 2011-10-10 10:28:21 共 26 页 第 12 页 例 2把下列各式分解因式: （1）9（m+n）2（mn）2; （2）2x38x. 解：（1）9（m +n）2（mn）2 =3（m +n）2（mn）2 =3（m +n）+（mn）3（m +n）（mn） =（3 m +3n+ mn）（3 m +3nm +n） =（4 m +2n）（2 m +4n） =4（2 m +n）（m +2n） （2）2x38x=2x（x24） =2x（x+2）（x2） 说明：例 1 是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，利用平方差公式分解因 式；例 2 的（1）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后用平方差公式分解因式， 例 2 的（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用 提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法. 补充例题 投影片（2.3.1 a） 判断下列分解因式是否正确. （1）（a+b）2c2=a2+2ab+b2c2. （2）a41=（a2）21=（a2+1）（a21）. 生解：（1）不正确. 本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式， 但（1）中还是多项式的形式，因此，最终结果是未对所给多项式进行因式分解. （2）不正确. 错误原因是因式分解不到底，因为 a21还能继续分解成（a+1）（a1）. 应为 a41=（a2+1）（a21）=（a2+1）（a+1）（a1）. .课堂练习 （一）随堂练习 1.判断正误 解：（1）x2+y2=（x+y）（xy）; （） （2）x2y2=（x+y）（xy）; （） （3）x2+y2=（x+y）（xy）; （） （4）x2y2=（x+y）（xy）. （） 2.把下列各式分解因式 解：（1）a2b2m2 =（ab）2m 2 =（ab+ m）（abm）; （2）（ma）2（n+b）2 =（ma）+（n+b）（ma）（n+b） =（ma+n+b）（manb）; （3）x2（a+bc）2 =x+（a+bc）x（a+bc） =（x+a+bc）（xab+c）; （4）16x4+81y4 =（9y2）2（4x2）2 =（9y2+4x2）（9y24x2） =（9y2+4x2）（3y+2x）（3y2x） 2011-10-10 10:28:22 共 26 页 第 13 页 3.解：s剩余=a24b2. 当 a=3.6,b=0.8时， s剩余=3.6240.82=3.621.62=5.22=10.4（cm2） 答：剩余部分的面积为 10.4 cm2. （二）补充练习 投影片（2.3.1 b） 把下列各式分解因式 （1）36（x+y）249（xy）2; （2）（x1）+b2（1x）; （3）（x2+x+1）21. 解：（1）36（x+y）249（xy）2 =6（x+y）27（xy）2 =6（x+y）+7（xy）6（x+y）7（xy） =（6x+6y+7x7y）（6x+6y7x+7y） =（13xy）（13yx）; （2）（x1）+b2（1x） =（x1）b2（x1） =（x1）（1b2） =（x1）（1+b）（1b）; （3）（x2+x+1）21 =（x2+x+1+1）（x2+x+11） =（x2+x+2）（x2+x） =x（x+1）（x2+x+2） .课时小结 我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法.如果多项式各项含有 公因式，则第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续进 行. 第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到 每个多项式都不能分解为止. .课后作业 习题 2.4 1.解：（1）a281=（a+9）（a9）; （2）36x2=（6+x）（6x）; （3）116b2=1（4b）2=（1+4b）（14b）; （4）m 29n2=（m +3n）（m3n）; （5）0.25q2121p2 =（0.5q+11p）（0.5q11p）; （6）169x24y2=（13x+2y）（13x2y）; （7）9a2p2b2q2 =（3ap+bq）（3apbq）; （8） 4 49 a2x2y2=（ 2 7 a+xy）（ 2 7 axy）; 2.解：（1）（m+n）2n2=（m +n+n）（m +nn）= m（m +2n）; （2）49（ab）216（a+b）2 =7（ab）24（a+b）2 =7（ab）+4（a+b）7（ab）4（a+b） =（7a7b+4a+4b）（7a7b4a4b） =（11a3b）（3a11b）; （3）（2x+y）2（x+2y）2 =（2x+y）+（x+2y）（2x+y）（x+2y） 2011-10-10 10:28:23 共 26 页 第 14 页 =（3x+3y）（xy） =3（x+y）（xy）; （4）（x2+y2）x2y2 =（x2+y2+xy）（x2+y2xy）; （5）3ax23ay4=3a（x2y4） =3a（x+y2）（xy2） （6）p41=（p2+1）（p21） =（p2+1）（p+1）（p1）. 3.解：s环形=r2r2=（r2r2） =（r+r）（rr） 当 r=8.45,r=3.45，=3.14时， s环形=3.14（8.45+3.45）（8.453.45）=3.1411.95=186.83（cm2） 答：两圆所围成的环形的面积为 186.83 cm2. .