大学物理力学作业分析(4)

大学物理作业分析（四） （2007/04/22） 4.1 一人从 10m深的井中提水，开始时桶中装有 10kg的水，由于水桶漏水，每升高 1m要漏出 0.2kg。忽略桶的质量，问此人要将水桶从井底匀速拉升到井口，需要做多 少 功。用变力做功计算。 设井中水面为坐标原点， y轴竖直向上。依题意，当桶提升高度为 y时，桶中水的质量 。匀速提升时，外力 ，故做功 ym2.01.0 g)2.01(mgF 1 J82).(gdxyFdxA 4.5 设两粒子之间的斥力 ，式中 k为常数， r为两粒子之间的距离。试求两粒子相3/rkf 距为 r时的势能。设 f=0的状态为势能零点。 空间某点的势能 等于保守力从该点（r）到零势能点 的积分，)(Ep )(0r 0)(rpdEF 本题要求将零势能点设置在 处，即 ，故 03kF0rrprkdE23 注：以上两题做得很好！ 4.8 长 l 的绳一端固定，另一端系一质量为 m 的小球，如图 4-21 所示。今小球以水平速度 从 A 点抛出，在竖直平面内作圆周运动，由于存在空气阻力，小球在 C 点 脱离圆轨道，gv50 )90( 求阻力所做的功。 将小球与地球视为一个系统。在小球由 A 至 C 的运动过程中，系统受空气阻力作用，根据 功能原理，空气阻力做的功等于系统机械能的增量，即 。取 A 点为重力势能cEA 零点，有 2021)cos(1mvmgRvEAcAc 在 C 点时，小球脱离圆轨道，绳松驰，拉力 ，应有T lmgc2os 联立求解、式，得： )1(cos3glA 注：此题很多同学计算结果出错！ 4.10 如图 4-22所示，弹簧下面悬挂着质量分别为 、 的两个物体，开始时它们1m2 都处于静止状态。突然把 与 的联线剪断后， 的最大速率是多少？设弹簧的劲度系1m2 数 ， ， 。N/9.8kg501g30 yo 习 题 4.1图 c A v o 习 题 4.8图 本题研究的是剪断 m1与 m2间连线后的情况。 将 m1、弹簧、地球构成一系统，该系统不受外力作用，内部没有非保守力做功，机械 能守恒。取剪 断 连 线 的 瞬 间 为 初 态 ， 速 率 最 大 时 为 末 态 ， 弹 簧 为 原 长 时 作 为 弹 性 势 能 和 重 力 势 能 的 零 点 ， 则 初 态 时 弹 簧 形 变 x1，且 gmxk21 末态时因速率要达到最大（动能最大） ，必是势能 为最小。令 ，解得在2122)(gmkxEP 012dxEP 处 EP 有极小值，即 m1 在 处速率最大，根据机械能守gx1 kg12 恒 ，有 21 21212 vmxxk 将 x1及 x2代入上式，解得： /s40.985.013.1kmgv 注：此题做得很好！ 4.13 一质量 的子弹，以水平速度 飞行，射穿一个用轻绳悬挂的g0.2 m/s501v 冲击摆，穿出后的子弹速度 ，如图 4-24所示。设摆锤质量 M=1.0kg，/s02v 求摆锤能够上升的最大高度(取 g=10m/s2)。 可将整个过程分解为两个分过程： （）子弹与摆的碰撞过程。将子弹和摆构成一个系统，系统水平方向动量守恒。设 子弹射出摆后，摆以速度 V开始运动，有 Vmv21 （）摆的上升过程。将摆与地球构成一个系统，系统机械能守恒。设摆在竖直位置 处为初态，此时速度 V，摆上升到最大高度 h处为末态，此时速度为零， ghmV21 联立求解、式，可得摆上升的最大高度 10.2)5()(2)( 2321gmvh m10.32 4.15 测子弹速度的一种方法是把子弹水平射入一个固定在弹簧上的木块中，由弹簧 压缩的距离就可求出子弹的速度，如图 4-26所示。已知子弹的质量 0.02kg，木块质量 8.98kg，弹簧的劲度系数 ，子弹射入木块后，弹簧被压缩 10.0cm，求子弹的速度。1mN0 设木块与平面间的摩擦因数为 0.20。 将 问 题 分 解 为 两 个 过 程 讨 论 ： () 子弹射入木块过程。