高二数学精品教案：1.1 3（选修2-2）

第二章 导数与微分微分学中最重要的两个概念就是导数与微分。导数，从本质上看，它是一类特殊形式的极限，它是函数变化率的度量，它是刻画函数对于自变量变化的快慢程度的数学抽象。 微分，它是函数增量的线性主部， 它是函数增量的近似表示。 微分与导数密切相关， 这两个函数之间存在着等价关系。导数与微分都有实际背景，都可以给出几何解释，因而它们都会有广泛的实际应用。它们在解决几何问题，寻求函数的极值与最值，以及寻求方程的近似根等问题中有重要作用。要求：学生能正确地理解导数和微分的概念及几何意义与物理意义，能够熟练地导数公式与求导（微分）法则求出函数的导数和微分，；理解高阶导数的概念，能够正确地求出一些函数的高阶导数。重点：导数、微分的概念，求导法则。难点：复合函数和由参数方程确定的函数的求导法则的运用。2.1 导数的概念 2教学时2.2导数的基本公式 2教学时2.3初等函数的导数 高阶导数 2教学时2.4隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数 2教学时2.5函数的微分 2教学时第二章 习题课 2教学时来源:第一节 导数的概念要求：学生能正确地理解导数的定义及几何意义与物理意义，理解用导数的定义求某些基本初等函数的导数和方法。熟记这些函数和导数公式，掌握可导与连续的关系。重点：导数和定义。几个基本初等函数的导数公式。难点：导数的定义，用导数定义求函数的导数。来源:2教学时一、 引例1、 直线运动的速度已知自由落体和运动方程为 试讨论落体在时刻（0tT）的速度，为此，可取一邻近于t的时刻t，并求出落体由t到 t一段时间内的平均速度，= （*）此平均速度近似地反映了落体在时刻t的速度，若t越接近于t，则反映越准确，若令，则由（*）可知，），这个值无限地接近于g,这个值最能反映落体在时刻t这一瞬间的快慢程度，所以称它为落体在时刻t的瞬时速度。一般地，设一质点作直线运动，已知其运动方程为，若t为某一时刻，t为邻近t的时刻，则称为质点由t到t一段时间内的平均速度，若存在且等于就称为运动质点在时刻t的瞬时速度。2、 切线问题切线的定义：设有曲线C及C上一点M（如图）在点M外另取C上一点N，作割线MN，当点N沿曲线C趋于点M时。如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线。这里极限位置的含义是：只要弦长|MN|趋于零，也趋于零。TyoMy=f(x)x0 Nx0+xQx设曲线C为函数的图形，设M（是曲线上一个点，则。根据上述切线的定义，要定出曲线C在点M处的切线，只要定出切线的斜率就行了。为此在C上于点M外另取一点，于是割线MN和斜率为 其中为割线MN的倾角，当点N沿曲线C趋于点M时，如果当时，上式的极限存在，设为即存在，则此极限是割线斜率的极限，也就是切线的斜率，这里为切线MT的倾角，于是，通过点且以为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线。事实上，=，可见，时（这时|MN|），。因此直线MT确为曲线C在点M处的切线。二、 导数的定义从上面讨论的两个问题看出，非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下极限： （*）这里，因相当于，故上式可写成在自然科学和工程技术领域内，还有许多概念，如电流强度、角速度、线密度等等，都有可以归结为（*）的数学形式。我们撇开这些量的具体意义，抓住它们在数量关系上的共性，就得到函数的导数的概念。定义：函数在点和某个邻域内有定义。当自变量在处取得增量（点仍在该邻域内）时，相应的函数取得增量；如果时的极限存在，则称函数在点处可导。并称这个极限为函数在点处的导数，记为也记作. 函数在处可导有时也说成在点具有导数或导数存在。如果极限（*）不存在，就说函数在点处不可导。如果不可导的原因是由于时，比式，为了方便起见，也往往说函数在点处的导数为无穷大。导数的定义式（*）的不同形式，常见的有。注1：在实际中，需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题，在数学上就是所谓函数的变化率问题。导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述。