小学五年级学生问题解决中几何直观能力的水平研究

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 小学五年级学生问题解决中几何直 观能力的水平研究 摘 要问题是数学的心脏，问题 解决是数学学习的本质特征，几何直观 是解决数学问题的重要方式，利用图形 去分析和描述问题，实现问题的直观化 表示是问题解决的重要途径。由问题解 决和几何直观的含义入手，分析得出小 学五年级学生运用几何直观进行问题解 决时存在感知、理解、把握和推理四个 水平。 中国论文网 /9/view-12941980.htm 关键词 问题解决；几何直观； 存在性 中图分类号 G623.5 文献标识 码 A 文章编号 1007-9068（2018）08- -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 0010-03 一、问题解决的含义 数学家哈尔莫斯说：“问题是数 学的心脏。 ”数学之所以成为锻炼人们思 维的“体操”，就是因为它总是不断地提 出问题和解决问题。数学问题解决 （Problem Solving）或称解决问题，是 指利用某些方法和策略，使个人从初始 状态情境达到目标状态情境的过程。数 学问题解决过程是一个连续进行数学思 维的过程：首先是引发问题，问题是在 一定的情境中引发的，并且对学生来说 要具有一定的思考价值；其次是解决问 题，情境所引发的问题按照一定的目标， 应用各种认知，经过一系列的思维操作， 使问题得以解决。 问题解决是数学学习的本质特征。 我国基础教育数学课程改革非常重视学 生问题解决能力的培养，把问题解决 （解决问题）作为义务教育阶段数学课 程目标之一，并提出要培养学生发现问 题、提出问题、分析问题和解决问题的 能力，即通常所说的“ 四能 ”。数学问题 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 解决的宏观过程为：问题情境转换 寻求解法求得解答。在转换和寻求解 法环节，几何直观被认为是常用的方法 和手段。 二、几何直观的含义 直观是指人用感官直接接受的、 直接观察的，即人们接触事物时，借助 于经验、观察、想象等产生的对事物及 其关系直接的感知与认识。从狭义上理 解，直观是视觉化、形象化的，是通过 对客观事物的直接接触而获得的感性认 识。几何直观主要是利用图形来描述和 分析问题，也就是通过图形获得的对所 研究问题的数量关系和空间形式的视觉 化的、形象化的认识。 20 世纪最伟大的数学家希尔伯特 在名著直观几何一书中说道：“图 形可以帮助我们发现和描述研究问题， 能帮助我们寻求解决问题的思路，可以 帮助我们理解和记忆得到的结果。 ”几何 直观是数形结合思想的体现，通过图形 的直观性质，可以阐明数与数之间、形 与形之间、数与形之间的关系，实现代 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 数问题与图形之间的互相转化和相互渗 透，把抽象的数学问题具体化和形象化， 是探求数学问题的重要途径。正如荷兰 数学教育家弗赖登塔尔所言：几何直观 能告诉我们什么是可能重要、可能有意 义和可接近的，并使我们在课题、概念 与方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。 三、几何直观能力水平的划分 布鲁姆（B.Bloom ） 、克拉斯沃尔 （D.R.Krathwohl）等是较早研究教学目 标分类的学者，他们在借鉴生物学动植 物分类方法的基A 上，创立了目标分 类理论。其中，认知目标分成识记、领 会、应用、分析、综合及评价六种水平。 我国义务教育数学课程标准将课程目标 分为知识与技能、过程与方法、情感态 度与价值观三个维度；另外，从学习角 度出发，课程标准又将课程目标分为结 果性目标和过程性目标。结果性目标分 为了解、理解、掌握、运用四个水平； 过程性目标用体验、经历、探索等动词 来描述，显然也存在水平差异。 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 艾伦霍弗（Alan Hoffer） 研 究了几何课程中的认知情况，指出其中 存在 5 方面技能：视角方面技能、语言 方面技能、绘图方面技能、逻辑方面技 能、应用方面技能。这 5 方面技能对应 着 5 种能力，即视角技能直观能力、 语言技能口头表达能力、绘图技能 画图能力、逻辑技能逻辑能力、应用 技能运用能力。显然，Hoffer 所提出 的几何中的技能既是从不同角度去认识 的，同时又有水平划分。 几何直观是学生运用实物、符号、 图形描述问题，以及认知数学问题的能 力。几何直观存在不同的形式，可以划 分为不同水平。以布鲁姆认知分类目标 理论和我国义务教育阶段性结果目标水 平的划分为基础，根据几何直观的内涵， 结合 Hoffer 对几何中的技能水平的划 分，可以将几何直观能力水平划分为感 知、理解、把握、推理四个水平，建构 如下分析框架。 四、问题解决中几何 直观能力水平的存在性 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 1.测试工具 自编几何直观能力水平测试卷 ，对问题解决中几何直观能力水平的存 在性进行分析。初试卷由 4 个问题组成， 每题 5 分，共 20 分，要求学生在 20 分 钟内完成。第 1 题是通过画图理解实际 问题中的分数，第 2 题是通过图形模式 去描述整数的运算，第 3 题是对运算法 则的深入理解，第 4 题是对数据的分析 与描述。