整式形式的分式函数求不定积分的方法探讨

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 整式形式的分式函数求不定积分的 方法探讨 【摘要】本文针对整式分式函数 积分问题概括了五种特殊的积分方法， 熟练掌握和应用这五种方法对于解决这 类分式函数的不定积分问题非常方便快 捷，从而有利于进一步拓宽思路，大大 提高不定积分的运算能力. 中国论文网 /9/view-13002877.htm 【关键词】整式分式函数；不定 积分；方法 一、引言 不定积分是高等数学教材的一个 重要知识点，整式分式函数求不定积分 是微积分知识中的一个重点也是一个难 点问题，在整式分式形式各异时，求不 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 定积分的方法也不尽相同，很多学生在 遇到求整式分式形式的函数不定积分时， 不知该用哪种方法来解答，甚至不知如 何入手.本文从分子、分母的特点出发， 对整式分式形式函数求不定积分的方法 进行了分类和总结. 二、方法分类 设 f（x） ，g（x）为关于 x 的整 式函数，下面对于计算不定积分f（x） g（x）dx 时，常见情况进行分类讨论. （1）当分子 f（x）为多项式， 分母 g（x）为单项式时，直接拆项（用 f（x）每一项除以 f（x） ） ，对每一项使 用基本积分公式进行积分. 例 1x3+2x2+3x+33x2dx=x3+23+1x+1x2dx =x26+23x+ln|x|-1x+C. （2）当分子 f（x）为常数 C， 分母 g（x）为不可因式分解的二次多项 式时，把分母 g（x）化简为“完全平方 公式+正数” 的形式（分母 g（x）已经是 “平方形式+正数” 时，无须化简） ，然后 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 使用直接积分法积分. 例 213x2+2dx=12132x2+1dx =66arctan62x+C. 例 31x2-6x+13dx=1（x-3） 2+4dx =12arctanx-32+C. （3）当分子 f（x）为多项式或 单项式，分母 g（x）为可因式分解的二 次多项式时，把分母 g（x）因式分解后， 拆项（拆成加法或者减法形式） ，然后 对每一项进行积分. 例 4（平方差公式型，拆成减法） 14x2-1dx=1（2x+1） （2x-1）dx =1212x-1-12x+1dx =14ln|2x-1|-14ln|2x+1|+C. 例 5（十字相乘型，拆成减法） 1x2-3x+2dx=1（x-1） （x-2）dx =1x-2-1x-1dx=ln|x-2|-ln|x-1|+C. 例 6（十字相乘型，拆成加法） 2x-3x2-3x+2dx=2x-3（x-1） （x- 2）dx -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 =1x-1+1x-2dx=ln|x-1|+ln|x-2|+C. （4）当分子 f（x）可凑成分母 g（x）或 g（x）中的乘积因子时，把分 子 f（x ）先加上（减去）一个因子（可 以是常数因子也可以是函数因子）配成 g（x）或 g（x）中的那部分乘e 因子， 而后减去（加上）一个相同因子，然后 拆项，再积分. 例 7（加上（减去）常数因子） x23 （1+x2 ）dx=x2+1- 13（1+x2）dx =x2+13 （1+x2 ）-13（1+x2） dx=13x-13arctanx+C. 例 8（加上（减去）函数因子） 1x6 （1+x2 ）dx=1+x2- x2x6（1+x2）dx =x2+1x6 （1+x2 ）- x2x6（1+x2）dx =-15x5-1+x2-x2x4（1+x2）dx=- 15x5+13x3-1x-arctanx+C. （5）当分子 f（x）可凑成分母 g（x）的微分，或者分子 f（x）的一部 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 分可凑成分母 g（x）的微分时，凑完后 积分，或者凑完拆项后积分. 例 92x+2x2+2x+2dx=1x2+2x+2d（x2+2x+ 2） =ln|x2+2x+2|+C. 例 102x-1x2+2x+2dx=（2x+2）- 3x2+2x+2dx =ln|x2+2x+2|-3arctan（x+1）+C. 三、结语 对于形式为整式的分式函数求不 定积分，应用