这是子弹与木块的完全非弹性碰撞，将子弹与木块构成一个 系统，系统动量守恒。设子弹的初态速度为 ，碰后子弹与木块的共同速度为 v，有 0v vmv)(210 m l m2 x2 x1 0 x ml 习 题 4.10图 () 弹簧压缩过程。将子弹、木块、弹簧构成一系统，有摩擦力 做gmf)(21 功，根据功能原理，摩擦力的功等于系统机械能的增量， 21221 )()( vmkxgm 联立求解、式，可得子弹的初速度 xkgv )()(21210 1.018.9).0.(98.0 m/s39 4.17 一框架质量为 200g，悬挂在弹簧上，使弹簧伸长了 10cm，另有一块粘性物质 质量为 200g，从框架底面上方 30cm高处自由落下，粘在框架底盘上，见图 4-28。试求框 架向下移动的最大距离。 将问题分解为三个分过程讨论 () 粘性物质 m1从 h 高度处自由下落至框架面上， ghv2 () 粘性物质 m1与框架 m2发生完全非弹性碰撞，撞后共同的速度为 V，根据碰撞过 程动量守恒， Vv)( () 碰后的运动。将粘性物质 m1，框架 m2，弹簧和地球看作一个系统，系统无外力 和非保守内力做功，机械能守恒。设 m1、m 2开始以速度 V 运动时为初态，此时弹簧伸长 ，0x 02kxgm 弹簧最大伸长 x 时为末态，此时二物体速度为零。取弹簧的原长为弹性势能和重力势能零 点，由机械能守恒，有 gxmkxgmkxVm)(21)(21)(21 21010 弹簧最大下移 0xs 联立求解式，得 c3 注：以上三题有少数同学计算过程对了但结果不对，！ 4.20 图 4-30 为卫星绕地球运转的示意图，若分别用 m 和 M 表示卫星和地球的质量， 和 表示卫1v 星在近地点和远地点的速率，关于 和 的关系，以下 3 个方程中哪些是正确的？1v2 (1) 角动量守恒 rm (2) 机械能守恒 21 2rGM (3) 牛顿第二定律 2 2, rvmrvG (1) 正确。卫星在椭圆轨道上运动时，所受地球的万有引力对地心的力矩为零，根据角动 量守恒定律，卫星对地心的角动量应守恒。 (2) 正确。将卫星与地球构成一系统，系统只有万有引力做功，万有引力是保守力， 故系统机械能守恒。 (3) 不正确。两式的右侧含有法向加速度，分别用 和 表示，式中分母的1 2rv 应分别为 在 近 地 点 和 远 地 点 时 椭 圆 轨 道 的 曲 率 半 径 ，而不是图上标出的 ，21、r 2和 21r和 。2 注：此题第三问做得不好！ 4.21 在光滑的水平面桌面上，有一劲度系数为 k的轻弹簧，一端固定于 O点，另一端连 结一质量为 M的木块，处于静止状态。一质量为 m的子弹，以速度 沿与弹簧垂直的方向0v 射入木块，与之一起运动，如图 4-31所示。设木块由最初的 A点运动到 B点时，弹簧的长 度由原长 变为 l，求 B点处木块速度 v的大小和方位角 。0l 将问题分解为两个分过程讨论： () 子 弹 射 入 木 块 。 将 子 弹 与 木 块 看 作 一 个 系 统 ， 碰 撞 过 程 动 量 守 恒 。设碰后速度为 v1, 1202)(vmv () 碰后从 A 运动到 B。在碰后的运动过程中， （ ）作为一个整体，水平面上21m 只受 弹 簧 的 弹 力 作 用 ， 弹 力 指 向 0 点 ， 对 0 点 的 力 矩 为 零 ， 故 子 弹 、 木 块 系 统 对 0 点 的 角 动 量 守 恒 ， sin)()(21021vlmlvm 再将 m1、m 2及弹簧看作一个系统，系统无外力和非保守内力做功，机构能守恒， 20211 )()()( lk 联立求解式，得： 2021021 )(lmkvv 2021200)(arcsinlmkvl 注：很多同学不会求方位角 4.22 A、 B粒子之间有万有引力作用， B固定不动， A从远处以初速 按图示轨道运动。在0v 图 4-32中 D和 A、 B的最近距离 d均已知。求 A在离 B最近点时的速率 v和 B的质量。