活动与探究 把（a+b+c）（bc+ca+ab）abc 分解因式 解：（a+b+c）（bc+ca+ab）abc =a+（b+c）bc+a（b+c）abc =abc+a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2abc =a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2 =（b+c）a2+bc+a（b+c） =（b+c）a2+bc+ab+ac =（b+c）a（a+b）+c（a+b） =（b+c）（a+b）（a+c） 板书设计 2.3.1 运用公式法（一） 一、1.由整式乘法中的平方差公式推导因式分解中的平方差公式. 2.公式讲解 3.例题讲解 补充例题 二、课堂练习 1.随堂练习 2.补充练习 三、课时小结 四、课后作业 备课资料 参考练习 把下列各式分解因式： （1）49x2121y2; （2）25a2+16b2; （3）144a2b20.81c2; （4）36x2+ 64 49 y2; （5）（ab）21; （6）9x2（2y+z）2; （7）（2mn）2（m2n）2; （8）49（2a3b）29（a+b）2. 解：（1）49x2121y2 =（7x+11y）（7x11y）; （2）25a2+16b2=（4b）2（5a）2 =（4b+5a）（4b5a）; 2011-10-10 10:28:23 共 26 页 第 15 页 （3）144a2b20.81c2 =（12ab+0.9c）（12ab0.9c）; （4）36x2+ 64 49 y2=（ 8 7 y）2（6x）2 =（ 8 7 y+6x）（ 8 7 y6x）; （5）（ab）21=（ab+1）（ab1）; （6）9x2（2y+z）2 =3x+（2y+z）3x（2y+z） =（3x+2y+z）（3x2yz）; （7）（2mn）2（m2n）2 =（2 mn）+（m2n）（2 mn）（m2n） =（3 m3n）（m +n） =3（mn）（m +n） （8）49（2a3b）29（a+b）2 =7（2a3b）23（a+b）2 =7（2a3b）+3（a+b）7（2a3b）3（a+b） =（14a21b+3a+3b）（14a21b3a3b） =（17a18b）（11a24b） 第五课时 课 题 2.3.2 运用公式法（二）运用公式法（二） 教学目标 （一）教学知识点 1.使学生会用完全平方公式分解因式. 2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式. （二）能力训练要求 在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维 的能力. （三）情感与价值观要求 通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想 能力. 教学重点 让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法. 教学难点 让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式. 教学方法 观察发现运用法 教具准备 投影片两张 第一张（记作2.3.2 a） 第二张（记作2.3.2 b） 教学过程 .创设问题情境，引入新课 师我们知道，因式分解是整式乘法的反过程，倒用乘法公式，我们找到了因式分 解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公 2011-10-10 10:28:24 共 26 页 第 16 页 式可以用来分解因式呢？ 在前面我们不仅学习了平方差公式 （a+b）（ab）=a2b2 而且还学习了完全平方公式 （ab）2=a22ab+b2 本节课，我们就要学习用完全平方公式分解因式. .新课 1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点. 师由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公 式呢？ 生可以. 将完全平方公式倒写： a2+2ab+b2=（a+b）2; a22ab+b2=（ab）2. 便得到用完全平方公式分解因式的公式. 师很好.那么什么样的多项式才可以用这个公式分解因式呢？请大家互相交流，找 出这个多项式的特点. 生从上面的式子来看，两个等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一 个整式的平方，还有一项符号可“+”可“”，它是那两项乘积的两倍.凡具备这些特点 的三项式，就是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了因式分解. 师左边的特点有（1）多项式是三项式； （2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式； （3）另一项是这两数或两式乘积的 2 倍. 右边的特点：这两数或两式和（差）的平方. 用语言叙述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的 2 倍，等于这两个 数的和（或差）的平方. 形如 a2+2ab+b2或 a22ab+b2的式子称为完全平方式. 由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把 某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法. 投影（2.3.2 a） 练一练 下列各式是不是完全平方式？ （1）a24a+4; （2）x2+4x+4y2; （3）4a2+2ab+ 4 1 b2; （4）a2ab+b2; （5）x26x9; （6）a2+a+0.25. 