高中数学 3.2 一元二次不等式及其解法素材 新人教a版必修5

一元二次不等式及其解法一引言：本讲学习要求：掌握二次函数的概念、图象及性质；理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；能利用二次函数研究一元二次方程的实根分布条件；能求二次函数的区间最值；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力学习重点为：二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的灵活转化；学习难点为：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系本讲考纲要求为：会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图本讲命题方向为：主要考查以一元二次不等式为基础的不等式解法，综合题多以与其他章节（如函数、数列等）交汇从题型上来看，多以比较大小，解简单不等式等，解答题主要考查含参数的不等式的求解以及它在函数、导数、数列中的应用二考点梳理1二次函数的图象及性质:二次函数的图象的对称轴方程是，顶点坐标是2二次函数的解析式的三种形式：（一般式）；（零点式）；（顶点式）3一元二次不等式的解法一元二次不等式的解集：设相应的一元二次方程的两根为，则不等式的解的各种情况如下表： 二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根 无实根 R 4解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为“+”：A=0(或0)；(2)计算判别式，分析不等式的解的情况；(3)写出解集5讨论二次函数在指定区间上的最值问题：(1)注意对称轴与区间的相对位置一般分为三种情况讨论，即：对称轴在区间左边，函数在此区间上具有单调性；对称轴在区间之内；对称轴在区间右边（2）函数在区间上的单调性要注意系数的符号对抛物线开口的影响6讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：判别式；区间端点的函数值的符号；对称轴与区间的相对位置三、典型例题选讲题型1：考查一元二次函数的性质例1 函数是单调函数的充要条件是（ ）A B C D解：函数的对称轴为，函数）是单调函数，故选A归纳小结：二次函数的单调区间是和，结合开口方向就可得出所需的条件，从而求出的范围例2 已知二次函数的对称轴为，截轴上的弦长为，且过点，求函数的解析解：二次函数的对称轴为，可设所求函数为，截轴上的弦长为，过点和，又过点，解之得，归纳小结：求二次函数的解析式一般采用待定系数法，但要注意根据已知条件选择恰当的解析式形式：一般式、零点式和顶点式，正确的选择会使解题过程得到简化题型2：简单不等式的求解问题例3 求下列不等式的解集（1）；（2）解法一：因为所以，原不等式的解集是解法二：整理，得因为无实数解，所以不等式的解集是从而，原不等式的解集是归纳小结：解一元二次不等式要抓住“三个二次”的关系，按照解一元二次不等式的步骤求解，必要时要画出二次函数的图象进行观察例4 不等式的解集为，求与的值解法一：设的两根为、，由韦达定理得： 由题意得，此时满足，解法二：构造解集为的一元二次不等式：，即，此不等式与原不等式应为同解不等式，故，归纳小结：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为，不等式需满足条件，的两根为，在解题时要抓住一元二次方程、一元二次不等式解集的关系题型3：含参不等式的求解问题例5 解关于的不等式证：分以下情况讨论(1)当时，原不等式变为：，即不等式的解集为(2)当时，原不等式变为：当时，式变为，不等式的解为或即不等式的解集为；当时，式变为，当时，此时的解为即不等式的解集为；当时，此时的解为当时，即不等式的解集为归纳小结：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：分类应做到使所给参数的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏另外，解本题还要注意在讨论时，解一元二次不等式应首选做到将二次项系数变为正数再求解题型4：一元二次不等式的应用例6 （1）已知函数，则不等式的解集是（ ）ABCD解：依题意得所以，选C（2）（2007重庆理）若函数f(x) =的定义域为R，则a的取值范围为_解：函数的定义域为R，对一切都有恒成立，即恒成立，成立，即，故选A归纳小结：解一元二次不等式往往与分段函数、指数函数和对数函数结合进行综合考查，一般是借助于函数的性质和图象进行转化，再求解一元二次不等式，利用一元二次不等式分析相应一元二次函数的性质，体现“三个二次”之间的紧密联系，这也是一元二次不等式的重要考点之一例7 已知函数的最大值为，求的值解：令，对称轴为，当，即时，得或（舍去）当，即时，函数在上单调递增，由，得；当，即时，函数在上单调递减，由，得（舍去）综上可得，的值为或归纳小结：令，问题就转化为二次函数的区间最值问题，再由对称轴与区间的三种位置关系的讨论就可求得的值此题中要注意的条件例8 设不等式的解集为，如果，求实数的取值范围？分析：该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在；数形结合的思想使题目更加明朗解：有两种情况：其一是=，此时0；其二是M，此时=0或0，分三种情况计算a的取值范围设，有=，当0时，12，=；当=0时，=1或2；当=1时=；当=2时，=当0时，a1或a2设方程的两根，且，那么M=，M1x1x24，即解得2，M1，4时，的取值范围是(1，)归纳小结：此题考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想是符合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构造关于a