数学与应用数学专业毕业论文群体灭绝问题中的随机性任务书开题报告课件

毕业论文(设计)任务书 数学与应用数学 专业 题 目 群体灭绝问题中的随机性 （任务起止日期： ） 课题内容： 论文选题为群体灭绝问题中的随机性，群体生灭过程是一种应用很广泛的 模型，在生物学、生物系统工程学和人口学等领域都有广泛的应用群体生灭是 复杂的随机过程，但它是具泊松性质的马尔可夫过程，因而可以用马尔可夫决 策规划的理论和方法来研究。动物群体的生灭问题时时刻刻影响着我们，可以 将此类问题引申到应用数学的随机过程中去进行模型的计算和模拟。本文应用 随机过程中马尔可夫链的简单知识，对生物群体灭绝与马尔可夫链的基本理论 进行了研究。 课题任务要求： 严格按照学院对本科生毕业论文(设计)工作进度计划表完成论文定稿。书写 论文过程中要积极与指导老师交流联系，杜绝抄袭，力求创新，书写严格按照 学院要求的格式完成。论文定稿后，与小组成员经行讨论并交流经验，相互取 长补短，共同进步，努力打造创新型论文。 主要参考文献（由指导教师选定） 1邓集贤，杨维权，邓永录，等.概率论及数理统计M.北京：高等教育出版 社，2009. 2胡迪鹤. 关于随机环境中的马尔可夫过程的简介J. 数学物理学报， 2010(5):121-132. 3胡迪鹤.可数的马尔可夫过程的构造理论J.北京大学学报，1965（2）: 111-143. 4王梓坤.随机过程M. 2 版,北京：科学出版社，1978. 5王梓坤.生灭过程与马尔科夫链M.北京：科学出版社，1980. 6王梓坤.概率论基础及其应用M.北京：科学出版社，1976. 7王梓坤.常反马尔可夫过程的若干性质J.数学学报，1965,15（3）:93- 102. 8侯振挺，郭青峰.齐次可列马尔科夫过程M.北京：科学出版社，1978. 9邓集贤，杨维权，许刘俊.随机过程M.北京：高等教育出版社，1992. 10陈家鑫.应用概率论M.北京：科学出版社，1992. 11邓永录.随机模型及其应用M.北京：高等教育出版社，1994. 12蒋庆琅.随机过程与生命科学模型M.上海：上海翻译出版有限公司， 1987. 13孙荣恒.随机过程及其应用M.北京：清华大学出版社，2004. 14孙荣恒.概率论和数理统计.重庆：重庆大学出版社，2000. 15孙荣恒.应用数理统计M.2 版,北京：科学出版社，2003. 16Perzen E.随机过程M.北京：高等教育出版社，1987. 17谢尔登罗斯.概率论初级教程M.北京：人民教育出版社，1980. 18William Feller.概率论及其应用M.北京：高等教育出版社，1979. 19杨超群.一类生灭过程J.数学学报，1965,15（1）:9-31. 20杨超群.关于生灭过程构造论的注记J.数学学报，1965,15（2）:174- 187. 21杨超群.生灭过程的性质J.数学进展，1966,9（4）:423-452. 同组设计者：无 注：此表由学生本人按指导教师下达的任务填写打印。 毕业论文(设计) 开开题题报报告告 题 目 群体灭绝问题中的随机性 专 业 数学与应用数学 一、 选题理由 数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。随机过程 是随机数学（研究随机现象统计规律性的一个数学分支）的一个重要部分，随 机过程(Stochastic Process)是一连串随机事件动态关系的定量描述。如今随 机过程论是在自然科学、工程科学及社会科学各领域研究随机现象的重要工具。 随机过程论目前已得到广泛的应用，在诸如天气预报、统计物理、天体物理、 运筹决策、经济数学、安全科学、人口理论、可靠性及计算机科学等很多领域 都要经常用到随机过程的理论来建立数学模型。足见应用数学中的随机过程在 当今社会科学影响下的重要作用。 如今人类以及动物种群的的生灭问题时时刻刻影响着我们，而我们可以将 此类问题引申到应用数学的随机过程中去进行模型的计算和模拟。在研究随机 过程时我们可以透过表面的偶然性描述出必然的内在规律并以概率的形式 来描述这些规律，从偶然中悟出必然正是这一学科的魅力所在。