它撇开了自变量和因变量所代表的几何或物理等到方面的特殊意义，纯粹从数量方面来刻画变化率的本质：因变量增量与自变量增量之比是因变量为端点的区间上的平均变化率，而导数则是因变量在点处和变化率，它反映了因变量随自变量的变化而的快慢程度。根据函数在点处的导数的定义,导数 是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限存在且相等，因此，在点下可导的充分必要条件是左、右极限 及都存在且相等。这两个极限分别称为函数在点处的左导数、右导数，记作及，即 现在可以说，函数在点处可导充分必要条件是和都存在且相等。左导数、右导数统称为单侧导数。导函数的定义：如果函数在开区间内的每一点处都可导，就称函数在开区间内可导。这时，对于任一，都对应着的一个确定的导数值。这样就构成了一个新的函数，这个函数叫做原来函数的导函数，记作，。即导函数的定义式 或。注意：在以上两式中，虽然可以取区间内的任何数值，但在极限过程中是常量，是变量。函数在点处的导数就是导函数在点处的函数值，即导函数简称导数，而是在处的导数或导数在处的值。2、求导数举例例1 求函数的导数。 解： 即 这就是说，常数的导数等于零。例2 求函数处的导数。解：把以上结果中的，即.更一般地，对于幂函数有 。这是幂函数的导数公式。例3 求函数的导数。解：即 这就是说，正弦函数的导数是余弦函数。用类似的方法，可求得就是说，余弦函数的导数是负的正弦函数。例4 求函数的导数。解： 三、 导数的几何意义导数的几何意义：函数在点处的导数是曲线的点处的切线的斜率。从而曲线上点处切线方程为法线方程为 。四、 函数的可导性与连续性的关系定理 如果函数在点处连续。，则函数在点处连续。证：因在点处可导，所以，由于 所以于是函数在点处连续。注意：该定理的逆命题不成立，即函数在点处连续，但函数在点处不一定可导。即函数在点处连续是它在该点处可导的必要条件，但不是充分条件。例5、证明：函数处连续但不可导。证： 当自变量处有增量时，相应地，函数有增量，且 所以处连续。但于是 故极限不存在,所以,函数处不可导.作业:P70 T1,T2,T4,T5.第二节 导数的基本公式要求：学生掌握函数的和、差、积、商的求导法则，反函数的的求导法则。重点：函数的和、差、积、商的求导法则及其运用。难点：反函数的求导法则。一、 导数的四则运算法则定理1 设函数在点处可导，则它们的和、差、积、商（分母不为零）也在处可导，且（1） （2） （3） 推论 （C为常数）。说明：定理1中的（1）、（2）可推广到有限个可导函数的情形。如设均可导，则有 例1 已知求解 例2设例3、设解：例4、设（1）来源:解：（1） （2）类似地可得 二、反函数的求导法则定理2 设区间在单调、可导函数 ，且，则它的反函数在单调、可导，且，例5、求指数函数（）的导数解因为函数是函数的反函数，所以即 例6、求反正弦函数的导数。解是（）的反函数，类似地例7、求反函数的导数。解类似地.三、导数的基本公式与求导法则1、导数的基本公式（1）、 （2）、（3）、 （4）、（5）、 （6）、（7）、 （8）、（9）、 （10）、（11）、 （12）（13）、 （14）、（15）、 （16）、2、导数的四则运算法则设可导，则（1）、（2）、（3）、3、反函数的求导法则设在区间内单调可导，且则它的反函数在相应的敬意内可导，且 作业：P75 T1，T（2）、（3）（4）、（7）、（8）、（9），T3。第三节 初等函数的导数 高阶导数要求：学生能够掌握复合函数的导数的求导法则，了解高阶导数和高阶导数的求法。重点：复合函数求导法则的运用。难点：复合函数求导法则的运用，高阶导数的求法。一、 复合函数的求导法则定理（复合函数的求导法则）如果函数在点处可导，函数在点处可导，则复合函数函数在点处可导，且 即：复合函数和导数等于函数对中间变量的导数与中间变量对自变量的导数之积。例1、 求下列函数的导数（1）； （2） ； （3） 。例2、求下列函数的导数（1） ； （2） 。例3、求函数的导数。解 。例4、设，证明幂函数的求导公式。解：因为，所以 。结论：一切初等函数的导数仍为初等函数。二、高阶导数如果函数的导数仍然可导，则称的导数为二阶导数，记作，即；类似地，二阶导数的导数称为三阶导数，三阶导数的导数称为四阶数，一般地，阶导数的导数称为阶导数，分别记作 二阶及二阶以上的导数称为高阶导数，相应地的导数称为一阶导数。例5、设例6、求的n阶导数；例7、求（n为正整数）的n阶导数，n+1阶导数，并求，；例8、求的n阶导数；类似地，得 的n阶导数为。