《 复数代数形式的乘除运算》导学案

第 3 课时 复数代数形式的乘除运算 1.理解复数的代数形式的四则运算,并能用运算律进行复数的四则运算 . 2.能根据所给运算的形式选择恰当的方法进行复数的四则运算 . 两个多项式可以进行乘除法运算,例如( a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd;对于两个复数 a+bi,c+di(a,b,c,dR), 能像多项式一样进行乘除法运算吗? 问题 1:结合多项式乘法运算的特点,说明复数乘法运算有哪些特点? (1)复数的乘法与多项式的乘法类似,只是在运算过程中把 i2 换成 ,然后实部、虚部分别合并; (2)两个复数的积仍是一个复数; (3)复数的乘法与实数的乘法一样,满足交换律、结合律及分配律; (4)在复数范围内,实数范围内正整数指数幂的运算律仍然成立 . 问题 2:什么是共轭复数? 一般地,当两个复数的 时,这两个复数叫作互为共轭复数 . 问题 3:怎样进行复数除法运算? 复数的除法首先是写成分数的形式,再利用两个互为共轭复数的积是一个实数,将分母化为实数,从而化 成一个具体的复数 . 问题 4:复数的四种基本运算法则 (1)加法:( a+bi)+(c+di)= ; (2)减法:( a+bi)-(c+di)= ; (3)乘法:( a+bi)(c+di)= ; (4)除法:( a+bi)(c+di)= = (c+di0). + 1.i 是虚数单位,复数 z= 的虚部是 ( ). 2+33+2 A.0 B.-1 C.1 D.2 2.复数 z1=3+i,z2=1-i,则 z=z1z2 在复平面内的对应点位于( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知复数 z 与( z+2)2-8i 均是纯虚数,则 z= . 4.设复数 z 满足 i(z+1)=-3+2i(i 为虚数单位),试求 z 的实部 . 复数代数形式的乘法运算 计算:( 1)(1-i)(1+i)+(-1+i); (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i; (3)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i) (4)(1-i)3. 复数代数形式的除法运算 计算:( 1)(1+2i)(3-4i); (2) ; (1+)3(1)3(1+)2(1)2 (3)( + i)4+ . 12 32 (1 3)2(2+2)2 复数四则运算的综合应用 已知 |z|2+(z+ )i= (i 为虚数单位),试求满足条件的 z. 32+ 计算:( 1)(1-i)2; (2)(- + i)( + i)(1+i). 12 32 32 12 计算: (1) ; (14)(1+)+2+43+4 (2) + . + + 若关于 x 的方程 x2+(t2+3t+tx)i=0 有纯虚数根,求实数 t 的值和该方程的根 . 1.复数 z= (i 为虚数单位),则 |z|等于( ). (2)2 A.25 B. C.5 D.41 5 2.i 是虚数单位,则复数 +(1+2i)2 等于( ). 21+ A.-2-5i B.5-2i C.5+2i D.-2+5i 3.若复数 z 满足 z(1+i)=2,则复数 z= . 4.计算 : +( )2014. 344+3 11+ (2014 年山东卷 )已知 a,bR,i 是虚数单位 .若 a-i 与 2+bi 互为共轭复数,则( a+bi)2=( ). A.5-4iB.5+4i C.3-4i D.3+4i 考题变式(我来改编): 第 3 课时 复数代数形式的乘除运算 知识体系梳理 问题 1:(1)-1 问题 2:实部相等 ,虚部互为相反数 问题 4:(1)(a+c)+(b+d)i (2)(a-c)+(b-d)i (3)(ac-bd)+(ad+bc)i (4) + i +2+22+2 基础学习交流 1.B z= = =-i,虚部为 -1,故选 B. 2+3(2+3)1 2.D z=z1z2=(3+i)(1-i)=4-2i. 3.-2i 设 z=bi(bR),则( z+2)2-8i=(bi+2)2-8i=4-b2+(4b-8)i,依题意得 解得 b=-2. 42=0,480, 所以 z=-2i. 4.解 :(法一) i(z+1)=-3+2i, z= -1=-(-3i-2)-1=1+3i, 3+2 故 z 的实部是 1. (法二)令 z=a+bi(a、 bR), 由 i(z+1)=-3+2i, 得 i(a+1)+bi=-3+2i, -b+(a+1)i=-3+2i, a+1=2,a=1. 故 z 的实部是 1. 重点难点探究 探究一:【解析】(1)(1 -i)(1+i)+(-1+i)=1-i2-1+i=1+i. (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i =(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i =(-2+11i+5)(3-4i)+2i =(3+11i)(3-4i)+2i =(9-12i+33i-44i2)+2i =53+21i+2i=53+23i. (3)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i) =(4-i)(6-2i)+(7-i)(4-3i) =(24-8i-6i+2i2)+(28-21i-4i+3i2) =47-39i. (4)(1-i)3=13-312i+31i2-i3 =1-3i-3-(-i)=-2-2i. 【小结】三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算,混合运算与实数的 运算顺序一样,对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法,用乘法公式更简捷,如平方差公式、立方差公 式、完全平方公式等 . 探究二:【解析】(1)(1 +2i)(3-4i)= 1+234 = = (1+2)(3+4)(34)(3+4) 5+1025 =- + i. 1525 (2)(法一)原式 = 1+3(1+)+313(1)32+2 = =1. 44 (法二)原式 = (1+)(1)(1+)2+(1+)(1)+(1)2 (1+)+(1)(1+)(1) = =1. 44 (3)原式 =( + i)22+ 12 32 2234(1+)2 =(- + i)2- =- - i+ i- 12 32 1+34 12 32 14 34 =(- - )+( - )i. 12 34 14 32 【小结】进行复数的运算,除了应用四则运算法则之外,对于一些简单算式要知道其结果,这样可方便计 算,简化运算过程,比如 =-i,(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i, =i, =-i,a+bi=i(b-ai), =i,等等 . 1 1+1 11+ + 运算方法要灵活,有时要巧妙运用相应实数系中的乘法公式,比如第(2) 题中的解法一 . 探究三:【解析】原方程化简为 |z|2+(z+ )i=1-i, 设 z=x+yi(x,yR),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i, 2+2=1,2=1, =12, =32, 原方程的解为 z=- i. 12 32 【小结】对于此类复数方程我们一般是设出复数的代数形式 z=x+yi(x,yR),然后将其代入给定方程,利 用复数四则运算将其整理,然后利用复数相等的充要条件来求解 . 思维拓展应用 应用一:(1 )(1-i)2=1-2i+i2=-2i. (2)(- + i)( + i)(1+i) 12 32 32 12 =(- - )+( - )i(1+i) 34 34 3414 =(- + i)(1+i) 32 12 =(- - )+( - )i 3212 12 32 =- + i. 1+32 1 32 应用二:(1 ) = (14)(1+)+2+43+4 1+43+2+43+4 = = = 7+3+4 (7+)(34)32+42 21+4+32825 = =1-i. 252525 (2) + = + =i-i=0. + + () (+)+ 应用三:设 x=ai(aR 且 a0)是方程 x2+(t2+3t+tx)i=0 的一个纯虚根,将其代入方程可得( ai)2+(t2+3t+tai) i=0,-a2-at+(t2+3t)i=0,由复数相等的充要条件可得 故 t=-3,方程的两个根为 0 或 3i. 2=0,2+3=0, =3,=3, 基础智能检测 1.C z= =-4-3i,所以 |z|=5. 34 2.D +(1+2i