高中数学 1-1 第1课时数列的概念同步导学案 北师大版必修5

第一章数列本章概述课程目标1.双基目标（1）通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊的函数；（2）通过实例，理解等差数列、等比数列的概念；（3）探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式.在公式的推导过程中，通过观察、实验、猜想、归纳、类比、抽象、概括等过程，经过反思、交流，培养学生观察、分析、探索、归纳的能力，体会由特殊到一般，由一般到特殊的思想方法；（4）体会等差数列与一次函数，等比数列与指数函数的关系；（5）能在具体问题情境中，发现等差、等比数列模型，并能运用有关知识解决相应的问题.2.情感目标（1）通过本章学习提高观察、分析、归纳、猜想的能力.（2）“兴趣是最好的老师”，数列中的奥妙与趣味定会激发你去学习，去思考，去探索.（3）通过建立数列模型，以及应用数列模型解决实际问题的过程，培养学生提出、分析、解决问题的能力，提高学生的基本数学素养，为后续的学习奠定良好的数学基础.重点难点重点：等差数列与等比数列的通项公式.前n项和公式及其应用，等差数列的性质及判定，等比数列的性质及应用.难点：等差数列、等比数列的性质及应用.方法探究1.结合实例，通过观察、分析、归纳、猜想，让学生经历数列概念、公式、性质的发现和推证过程，发现数列的递推公式，体会递推方法是给出数列和研究有关数列问题的重要方法.2.借助类比、对比，体会数列是一种特殊的函数.经历类比函数研究数列，使用函数的思想方法解决数列问题，对比等差数列研究等比数列，对比一次函数、二次函数、指数函数研究等差数列、等比数列的过程 .3.引导学生收集有关资料，经历发现等差（等比）关系，建立等差数列和等比数列的模型的过程，探索它们的概念、通项公式、前n项和公式及其性质，体会它们的广泛应用.4.帮助学生不断发现、梳理和体验本章蕴含着的丰富的数学思想方法，设计适当的训练，进一步感受“观察、试验、归纳、猜想、证明”的方法和模型化思想，函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想，体验叠加、累乘、迭代、倒序相加、乘以公比错位相减等具体方法.本章注意问题：（1）多结合实例，通过实例去理解数列的有关概念.数列与函数密切相关，多角度比较两者之间的异同，加深对两方面内容的理解.在解题或复习时，应自觉地运用函数的思想方法去思考和解决数列问题，特别是对等差数列或等比数列的问题.运用函数思想方法以及利用它所得到的许多结论，不仅可以深化对数列知识的理解，而且可使这类问题的解答更为快速、合理.（2）善于对比学习.学习等差数列后，再学等比数列时，可以把等差数列作为模型，从等差数列研究过的问题入手，再探求出等比数列的相应问题，两相对照，可以发现，在这两种数列的定义、一般形式、通项形式、中项及性质中，用了一些相类似的语句和公式形式，但内容却不相同，之所以有这样的区别，原因在于“差”与“比”不同.通过对比学习，加深了对两种特殊数列本质的理解，会收到事半功倍的效果.（3）要重视数学思想方法的指导作用.本章蕴含丰富的数学观点、数学思想和方法，学习时应给予充分注意，解题时多考虑与之相联系的数学思想方法.1数列第1课时数列的概念知能目标解读1.通过日常生活中的实例，了解数列的概念.2.掌握并理解数列、数列通项公式、递推公式的概念，能区分项和项数，并能根据数列的前几项写出它的一个通项公式，能根据数列的递推公式写出数列的前几项.3.了解数列的分类.4.了解数列的表示方法：列表法、图像法、通项公式法、递推公式法.重点难点点拨重点：了解数列的概念和简单表示方法，体会数列是反映自然规律的数学模型.难点：将数列作为一种函数去认识、了解.学习方法指导1.数列的定义(1)数列与数集是不同的，有序性是数列的基本属性.两组完全相同的数，由于排列的顺序不一样，就构成了不同的数列.因此用记号an表示数列时，不能把an看成一个集合，这是因为：数列an中的项是有序的，而集合中的元素是无序的；数列an中的数是可以重复的，即数列an中可以有相等的项，如1,1,2,2,，但集合中的元素是互异的；数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数以外的其他事物.(2)数列中的项的表示通常用英文字母加右下角标来表示，如an.其中的右下角标n表示项的位置序号.(3)an与an是不同的概念，an表示数列a1,a2,a3,an,，而an仅表示数列的第n项.2.数列的项与项数数列的项与它的项数是两个不同的概念，数列的项是指出现在这个数列中的某一个确定的数an，由于数列an的每一项的序号n与这一项an的对应关系可以看成序号集合到项的集合的函数，故数列中的项是一个函数值，即f(n).而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是这个函数值f(n)对应的自变量的值，即n的集合是自然数集（或其子集）.3.