三、隐函数的求导法则显函数：函数的因变量可用自变量的一个表达式直接表示的函数。隐函数：因变量与自变量的对应关系是用个方程来表示的，这种形式表示的函数称为隐函数。注：有些隐函数可以化为显函数，但有些隐函数如却很难、甚至根本不可能化为显函数。例9求由方程所确定的隐函数的导数。解：将方程两边分别对求导，得 ， 。解得 其中是由方程确定的函数。隐函数的求导方法为：（1） 将方程两边分别对求导，并在求导过程中视为的函数，的函数为的复合函数；（2） 解出，即为所求。例10、求曲线在点处的切线方程。解：首先求方程所确定的函数的导数，将方程两边分别对求导，得 解得，所以曲线在点处的切线的斜率为 ，故所求切线方程为 即 作业：P79 T1（1）、（3）、（5）、（7）、（9）；P80 T2 （1）、（2）。第四节 隐函数的导数 由参数方程所确定函数的导数要求：能正确地理解显函数、隐函数的概念，能掌握隐函数的求导方法与参数方程所确定的函数的导数的求法。重点、难点：隐函数的导数，参数方程所确定的函数的导数的求法。一、隐函数的求导法则显函数：函数的因变量可用自变量的一个表达式直接表示的函数。隐函数：因变量与自变量的对应关系是用个方程来表示的，这种形式表示的函数称为隐函数。注：有些隐函数可以化为显函数，但有些隐函数如却很难、甚至根本不可能化为显函数。例1、求由方程所确定的隐函数的导数。解：将方程两边分别对求导，得 ， 。解得 其中是由方程确定的函数。隐函数的求导方法为：（3） 将方程两边分别对求导，并在求导过程中视为的函数，的函数为的复合函数；（4） 解出，即为所求。例2、求曲线在点处的切线方程。解：首先求方程所确定的函数的导数，将方程两边分别对求导，得 解得，所以曲线在点处的切线的斜率为 ，故所求切线方程为 即 二、对数求导法由几个初等函数能过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数、幂指函数的求导，在的两边先取对数，然后利用隐函数求导法求导，可简化求导运算。例3、 已知。解：将两边同时取对数，得 将上式两边分别对求导，注意到是的函数，得于是 。解法二：因为 ，根据复合函数的求导法则，得 例4、 求的导数。解：将将方程两边同时取对数，得 ，将上式两边分别对求导，得 所以 三、由参数方程所确定函数的导数若参数方程为 （*）确定了是的函数，则称此函数为由参数方程所确定的函数。若函数，都可导，而且，则参数方程（*）所确定的函数的导数存在，且 或 。 (*)如果，还是二阶可导的,那么从(*)式又可得到函数的二阶导数公式: ,即 例5、已知椭圆的参数方程为 求椭圆在处的切线方程。解：当时，椭圆上相应的点的坐标为 又 故椭圆在点处的切线斜率为 于是所求的切线方程为 即 例6、以初速度、发射角发射炮弹（如图），不计空气阻力，其运动方程为 求炮弹在时刻速度的大小和方向。解：在时刻水平方向的速度在时刻竖直方向的速度因此，在时刻炮弹速度的大小为此时速度的方向为该点处的切线方向，设切线的倾角为，则作业：P85 T1（1）（2）（4）；T3（1）（4）；T4（1）（2）。第五节 函数的微分一、 微分的定义：定义 设函数在点的邻域内有定义，在这个邻域内，如果函数在点处的改变量可表示为 其中A是与无关的常数，是比高阶的无穷小，则称函数在点处是可微的，并称为函数在点处相应于自变量改变量的微分，记作即可微分与可导的关系：来源:定理 函数在点处可微的充分必要条件是函数在点处可导，且当函数在点处可微时，证：若可微，若可导， ，可导可微连续极限存在。函数在任意点的微分，称为函数的微分，记作，即 。例1、 求函数时的微分。解：先求函数在任意点的微分 再求函数时的微分，来源:通常把自变量的增量称为自变量的微分，记作，即于是函数的微分又可记作从而有。这就是说，函数的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做“微商”。微分的几何意义：对于可微函数而言，当是曲线上的点的纵坐标的增量时，就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量。当很小时，小得多。因此在点的邻近，可以用切线段来近似代替曲线段（即以直代曲）。二、微分的运算法则1、微分基本公式（1）、 （2）、（3）、 （4）、（5）、 （6）、（7）、 （8）、（9）、 （10）、（11）、 （1