高中数学北师大版必修5《基本不等式》导学案

第5课时基本不等式1.掌握基本不等式,能借助几何图形说明基本不等式的意义.2.能够利用基本不等式求最大(小)值.3.利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”.如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形,设直角三角形的两条直角边长分别为a,b,那么正方形的边长为a2+b2.问题1:上述情境中,正方形的面积为,4个直角三角形的面积的和,由于4个直角三角形的面积之和不大于正方形的面积,于是就可以得到一个不等式:,我们称之为重要不等式,即对于任意实数a,b,都有当且仅当时,等号成立.我们也可以通过作差法来证明:-=(a-b)20,所以,当且仅当a=b时取等号.问题2:基本不等式若a,b(0,+),则a+b2ab,当且仅当时,等号成立.问题3:对于基本不等式,请尝试从其他角度予以解释.(1)基本不等式的几何解释:在直角三角形中,直角三角形斜边上的斜边上.在圆中,半径不小于半弦长.(2)如果把a+b2看作正数a、b的,ab看作正数a、b的,那么该定理可以叙述为:两个正数的不小于它们的.(3)在数学中,我们称a+b2为a、b的,称ab为a、b的.因此,两个正数的不小于它们的.问题4:由基本不等式我们可以得出求最值的结论:(1)已知x,y(0,+),若积xy=p(定值),则和x+y有最值,当且仅当x=y时,取“=”.(2)已知x,y(0,+),若和x+y=s(定值),则积xy有最值,当且仅当x=y时,取“=”.即“积为常数,;和为常数,”.概括为:一正二定三相等四最值.1.在下列不等式的证明过程中,正确的是().A.若a,bR,则ab+ba2abba=2B.若a,bR+,则lg a+lg b2lgalgbC.若x为负实数,则x+2x-2x2x=-22D.若x为负实数,则3x+3-x23x3-x=22.下列不等式一定成立的是().A.lg(x2+14)lg x(x0)B.sin x+1sinx2(xk,kZ)C.a+2b+2ab(ba0)D.1|x|+11(xR)3.已知x0,y0,4x+9y=1,则1x+1y的最小值为.4.已知a0,b0,c0,d0,求证:ad+bcbd+bc+adac4.基本不等式求最值(1)已知x54,求函数y=4x-2+14x-5的最小值.(2)已知正数a,b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围.利用基本不等式证明不等式已知x、y都是正数,求证:(x+y)(x2+y2)(x3+y3)8x3y3.单调性与基本不等式设函数f(x)=x+ax+1,x0,+).(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;(2)当0a1时,求函数f(x)的最小值.(1)设0x32,求函数y=4x(3-2x)的最大值.(2)若-4x1,求x2-2x+22x-2的最值.设a,b,c都是正数,求证:bca+acb+abca+b+c.求函数y=x2+5x2+4的值域.1.下列不等式中恒成立的是().A.x2+2x2+22B.x+1x2C.x2+4x2+53D.2-3x-4x22.当点(x,y)在直线x+3y-2=0上移动时,表达式3x+27y+1的最小值为().A.3B.5C.1D.73.已知0x8abc.(2011年重庆卷)若函数f(x)=x+1x-2(x2)在x=a处取最小值,则a等于().A.1+2B.1+3C.3D.4考题变式(我来改编):第5课时等差数列的应用知识体系梳理问题1:(1)am+an=ap+aqam+an=2ap(2)kd(3)cd1d1pd1+qd2问题2:(1)最大最小(2)m2d(3)ndan+1anan+1nn+1问题3:(1)an-an-1(2)an+an-2(3)pn+q(4)an2+bn(a,b为常数)问题4:(2)y=d2x2+(a1-d2)x(3)d2基础学习交流1.B因为2a4=a3+a5,所以3a4=12,即a4=4,所以a1+a2+a6+a7=7a4=28.2.B2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=6a4+6a10=24,a4+a10=4,S13=13(a1+a13)2=13(a4+a10)2=26.3.130设公差为d,则a1+(a1+8d)+(a1+10d)=30,整理得a1+6d=10,所以S13=13a1+13122d=13(a1+6d)=130.4.