第十二篇 第2讲 综合法、分析法、反证法

第2讲 直接证明与间接证明A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1(2013中山调研)设a，bR，则“ab1”是“4ab1”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析若“ab1”，则4ab4a(1a)4211；若“4ab1”，取a4，b1，ab3，即“ab1”不成立；则“ab1”是“4ab1”的充分不必要条件答案A2(2013西工大附中联考)对于平面和共面的直线m，n，下列命题中真命题是()A若m，mn，则nB若m，n，则mnC若m，n，则mnD若m，n与所成的角相等，则mn解析对于平面和共面的直线m，n，真命题是“若m，n，则mn”答案C3要证：a2b21a2b20，只要证明()A2ab1a2b20 Ba2b210C.1a2b20 D(a21)(b21)0解析因为a2b21a2b20(a21)(b21)0，故选D.答案D4(2013四平二模)设a，b是两个实数，给出下列条件：ab1；ab2；ab2；a2b22；ab1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是()A B C D解析若a，b，则ab1，但a1，b2，故推不出；若a2，b3，则ab1，故推不出；对于，即ab2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a1且b1，则ab2，与ab2矛盾，因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.答案C二、填空题(每小题5分，共10分)5用反证法证明命题“a，bN，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是_解析“至少有n个”的否定是“最多有n1个”，故应假设a，b中没有一个能被5整除答案a，b中没有一个能被5整除6设ab0，m，n，则m，n的大小关系是_解析取a2，b1，得mn.再用分析法证明：a0，显然成立答案mn三、解答题(共25分)7(12分)若a，b，c是不全相等的正数，求证：lglglglg alg blg c.证明a，b，c(0，)，0，0，0.又a，b，c是不全相等的正数，故上述三个不等式中等号不能同时成立abc成立上式两边同时取常用对数，得lglg(abc)，lglglglg alg blg c.8(13分)(2013鹤岗模拟)设数列an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和(1)求证：数列Sn不是等比数列；(2)数列Sn是等差数列吗？为什么？(1)证明假设数列Sn是等比数列，则SS1S3，即a(1q)2a1a1(1qq2)，因为a10，所以(1q)21qq2，即q0，这与公比q0矛盾，所以数列Sn不是等比数列(2)解当q1时，Snna1，故Sn是等差数列；当q1时，Sn不是等差数列，否则2S2S1S3，即2a1(1q)a1a1(1qq2)，得q0，这与公比q0矛盾B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1(2013漳州一模)设a，b，c均为正实数，则三个数a，b，c() A都大于2 B都小于2C至少有一个不大于2 D至少有一个不小于2解析a0，b0，c0，6，当且仅当abc时，“”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.答案D2(2012滨州期末)如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则 ()AA1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形BA1B1C1和A2B2C2都是钝角三角形CA1B1C1是钝角三角形，A2B2C2是锐角三角形DA1B1C1是锐角三角形，A2B2C2是钝角三角形解析由条件知，A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则A1B1C1是锐角三角形，假设A2B2C2是锐角三角形不妨令得那么，A2B2C2，这与三角形内角和为相矛盾所以假设不成立，所以A2B2C2是钝角三角形答案D二、填空题(每小题5分，共10分)3(2013株洲模拟)已知a，b，(0，)且1，则使得ab恒成立的的取值范围是_解析a，b(0，)且1，ab(ab)1010216，ab的最小值为16.要使ab恒成立，需16，016.答案(0,164(2012金华一模改编)已知下表中的对数值有且只有一个是错误的.x35689lg x2abac11abc3(1ac)2(2ab)试将错误的对数值加以改正_解析由2ablg 3，得lg 92lg 32(2ab)从而lg 3和lg 9正确，假设lg 5ac1错误，则由得所以lg 51lg 2ac.因此lg 5ac1错误，正确结论是lg 5ac.答案lg 5ac三、解答题(共25分)5(12分)已知f(x)x2axb.(1)求：f(1)f(3)2f(2)；(2)求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.(1)解f(1)ab1，f(2)2ab4，f(3)3ab9，f(1)f(3)2f(2)2.(2)证明假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于.则f(1)，f(2)，f(3)，12f(2)1，1f(1)f(3)1.2f(1)f(3)2f(2)2，这与f(1)f(3)2f(2)2矛盾假设错误，即所证结论成立6(13分)对于定义域为0,1的函数f(x)，如果同时满足以下三条：对任意的x0,1，总有f(x)0；f(1)1；若x10，x20，x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数(1)若函数f(x)为理想函数，求f(0)的值；(2)判断函数g(x)2x1(x0,1)是否为理想函数，并予以证明解(1)取x1x20可得f(0)f(0)f(0)，f(0)0，又由条件得f(0)0，故f(0)0.(2)显然g(x)2x1在0,1上满足条件g(x)0；也满足条件g(1)1.若x10，x20，x1x21，