数列的分类判断一个数列是有穷数列还是无穷数列，应明确数列元素的构成以及影响构成元素的要素是有限还是无限的.4.通项公式(1)由于数列可看做是定义域为正整数集N+(或它的有限子集)的函数，数列中的各项为当自变量从小到大依次取值时，该函数所对应的一列函数值，所以数列的通项公式就是相应的函数解析式，项数n是相应的自变量.(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1,2,3去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的项，如果是的话，是第几项.(3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如的近似值，精确到1,0.1,0.01,0.001,0.0001,所构成的数列1,1.4,1.41,1.414,1.4142，就没有通项公式.注意：(1)一个数列的通项公式不唯一，可以有不同的形式，如an=(-1) n，可以写成an=(-1) n+2，还 -1(n为奇数)可以写成an= ，这些通项公式虽然形式上不同，但都表示同一数列.1(n为偶数),(2)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一.如数列2,4,8,根据有限项可以写成an=2n，也可以写成an=n2-n+2.只要符合已知前几项的构成规律即可.5.数列的递推公式(1)递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项（或第二项以后的某一项）开始的任一项an与它的前一项an-1 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种重要方法.(2)关于递推公式及应用需注意的几个问题：通项公式和递推公式的区别通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，通过通项公式就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个（或多个）相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.如何用递推公式给出一个数列用递推公式给出一个数列，必须给出“基础”数列an的第1项或前几项；递推关系数列an的任一项an与它的前一项an-1 (或前几项)之间的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示.注意：(1)并不是任何数列都能写出通项公式或递推公式.(2)以后学习或研究的数列往往以递推公式的方式给出定义或提供信息.(3)根据数列的递推公式可求数列中的任一项.例如：设数列an满足：a1=1 ，写出这个数的前5项.an=1+ (n1)由题意可知a1=1,a2=1+=1+1=2,a3=1+=1+=，a4=1+=1+=，a5=1+=1+=.此数列前5项分别为：1，2，.本例显示，递推公式和通项公式是反映数列构成规律的两个不同形式.递推公式反映的是相邻两项或几项之间的关系，它虽然揭示了一些数列的性质，但要了解数列的全貌，还需要进行计算，它的计算并不方便.而通项公式更注重整体性和统一性，利用通项公式可求出数列中的任意一项.知能自主梳理1.数列的概念（1）数列：一般地，按照一定排列的一列数叫做数列.（2）项：数列中的每个数都叫做这个数列的.（3）数列的表示：数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,an,简记为：.数列的第1项a1也称，an是数列的第n项，叫数列的.2.数列的分类项数有限的数列叫作，项数无限的数列叫作.3.数列的通项公式如果数列an的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an=f(n)，那么式子叫作数列an的.4.数列的表示方法数列的表示方法一般有三种：、.答案1.(1)次序(2)项(3)an首项通项2.有穷数列无穷数列3.通项公式4.列表法图像法解析法思路方法技巧命题方向数列的概念例1下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？(1)0,1,2,3,4;(2)0,1,2,3,4;(3)0,1,2,3,4;(4)1,-1,1,-1,1,-1;(5)6,6,6,6,6.分析此类问题的解决，必须要对数列及其有关概念理解认识到位，结合有关概念及定义来解决.解析（1）是集合，不是数列；（2）、（3）、（4）、（5）是数列.其中（3）、（4）是无穷数列，（2）、（5）是有穷数列.变式应用1下列说法正确的是() A.数列2,3,4与数列4,3,2是同一数列B.数列1,2,3与数列1,2,3,是同一数列C. 1,4,2, ，不是数列D.