显然这样 得出的数据会对整个自然社会的发展起到至关重要的作用。 本文选题为群体灭绝问题中的随机性，群体生灭过程是一种应用很广泛的 模型，在生物学、生物系统工程学和人口学等领域都有广泛的应用群体生灭是 复杂的随机过程，但它是具泊松性质的马尔可夫过程，因而可以用马尔可夫决 策规划的理论和方法来研究。1907 年前后，马尔可夫(Markov)研究了一系列有 特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链。马尔可夫链是数学中具有马 尔可夫性质的离散时间随机过程。该过程中，在给定当前知识或信息的情况下， 过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来（即当期以后的未来状态）是无 关的。这种链之所以重要，一是由于它的理论比较完整深入，可以作为一般马 尔可夫过程及其它随机过程的借鉴，二是它在自然科学和许多实际问题的广泛 应用。 关于生灭过程研究的结果已经十分丰富了，物理、化学、生物、医学等的 许多实际模型都可以用生灭过程来描述。本文运用马尔可夫链的简单知识，对 生物群体灭绝与马尔可夫链的基本理论进行了研究。文中将生物概率与数学理 论中的随机过程联系起来，最后通过分析论证并得到群体灭绝概率的一般通式。 最后我还将研究的结论应用到实例及数学理论计算中。 数学家华罗庚曾经说过：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地 球之变，日用之繁，无处不用数学。在我们的生活中，处处存在数学知识。正 式出于应用数学与我们生活的紧密联系，才让我选择了这个题目。希望借此对 群体灭绝与所学的东西联系起来，同时也加深了自己对数学这门自然科学的认 识。因为数学可以帮助我们更好地认识自然和人类社会，更好的适应生活，所 以在本文中我也是尝试着用所学的高等数学知识去分析生活中存在的问题。 因为知识有限，很可能文中存在着不少的问题，但自己会坚持把应用数学 的知识发扬到生活中去。 二、 国内外研究现状综述 随机过程整个学科的理论基础是由柯尔莫哥洛夫和杜布奠定的。这一学科 最早源于对物理学随机过程理学的研究，如吉布斯、玻尔兹曼、庞加莱等人对 统计力学的研究，及后来爱因斯坦、维纳、莱维等人对布朗运动的开创性工作。 1907 年前后，马尔可夫研究了一系列有特定相依性的随机变量，后人称之为马 尔可夫链。1923 年维纳给出布朗运动的数学定义，直到今日这一过程仍是重要 的研究课题。随机过程一般理论的研究通常认为开始于 20 世纪 30 年代。1931 年，柯尔莫哥洛夫发表了概率论的解析方法 ，1934 年 A辛饮发表了平 稳过程的相关理论 ，这两篇著作奠定了马尔可夫过程与平稳过程的理论基础。 1953 年，杜布出版了名著随机过程论 ，系统且严格地叙述了随机过程基本 理论。 本文主要应用了随机过程中很重要的一部分知识马尔可夫链。马尔可夫 链，因安德烈马尔可夫（A.A.Markov，18561922）得名，是数学中具有马 尔可夫性质的离散时间随机过程。马尔可夫在 1906 年首先做出了这类过程 。 而将此一般化到可数无限状态空间是由柯尔莫果洛夫在 1936 年给出的。马尔 可夫链通常用来建模排队理论和统计学中的建模，还可作为信号模型用于熵编 码技术，如算术编码（著名的 LZMA 数据压缩算法就使用了马尔可夫链与类似 于算术编码的区间编码） 。马尔可夫链也有众多的生物学应用，特别是人口过 程，可以帮助模拟生物人口过程的建模。隐蔽马尔可夫模型还被用于生物信息 学，用以编码区域或基因预测。马尔可夫链最近的应用是在地理统计学 （geostatistics）中。其中，马尔可夫链用在基于观察数据的二到三维离散 变量的随机模拟。这一应用类似于“克里金”地理统计学（Kriging geostatistics） ，被称为是“马尔可夫链地理统计学” 。这一马尔可夫链地理 统计学方法仍在发展过程中。 国内在这方面研究取得前沿成绩的代表主要是中国科学院院士王梓坤。