解:由已知得,an是首项为正,公差为负的递减等差数列.由a11a10-1得a10+a110,a110,S20=20(a1+a20)2=20(a10+a11)2=10(a10+a11)0,Sn取最小正值时n=19.重点难点探究探究一:【解析】(法一)设所求的通项公式为an=a1+(n-1)d,则(a1+2d)+(a1+7d)+(a1+12d)=12,(a1+2d)(a1+7d)(a1+12d)=28,即a1+7d=4,(a1+2d)(a1+7d)(a1+12d)=28,把代入得(a1+2d)(a1+12d)=7,a1=4-7d,代入,(4-5d)(4+5d)=7,即16-25d2=7,解得d=35.当d=35时,a1=-15,an=-15+(n-1)35=35n-45;当d=-35时,a1=415,an=415+(n-1)(-35)=-35n+445.(法二)a3+a13=a8+a8=2a8,又a3+a8+a13=12,故知a8=4,代入已知得a3+a13=8,a3a13=7,解得a3=1,a13=7或a3=7,a13=1.由a3=1,a13=7得d=a13-a313-3=7-110=35.an=a3+(n-3)35=35n-45.由a3=7,a13=1,同理可得:an=-35n+445.【小结】注意到等差数列中,若m,n,p,qN+且m+n=p+q,则am+an=ap+aq,而a3,a8,a13中的下标3,8,13间的关系:3+13=8+8,从而得到a3+a13=a8+a8=2a8.探究二:【解析】由数列an为等差数列,则S3,S6-S3,S9-S6为等差数列,即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),S3=9,S6=36,S6-S3=27,a7+a8+a9=S9-S6=45.【小结】数列an是等差数列,前n项和是Sn,那么Sm,S2m-Sm,S(k+1)m-Skm,(kN+)是等差数列.探究三:【解析】(1)依题意有:a3=a1+2d=12,S12=12a1+12112d0,S13=13a1+13122d0,解之得公差d的取值范围为-247d-3.(2)(法一)由da2a3a12a13,因此,在S1,S2,S12中Sk为最大值的条件为:ak0且ak+10,即a3+(k-3)d0,a3+(k-2)d0.a3=12,kd3d-12,kd2d-12.d0,2-12dk3-12d.-247d-3,72-12d4,得5.5k7.k是正整数,k=6,即在S1,S2,S12中,S6最大.(法二)由da2a12a13,因此若在1k12中有自然数k,使得ak0,且ak+10,则Sk是S1,S2,S12中的最大值.又2a7=a1+a13=213S130,a70,a6-a70,故在S1,S2,S12中S6最大.(法三)依题意得:Sn=na1+n2(n-1)d=n(12-2d)+d2(n2-n)=d2n-12(5-24d)2-d8(5-24d)2,d0,n-12(5-24d)2最小时,Sn最大;-247d-3,612(5-24d)6.5.从而,在正整数中,当n=6时,n-12(5-24d)2最小,S6最大.【小结】熟练应用前n项和公式及其函数意义解题.思维拓展应用应用一:a1+a2+a3=12,a2=4.a8=a2+(8-2)d,16=4+6d,d=2,an=a2+(n-2)d=4+(n-2)2=2n.应用二:SnSn=n2(a1+an)n2(b1+bn)=a1+anb1+bn=2n+33n-1,a9b9=2a92b9=a1+a17b1+b17=217+3317-1=3750.应用三:(1)设等差数列的公差为d,则由a5+a7=4,a6+a8=-2,得(a1+4d)+(a1+6d)=4,(a1+5d)+(a1+7d)=-2,解得a1=17,d=-3,所以数列an的通项公式为an=20-3n.(2)由20-3n0,20-3(n+1)0,解得173n203.因为nN+,所以n=6,故前n项和Sn的最大值为S6=617+652(-3)=57.基础智能检测1.D由a32+a82+2a3a8=9,得(a3+a8)2=9,an0,a3+a8=-3,S10=10(a1+a10)2=5(a3+a8)=5(-3)=-15.2.A由题意,得:-ama10,a1+am+10,Sm+1=a1+am+12(m+1)0.3.2n+3由题意得Snn=n+4,即Sn=n2+4n,当n2时,an=Sn-Sn-1=n2+4n-(n-1)2+4(n-1)=2n+3,当n=1时,a1=