师判断一个多项式是否为完全平方式，要考虑三个条件，项数是三项；其中有两 项同号且能写成两个数或式的平方；另一项是这两数或式乘积的 2 倍. 生（1）是. （2）不是；因为 4x 不是 x 与 2y乘积的 2倍； （3）是； （4）不是.ab不是 a与 b乘积的 2倍. （5）不是，x2与9 的符号不统一. （6）是. 2.例题讲解 例 1把下列完全平方式分解因式： （1）x2+14x+49; 2011-10-10 10:28:24 共 26 页 第 17 页 （2）（m+n）26（m +n）+9. 师分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分 解因式.公式中的 a,b 可以是单项式，也可以是多项式. 解：（1）x2+14x+49=x2+27x+72=（x+7）2 （2）（m +n）26（m +n）+9=（m +n）22（m +n）3+32=（m +n）32= （m +n3）2. 例 2把下列各式分解因式： （1）3ax2+6axy+3ay2; （2）x24y2+4xy. 师分析：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观 察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式. 如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取 “”号，然后再用完全平方公式分解因式. 解：（1）3ax2+6axy+3ay2 =3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2 （2）x24y2+4xy =（x24xy+4y2） =x22x2y+（2y）2 =（x2y）2 .课堂练习 a.随堂练习 1.解：（1）是完全平方式 x2x+ 4 1 =x22x 2 1 +（ 2 1 ）2=（x 2 1 ）2 （2）不是完全平方式，因为 3ab 不符合要求. （3）是完全平方式 4 1 m2+3 m n+9n2 =（ 2 1 m）22 2 1 m3n+（3n）2 =（ 2 1 m +3n）2 （4）不是完全平方式 2.解：（1）x212xy+36y2 =x22x6y+（6y）2 =（x6y）2; （2）16a4+24a2b2+9b4 =（4a2）2+24a23b2+（3b2）2 =（4a2+3b2）2 （3）2xyx2y2 =（x2+2xy+y2） =（x+y）2; （4）412（xy）+9（xy）2 =22223（xy）+3（xy）2 =23（xy）2 =（23x+3y）2 b.补充练习 投影片（2.3.2 b） 把下列各式分解因式： 2011-10-10 10:28:24 共 26 页 第 18 页 （1）4a24ab+b2; （2）a2b2+8abc+16c2; （3）（x+y）2+6（x+y）+9; （4） 144 2 m 6 mn +n2; （5）4（2a+b）212（2a+b）+9; （6） 5 1 x2yx4 100 2 y 解：（1）4a24ab+b2=（2a）222ab+b2=（2ab）2; （2）a2b2+8abc+16c2=（ab）2+2ab4c+（4c）2=（ab+4c）2; （3）（x+y）2+6（x+y）+9 =（x+y+3）2; （4） 144 2 m 6 mn +n2=（ 12 m ）22 12 m n+n2=（ 12 m n）2; （5）4（2a+b）212（2a+b）+9 =2（2a+b）222（2a+b）3+32 =2（2a+b）32 =（4a+2b3）2; （6） 5 1 x2yx4 100 2 y =（x4 5 1 x2y+ 100 2 y ） =（x2）22x2 10 y +（ 10 y ）2 =（x2 10 y ）2 .课时小结 这节课我们学习了用完全平方公式分解因式.它与平方差公式不同之处是： （1）要求多项式有三项. （2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的 2 倍，符号可正可负. 同时，我们还学习了若一个多项式有公因式时，应先提取公因式，再用公式分解因式. .课后作业 习题 2.5 1.解：（1）x2y22xy+1=（xy1）2; （2）912t+4t2=（32t）2; （3）y2+y+ 4 1 =（y+ 2 1 ）2; （4）25m280 m +64=（5 m8）2; （5） 4 2 x +xy+y2=（ 2 x +y）2; （6）a2b24ab+4=（ab2）2 2.解：（1）（x+y）2+6（x+y）+9 =（x+y）+32 =（x+y+3）2; （2）a22a（b+c）+（b+c）2 =a（b+c）2 2011-10-10 10:28:24 共 26 页 第 19 页 =（abc）2; （3）4xy24x2yy3 =y（4xy4x2y2） =y（4x24xy+y2） =y（2xy）2; （4）a+2a2a3 =（a2a2+a3） =a（12a+a2） =a（1a）2. 3.解：设两个奇数分别为 x、x2,得 x2（x2）2 =x+（x2）x（x2） =（x+x2）（xx+2） =2（2x2） =4（x1） 因为 x 为奇数，所以 x1为偶数，因此 4（x1）能被 8整除. .活动与探究 写出一个三项式，再把它分解因式（要求三项式含有字母 a 和 b，分数、次数不限， 并能先用提公因式法，再用公式法分解因式. 分析：本题属于答案不固定的开放性试题，所构造的多项式同时具备条件：含字母 a 和 b；三项式；可提公因式后，再用公式法分解. 参考答案： 4a3b4a2b2+ab3 =ab（4a24ab+b2