前三题是数与代数领域的内容， 明确要求画图说明，第 4 题是统计与概 率内容，要求用统计图表去描述和解决 问题。试卷编制过程中，特别邀请了一 线教师和研究员进行编制和修改，以确 保试题的效度。 2.工具的信度 试卷编制完成后，对重庆市某区 小学五年级 60 名学生进行预测，并邀 请参与试卷编制的一位小学数学教师统 一评分，然后利用 SPSS.20 对数据进行 分析处理。各测试题中，学生的平均得 分和对应的标准差见表 2。 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 在利用 SPSS.20 进行信度分析时， 先在模型框选择 Cronbachs Alpha 系数， 即 系数，然后在各题项之间选择相关 系数，置信区间和检测值选择系统默认 值，就得到各题项的相关系数（如表 3）： 测试卷的 Cronbachs Alpha 系数为 0.670，基于标准化项的 Cronbachs Alpha 系数为 0.693。从表 3 可以看出，第 2 题与第 3、4 题的相关 性较低。第 2 题是有关分数的认识，测 试学生运用图形直观描述分数的能力。 从初试情况看，学生都能通过实物直观 建立实物与学习对象的对应关系，说明 学生都能达到几何直观的感知水平，把 该题编入测试卷意义不大。删去该题， 重复上述过程，计算出由第 1、3、4 题 组成的测试卷的系数为 0.788，基于标 准化项的系数为 0.818，这样的测试卷 信度较好。 3.测量结果 正式测试对象为重庆某区小学五 年级学生（105 人） ，其中城市学生 60 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 人，乡镇学生 45 人。为了减少测试卷 对学生的影响，我们把测试内容编入学 生的单元测试中，让学生在正常的课堂 状态下进行测试，测试题在单元测试卷 中处于计算题的第 2、3、4 题。学生运 用直观化策略解决各问题的主要方法统 计如下： 4.分析与讨论 问题解决时必须理解问题情境中 的具体关系，才能选择适合的图形去表 示，这一能力水平称为几何直观的理解 水平。例如第 2 题是考查学生对整数及 运算法则的理解，通过画图，把客人数 和所需要的不同的桌子数直观表示出来， 体现了学生的思维过程。从统计情况看， 小学 5 年级学生基本上都能_到这一 水平。 第 3 题是考查学生对小数和小数 运算法则的理解和描述。分析测试结果 后发现，主要存在两种情况：第一种是 只运算，没能画图，这样的学生有 43 人，占 41%；第二种是通过画线段图来 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 9 表示，这样的学生有 62 人，占 59%。 画线段图时，有的学生能画出整数部分， 也有的学生能画出小数部分，但都没能 正确用线段图表示运算法则。在问题解 决中，必须把握具体情境中数学对象的 几何属性，只有掌握了对象的几何属性， 问题解决时才能正确进行直观表示，这 一能力水平我们称之为几何直观的掌握 水平。从测试情况看，只有一半的学生 达到该能力水平，造成这个现象有两个 方面的因素：一是小学数学教材通常是 让学生通过单位换算去认识小数的，如 人民币 1 元 5 角可以表示为 1.5 元，从 而引入小数，缺乏引入小数必要性的介 绍以及怎么理解小数的直观表示；另一 方面是由于学生之前已经学习了分数， 教师往往只强调运算而忽视对算理的直 观表示。 统计与概率这一题没有明确要求 学生用画图的方式对问题进行描述，但 学生必须运用统计表或是统计图对数据 进行描述，然后回答问题。学生解决问 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 10 题的方法主要有三种：一是放弃回答， 有 20 人，占 19%；二是通过观察数据， 选择身高比较接近的 5 人作为答案，采 用这种方式回答的有 73 人，占 69%； 三是没有列表，但进行了分段统计，具 备用统计表描述问题的思想，采用这种 方法描述问题的有 12 人，占 11%。运 用几何直观进行推理，是几何直观的推 理水平。从测试结果看，虽然学生已经 学习了统计表和条形统计图，但缺乏运 用统计表和统计图描述数据、分析问题 的意识，主要是因为课程标准对该部分 的要求是给定统计表和统计图后能完成 相应的问题，因此教材都是直接给出统 计表和统计图，这让学生难以体会到运 用统计表和统计图去描述问题的必要性。 在范希尔（Van Hiele）夫妇提出 几何思维模式后，学者们对几何思维从 不同层面进行了研究，虽然不同学者对 几何思维水平的划分不尽相同，但都证 实了几何思维水平层次的存在性。布格 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 11 （Burger）和桑尼斯（ Shaughnessy）认 为“数学思维既是连续的，也是动态变 化的，每一个水平都取决于对前一个水 平的掌握”，证实了小学生问题解决中 几何直观水平的存在性，学生运用几何 直观进行问题解决时存在感知、理解、 掌握和推理四个水平。 参 考 文 献 1 喻平.数学教学心理学M. 北 京：北京师范大学出版社，2010. 2 教育部.义务教育数学课程标 准（2011 年版）M.北京：北京师范大 学出版社，2012. 3 安德森著.布卢姆教育目标分 类学：分类学视野下的学与教及其测评 M.蒋小平译，北京：外语教