数列2n-3与-1,1,3,5,不一定是同一数列答案D解析由数列的概念知A中的两个数列中的数虽然相同，但排列顺序不一样，B中的两个数列前者为有穷数列，后者为无穷数列，故A、B均不正确，C中显然是数列，D中数列2n-3是确定数列，通项公式为an=2n-3，但-1,1,3,5，前4项符合an=2n-3,但后面的项不一定符合此规律，故不一定是同一数列.命题方向数列的通项公式例2写出下面各数列的一个通项公式(1)3,5,9,17,33,;(2) ，；(3) ,2, ，8，;(4) ，.分析通过观察，找出所给出的项与项数n关系的规律，再写通项公式.解析(1)通过观察，发现各项分别减去1，变为2,4,8,16,32,其通项公式为2n，故原数列的一个通项公式为an=2n+1.(2)通过观察，发现分子部分为正偶数数列2n，分母各项分解因式：13,35，57，79,为相邻奇数的乘积，即(2n-1)(2n+1)，故原数列的一个通项公式为an=.(3)由于在所给数列的项中，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数，再观察，在数列,，中，分母为2，分子为n2，故an=.(4)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，其通项公式为2n-1；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，其通项公式为(n+1) 2，分子的后一部分是减去一个自然数，其通项公式为n，综合得原数列的一个通项公式为an=.说明在根据数列的前n项求数列的一个通项公式时，要注意观察每一项的特点.解题的注意力应集中到寻求数列的项与项数的关系上来，观察这几项的表示式中哪些部分是变化的，哪些部分是不变的，再探索各项中变化部分与对应的项数之间的关系，从而归纳出项与项数关系的规律，写出通项公式.变式应用2写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：（1）1，3，7，15，31，;（2）1，；（3）0.9，0.99，0.999， 0.，.解析（1）注意观察各项发现各项分别加上1，变为2,4,8,16,32,其通项公式为2n,故原数列通项公式为an=2n-1,nN+;（2）调整为，它的前几项都是自然数的倒数，an=；（3）0.9=10.1，0.99=10.01，0.999=10.001，第n项an=0.=10.1=1.命题方向数列通项公式的简单应用例3在数列an中通项公式是an（-1）n-1,写出该数列的前5项，并判断是否是该数列中的项？如果是，是第几项，如果不是，请说明理由.分析由通项公式写出数列的前5项，令an=,判断是否有正整数解即可.解析a1=(-1) 0，a2=(-1) 1，a3=(-1) 2.a4=(-1) 3，a5=(-1) 4.该数列前5项分别为：，-,.令(-1) n-1=得n1且为奇数8n2-81n+81=0.n=9.所以是该数列中的第9项.说明已知数列的通项公式可以写出该数列中的任意一项，可以判断一个数（或代数式）是否为该数列中的项.令通项公式等于这个数，若方程有正整数解，则该数是数列中的项，否则不是.变式应用3以下四个数中，哪个是数列n（n1）中的项（）A. 380B. 39C. 32D.23分析数列an的通项公式f(n)=n(n+1)，对于某个数m，若m是数列an中的项，则n（n+1）=m必有正整数解.若无正整数解，则m肯定不是an中的项.答案A解析依次令n(n+1)=23或32或39检验知无整数解.只有n（n+1）=380有整数解n=19.探索延拓创新命题方向数列的递推公式例4在数列an中，a1=2,a2=1,且an+2=3an+1-an,求a6+a4-3a5.分析由a1=2，a2=1及递推公式an+2=3an+1-an,依次找出a3,a4,a5,a6即可.解析解法一：a1=2,a2=1,an+2=3an+1-an,a3=3a2-a1=31-2=1,a4=3a3-a2=31-1=2,a5=3a4-a3=32-1=5,a6=3a5-a4=35-2=13,a6+a4-3a5=13+2-35=0.解法二：an+2=3an+1-an,令n=4,则有a6=3a5-a4,a6+a4-3a5=0.说明递推公式是给出数列的一种方法，应用递推公式可以求数列中的项，但需要一项一项递推，故在运算过程中要特别细心.变式应用4已知数列an的首项a1=1,an=2an-1+1(n2)，那么a5=.答案31解析由递推关系式an=2an-1+1和a1=1可得a2=2a1+1=3,a3=2a2+1=7,a4=2a3+1=15,a5=2a4+1=31.名师辨误做答例5已知数列an的前4项为1,0,1,0，则下列各式可以作为数列an的通项公式的有（） an=1+(-1) n+1;an=sin2，(nN+);an=1+(-1) n+1+(n-1)(n-2);an=; 1(n为偶数)an= 0(n为奇数)A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个误解D辨析误解的原因是认为通项公式只有一个而导致错误.正解B将n=1,2,3,4分别代入验证可知均正确.