50 至 60 年代，王梓坤在生灭过程研究中提出了极限过渡构造方法，以此解决了 生灭过程的构造问题。他还将差分和递推方法应用于生灭过程的泛函和首达时 分布的研究，得到了一系列结果。在马氏过程方面，王梓坤证明某些马氏过程 的常返性等价于其有限调和函数为常数，而 0-1 律等价于其有限过分函数为常 数。80 年代，王梓坤和他的小组研究布朗运动与位势理论和多参数马氏过程。 1980 年他与 R.K.Getoor 几乎同时独立地解决了布朗运动的首出时与末离时的 联合分布问题。1984 年他利用多重随机积分给出了多指标 Ornstein- Uhlenbeck 过程的定义，并取得了一系列的成果。国外 J.B.Walsh 于 1986 年也 提出了基本上一致的定义。后来王梓坤又将两种定义作了统一的处理。1980 年， 王梓坤的研究专著生灭过程与马尔可夫链作为“纯粹数学与应用数学专著” 丛书的第 5 号由科学出版社出版。 四十多年来，北京师范大学王梓坤的概率论研究群体发展了无穷粒子系统、 马尔可夫过程和随机分析等具有特色的研究方向，形成了勤奋严谨、奋发向上、 团结互助的科学传统。马氏过程研究组的工作涉及生灭过程与马氏链、马氏过 程与位势理论、多参数马氏过程、测度值马氏过程、数理金融、计算机模拟与 统计预报等领域。研究内容为“物理、生物和金融中的随机模型” 。 三、 设计（论文）方案 在指导老师的悉心指导下，论文分以下三个阶段完成。 1、与指导老师积极的交流联系，由指导老师选定参考文献。自己常到图 书馆借阅文献资料，为论文搜集整理丰富的参考资料，为后期书写论 文工作打好坚实的基础。 2、在第一步的基础上书写论文初稿，并时常与指导老师联系，及时向指 导老师反映论文进展情况。论文要求真实有效，杜绝抄袭。书写过程 认真按照学院格式要求经行，力求创新。 3、初稿定稿后，与指导老师展开讨论，经行 2 次后 3 次修稿。认真按照 指导老师要求完成任务，不抱怨、不气馁，反复修改论文直至定稿。 论文定稿后，与小组成员经行讨论并交流经验，相互取长补短，共同进步， 努力打造创新型论文。 四、 重点难点及创新之处 1、应用全新的知识点马尔可夫链来研究群体灭绝的问题。 2、关于生灭过程研究的结果已经现在已经十分丰富了。本文也只是应用 马尔可夫链的简单知识来讨论群体灭绝的概率。文章最后得到了当时，1 0 X 即第一代总个体是为 1 时，群体灭绝的概率通式，并对其进行了探究很论证。 3、最后将结论应用到生活实例及数学理论计中。 五、 应收集资料及参考文献（不低于 20 篇） 1邓集贤，杨维权，邓永录，等.概率论及数理统计M.北京：高等教育出版 社，2009. 2胡迪鹤. 关于随机环境中的马尔可夫过程的简介J. 数学物理学报， 2010(5):121-132. 3胡迪鹤.可数的马尔可夫过程的构造理论J.北京大学学报，1965（2）: 111-143. 4王梓坤.随机过程M. 2 版,北京：科学出版社，1978. 5王梓坤.生灭过程与马尔科夫链M.北京：科学出版社，1980. 6王梓坤.概率论基础及其应用M.北京：科学出版社，1976. 7王梓坤.常反马尔可夫过程的若干性质J.数学学报，1965,15（3）:93- 102. 8侯振挺，郭青峰.齐次可列马尔科夫过程M.北京：科学出版社，1978. 9邓集贤，杨维权，许刘俊.随机过程M.北京：高等教育出版社，1992. 10陈家鑫.应用概率论M.北京：科学出版社，1992. 11邓永录.随机模型及其应用M.北京：高等教育出版社，1994. 12蒋庆琅.随机过程与生命科学模型M.上海：上海翻译出版有限公司， 1987. 13孙荣恒.随机过程及其应用M.北京：清华大学出版社，2004. 14孙荣恒.概率论和数理统计.重庆：重庆大学出版社，2000. 15孙荣恒.应用数理统计M.2 版,北京：科学出版社，2003. 16Perzen E.随机过程M.北京：高等教育出版社，1987. 17谢尔登罗斯.概率论初级教程M.北京：人民教育出版社，1980. 18William Feller.概率论及其应用M.