均可以作为数列的通项公式，而不是数列的通项公式，答案选B.课堂巩固训练一、选择题1.数列，2，则2是该数列的（）A.第6项B.第7项C.第10项D.第11项答案B解析数列，2，的一个通项公式为an= (nN),令2,得n=7.故选B.2.数列0，的通项公式为（）A.an=B.an=C.an=D.an=答案C解析解法一：验证当n=1时，a1=0,排除A、D；当n=2时，a2=,排除B，故选C.解法二：数列0，即数列，该数列的一个通项公式为an=,故选C.3.数列1，3，6，10，x，21，中，x的值是（）A.12B.13C.15D.16答案C解析3-1=2,6-3=3,10-6=4, x-10=5 , x=15. 21-x=6二、填空题4.已知数列an的通项公式为an=2n+1,则ak+1=.答案2k+3解析an=2n+1,ak+1=2(k+1)+1=2k+3.5.已知数列an的通项公式an= (nN+),则是这个数列的第项.答案10解析令an=,即=,解得n=10或n=-12（舍去）.三、解答题6.根据数列的前四项的规律，写出下列数列的一个通项公式.(1)-1,1,-1,1;(2)-3,12,-27,48;(3) ，,，;(4) ，.解析(1)各项绝对值为1，奇数项为负，偶数项为正，故通项公式为an=(-1) n;(2)各项绝对值可以写成312,322,332,342,，又因为奇数项为负，偶数项为正，故通项公式为an= (-1) n3n2;(3)因为=,=，各项分母依次为5,8,11,14，为序号3n+2；分子依次为3,4,5,6为序号n+2，故通项公式为an=;(4)因为分母3,15,35,63可看作22-1,42-1, 62-1，82-1，故通项公式为an=.课后强化作业一、选择题1.已知数列, ,则0.96是该数列的（）A.第22项B.第24项C.第26项D.第28项答案B解析因为数列的通项公式为an=,由=0.96得n=24，故选B.2.已知an=n2+n,那么（） A.0是数列中的项B.20是数列中的项C.3是数列中的项D.930不是数列中的项答案B解析an=n(n+1),且nN+,an的值为正偶数，故排除A、C；令n2+n=20,即n2+n-20=0,解得n=4或n=-5(舍去).a4=20,故B正确；令n2+n=930,即（n+31）(n-30)=0.n=30或n=-31(舍去)a30=930,故D错.3.下面四个结论：数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集1，2，3，n）上的函数.数列若用图像表示，从图像上看都是一群孤立的点.数列的项数是无限的.数列通项的表示式是唯一的.其中正确的是（）A.B.C.D.答案A解析数列的项数可以是有限的也可以是无限的.数列通项的表示式可以不唯一.例如数列1，0，-1，0，1，0，-1，0的通项可以是an=sin，也可以是an=cos等等.4.数列2，0，4，0，6，0，的一个通项公式是（）A.an=1+(-1) nB.an=1+(-1) n+1C.an=1+(-1) n+1 D.an=1+(-1) n答案B解析经验证可知B符合要求. 3n+1(n为奇数)5.已知数列an的通项公式是an= ,则a2a3等于（） 2n-2(n为偶数)A.70B.28C.20D.8答案C解析由通项公式可得a2=2,a3=10,a2a3=20.6.(2012天津武清区)已知数列an的通项公式为an=n2-14n+45，则下列叙述正确的是（） A.20不是这个数列中的项 B.只有第5项是20C.只有第9项是20 D.这个数列第5项、第9项都是20答案D解析令an=20,得n2-14n+45=0,解得n=5或n=9,故选D.7.已知数列,，,则5是它的第（）A.18项B.19项C.20项D.21项答案D解析观察可得an的通项公式:an=,(nN+),5=,所以n=21.8.已知数列an对任意的p、qN+满足ap+q=ap+aq，且a2=-6，那么a10等于（）A.-165B.-33C.-30D.-21答案C解析对任意p、qN+都有ap+q=ap+aq.a10=a8+a2=a4+a4+a2=5a2=-30.二、填空题9.已知数列,3, ,3, ,则9是这个数列的第项.答案14解析数列可写为,，,所以an=,令=9.n=14.10.已知数列an中，an+1=对任意正自然数n都成立，且a7=，则a5=.答案1解析由已知a7=,a6=.又a6=,a5=1.11.已知数列an的通项公式是an=,则它的前4项为.答案，.解析取n=1,2,3,4,即可计算出结果.当n=1时，a1=,当n=2时，a2=,当n=3时，a3=,当n=4时，a4=.12.下列有四种说法，其中正确的说法是.数列a,a,a,是无穷数列；数列0,-1,-2,-3,的各项不可能为正数；数列f(n)可以看作是一个定义域为正整数N+或它的有限子集1，2，n的函数值；已知数列an，则数列an+1-an也是一个数列.答案解析题中显然正确，对于，数列只给出前四项，后面的项是不确定的，所以不正确，对于，数列可以看作是一个定义域为正整