北京：高等教育出版社，1979. 19杨超群.一类生灭过程J.数学学报，1965,15（1）:9-31. 20杨超群.关于生灭过程构造论的注记J.数学学报，1965,15（2）:174- 187. 21杨超群.生灭过程的性质J.数学进展，1966,9（4）:423-452. 邓集贤，杨维权，邓永录，等.概率论及数理统计M.北京：高等教育出版社， 2009. 六、进度安排 2011.3.204.17 课题调研，查阅资料 4.184.25 撰写开题报告 4.265.20 撰写并提交初稿 5.215.23 修改论文并提交修改稿 5.245.27 二次修改论文并定稿 5.285.31 论文定稿、上交、提交论文答辩申请、评阅、答辩 七、指导教师意见 指导教师签名： 年 月 日 八八、专业负责人意见（或开题审查小组意见） 签名： 年 月 日 目目 录录 摘要摘要1515 ABSTRACTABSTRACT1616 正文正文 1 1 引言引言1717 2 2 预备知识预备知识1717 3 3 模型分析模型分析1818 4 4 灭绝概率分析灭绝概率分析2121 5 5 实例分析应用实例分析应用2323 致谢致谢2424 参考文献参考文献2525 群体灭绝问题中的随机性群体灭绝问题中的随机性 摘摘 要要 群体生灭过程是一种应用很广泛的模型，在生物学、生物系统工程学和人口学等领域 都有广泛的应用群体生灭是复杂的随机过程，但它是具泊松性质的马尔可夫过程，因而可 以用马尔可夫决策规划的理论和方法来研究。 关键词关键词：群体，随机性，马尔可夫链，生灭过程 TheThe randomnessrandomness ofof colony“birth-and-death”colony“birth-and-death” ABSTRACTABSTRACT A colony “birth-and death”process is a kind of widely used model,especially inthe field of biology,biological system engineering,population science, and so forth.A colony“birth-and- death”process is complicated stochastic process,a Markovian process with the nature of Poisson.And it can be studied by the theory and method of Markovian decision programming. KEYKEY WORDSWORDS：colony ，randomness,Markov chains, birth-death process 1 1 引言引言 1907 年前后，马尔可夫(Markov)研究了一系列有特定相依性的随机变量， 后人称之为马尔可夫链。这种链之所以重要，一是由于它的理论比较完整 101 深入，可以作为一般马尔可夫过程及其它随机过程的借鉴，二是它在自然科学 和许多实际问题的广泛应用。 马尔可夫过程的基本概念是系统“状态”及状态“转换”的概念。预备知 识中会对马尔可夫链的基础知识进行描述。 关于生灭过程 研究的结果已经十分丰富 了，物理、化学、生物、医学等 的许多实际模型都可以用生灭过程来描述。本文应用随机过程中马尔可夫链的 简单知识，对生物群体灭绝与马尔可夫链的基本理论进行了研究。最后还将研 究的结论应用到实例及数学理论计算中。 2 2 预备知识预备知识 为了便于研究群体灭绝问题中的随机性（即与马尔可夫过程的关系） ，引 入了马尔科夫链的定义和性质。 定义定义2.1：设随机序列;0的状态空间为（离散），如果对 n XnSn 0 N ， 及, , , , 0 ， 0 i 1 i. n i 1n iSP nn iXiXiX,., 1100 有： P 1n X 1n i nn iXiXiX,., 1100 （2.1）P 1n X 1n i n X n i 则称; 0为 Markov 链。 n Xn 注：等式（2.1）刻画了 Markov 链的特性，称此特性为 Markov 性或无 后效性（即随机过程将来的状态只与现在的状态有关，而与过去无关），简称 为马氏性。Markov 链也称为马氏链。 定义定义2.2：称条件概率为Markov链的一步| 1 iXjXP nn .2, 1, 0,nXn 转移概率，简称转移概率，记为，它代表处于状态 的过程下一 ij pi 步 转移到状态的概率。 j 定义定义 2.3:当 Markov 链的转移概率=只与状态有关， ij p| 1 iXjXP nn ji, 而与无关时，称之为时齐 Markov 链；否则，就称之为非时齐的。n 注：此只讨论时齐 Markov 链，简称 Markov 链。 定义定义2.42.4：离散分支过程 考虑某一群体，假设某一代的每一个个体可以产生个下一代，其中是取 值非负整数的离散型随机变量，设 k akP 0 k a0k 0 0 k k a 某一代各个体产生下一代的个数相互独立同分布且上一代相互独立。 令：表示第代个体的数目，则当时，有 0 ；当0 n Xn0 n X 1n X n X 时， 有： 1n X 1 Z 2 Z. 1n Z 其中 是第代中第 个个体产生下一代的个数。 i Zni 由此可知，只要给，那么的分布就完全决定了，且与以前的, n X 1n X 1n X,. 2n X 无关，故,1 是一马氏链。把这一类马氏链称为离散的分支过程。由母函数 n Xn 的 性质，可以证明一步转移概率为： ij PP 1n XjiXnP 1 2 . n X j n Xi P 1 2 . i j = 0 0 ! )( x j k ik k j xj xa 显然有： 1, 0 ( 0) ，因此，状态0是离散分支过程的吸收 00 p k p0k 状态。在离散分支过程模型中，我最关心的问题是此过程被状态0吸收的概率， 即灭绝概率问题。 3 3 模型分析模型分析 在历史上有不少显赫的家族与民族消失了。我们可能会问：一个群体最终灭 绝的概率有多大？它与什么有关？ 在此，将此生物概率与数学理论中的随机问题联系起来。最后通过分析讨论 并得到群体灭绝概率的一般通式。 考虑一个能产生同类后代的个体组成的群体，每一个体生命结束时以概率 产生了个新的后代，与别的个体产生的后代的个数相互独立。.)3 , 2 , 1 , 0( jpjj 初始个体数以表示，称为第零代的总数；第零代的后代构成第一代，其总数 0 X 记为，第一代的每个个体以同样的分布产生第二代，一般地，以记 1 X n X 第代的总数。此 Markov 链称为分支过程。n.2 , 1 , 0, 1nXn 故设为某群体第代得个体数，且,并设不同个体的“子女”数是独 n Xnn0 立同分布随机变量。以表示第带第 个成员的“子女”数，且设 )(n i Zni （3.1）1, 0.,2 , 1 , 0, 100 )( pppjpjZP j n i “”表示一个成员的“子女”数为 0 是可能发生的。 “”表示一 0 p01 10 pp 个成员的“子女”数为 2,3，也是可能发生的。由上述假设则有 （3.2） n x i n in ZX 1 )( 1 该式表示第代成员数是第代各个成员的“子女”数之和。显然，当已1nn n X 知时, 与,无关，所以，是马氏（Markov）链，为 1n X 1n X , 2n X 0 X n X0n 离散分支过程。现在来讨论，当时，该群体灭绝的概率。1 0 X 设 .，, 2 , 1 , 0,)(nkkXPnp nk 则 kk pkZPkXPnp)( )0( 11 在研究只取有穷或无穷非负整数值（=0,1,2,.）的随机变量时，用母函数k 来代替特征函数较为方便。 定义定义 3.1 设随机变量的分布列为 =，0,1,2 k pkPk. 记实变数 的实函数s .（） k k ks psEs )()( 11s 称为的母函数（PGF） ，如不产生混乱，简记为.)(s )(s )(s 记的概率母函数（PGF）为， 1n X)( 1 sAn 即 ， （3.3）)( 1 sAn )( 1 X n sEPs k k 0 kXn 1 1s 则 =)( 1 sAn)( 0 1 kXPkXsE n k n X n =，=0，1，2. （3.4）)( 1 sAAnn 设的 PGF 为，即=， )( 1 n Z)(sA)(sA)( )( 1 n Z sE k k ks p 0 1s 因为不同个体的子女数独立分布，且， )0( 11 ZX 所以 = （3.5）)(sA)( )0( 1 Z sE)( 1 sA 由式（3.4）递推得到 =)( 1 sAn)( 1 sAAn)( 111 sAAAn =)( 21 sAAn =)( 212 sAAAn)( 32 sAAn = （3.6）)( 1 sAA n 因为如果第代成员数为 0，则第代成员数肯定是为 0。n1n 即 00 1 nn XX 所以 1) 1()(0 00 npnp 从而数列的极限存在，记为，0),( 0 nnp 0 即 = 0 )(lim 0 np n 4 灭绝概率分析灭绝概率分析 性质性质 4.1 设为一分支过程，且有，。其中， n n n E)(0n)(E 即为任意一个体繁殖后代的平均数。 从而有 )( )( n n E . 1 , ; 1, 1 ; 1, 0 上式表示：，意味着个体繁殖后代的平均数低于上代的死亡数，它1 将导致群体的灭绝；，意味着个体繁殖后的平均数高于上代的死亡数，1 它将导致群体的爆炸。 定理定理 4.1 当=1 时，上述群体灭绝的概率是方程的最小正根。其 0 X 0 )(sAs 中为即的 PGF。且该群体最终肯定灭绝的充分必要条件是一个成员)(sA )0( 1 Z 1 X 的平均“子女”数不超过 1（图 41） ， 即 =1 （3.7） 0 1 其中， 0,1,2,， =1,2)()( )( 1 )0( 1 n i ZEXEZEn.i. y x xy )(xAy 1 1 图 41 定理 4.1 已经给出了灭绝概率与任意一个体繁殖后代的平均数的关 0 系，那么下面对群体会灭绝即=1 与的关系进行证明,即证明 0 =1。 0 1 因为=，且当时，有)( )0( 1 ZE) 1 ( / A1) 1 (A0)0( 0 pA0s ，所以是凹向上的凸函数。从而曲线0)(sA0)( / sA0)( / sA)(sA 与直线在区间（0，）中最多只有两个交点，即方程)(xAy xy 最多有两个正根。显然是的一个正根，所以方程)(sAs 1s)(sAs 在（0,1）内最多平有一个根。)(sAs （）当时，对任意，) 1 ( / A1) 1 , 0(s 有 )( / sA) 1 ( / A1 由微分中值定理有 ，1)( 1 )() 1 ( / A s sAA 1s 即，此式在（0,1）中方程无解。所以 1 是的最小0)( ssA)(xAs )(xAs 正根，即。1 0 （）反之，如果，则一定有。如果，令，1 0 11ssAsB)()( 则在（0，+）中是凹向上的凸函数。因为，)(sB01) 1 ( / B0)0(B ，以及在上是连续的，所以在（0,1）中必有一根，0) 1 (B)(sB, 0)(xAs 又因对任意满足方程的正数，有，所以方程)(xAs pppAAp)()0( 0 有一个大于小于 1 的正根，即这与是方程)(xAs 0 p1 00 p1 0 的最小正根矛盾（图 42）,故。)(xAs 1 y x xy 1 1 )(sAy 0 图 42 5 实例分析应用实例分析应用 实例 1：由式（3.7）发现：我国计划生育政策是一对夫妇生两个子女，即任意一 个体繁殖后代的平均数=1，并且提倡一对夫妇生一个子女，即=0.5，这样中 华名族岂不是要灭绝？如果按照该政策一直继续下去，答案是肯定的。但是，我 国现在人口个体基数很大，且实行计划生育政策时间不长，即还没能达到1 直观上的改变。在今后一段时间内，我国人口不仅不会减少而且还会增加，而增 加的势头会逐渐减弱。上述定理的结论（=1）是一个极限过程，需要 0 1 很长时间，直观上，越大（越接近 1）需要的时间越长，越小（越接近 0） 需要的时间越短。当