2016年全国普通高等学校招生考试试卷(新课标1卷)

共 19 页，第 1 页 2016 年全国普通高等学校招生考试试卷（新课标 1 卷） 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 一、选择题（题型注释） 1设集合 ， ，则 A B C D 2设 ，其中 x，y 是实数，则 A1 B C D2 3已知等差数列 前 9 项 的和为 27， ，则 A100 B99 C98 D97 4某公司的班车在 7:30，8:00，8:30 发车，小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车，且 到达发车站的时刻是随机的， 则他等车时间不超过 10 分钟 的概率是 A B C D 5已知方程 表示双曲线，且 该双曲 线两焦点间的距离为 4，则 n 的取 值范围是 共 19 页，第 2 页 A(1,3) B(1, ) C(0,3) D(0, ) 6如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆 中两条互相垂直的半径.若该几何 体的体积是 ，则它的表面 积是 A17 B18 C20 D28 7函数 y=2x2e|x|在2,2 的图 像大致为 8若 ，则 A B C D 共 19 页，第 3 页 9执行下面的程序框图，如果输入的 ，则输出 x，y 的值满足 A B C D 10以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点.已知|AB|= ，|DE|= ，则 C 的焦点到准线的距离为 A2 B4 C6 D8 11平面 过正方体 ABCD A1B1C1D1 的顶点 A， /平面 CB1D1， 平面 ABCD=m， 平面 ABB1 A1=n，则 m，n 所成角的正弦值为 A B C D 12已知函数 为 的零点， 为 图像的对称轴，且 在 单调， 则 的最大值为 A11 B9 C7 D5 共 19 页，第 4 页 二、填空题（题型注释） 13设向量 a=(m,1)，b=(1,2)，且 |a+b|2=|a|2+|b|2，则 m= . 14 的展开式中，x 3 的系数是 .（用数字填写答案） 15设等比数列 满足 a1+a3=10，a2+a4=5，则 a1a2 an 的最大值为 . 16某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A 需要甲材 料 1.5 kg，乙材料 1 kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg，乙材料 0.3 kg，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生 产一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有 甲材料 150 kg，乙材料 90 kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润 之和的最大值为 元. 三、解答题（题型注释） 17 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 （）求 C； （）若 的面积为 ，求 的周长 18如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形， AF=2FD， ，且二面角 D AF E 与二面角 C BE F 都是 共 19 页，第 5 页 （）证明：平面 ABEF 平面 EFDC； （）求二面角 E BC A 的余弦值 19某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰 .机器有一易损零件，在购进机 器时，可以额外购买这种零件作 为备件，每个 200 元.在机器使用期 间，如果备件不足再购买， 则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台 这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数， 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零 件数. （）求 的分布列； （）若要求 ，确定 的最小值； （）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 与 之中选其一， 应选 用哪个？ 20设圆 的圆心为 A，直 线 l 过点 B（1,0）且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C，D 两点， 过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. （）证明 为定值，并写出点 E 的轨迹方程； （）设点 E 的轨迹为曲线 C1，直 线 l 交 C1 于 M,N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交 于 P,Q 两点，求四 边形 MPNQ 面积的取值范围. 共 19 页，第 6 页 21已知函数 有两个零点. （）求 a 的取值范围； （）设 x1，x2 是 的两个零点，证明： . 22选修 4 4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数，a0）.在以坐标原点 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐 标系中，曲 线 C2：=“4cos“ . （）说明 C1 是哪种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程； （）直线 C3 的极坐标方程为 =0，其中 0满足 tan 0=2，若曲 线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求 a. 共 19 页，第 7 页 参考答案 1D 2B 3C 4B 5A 6 A 7 D 8C 9C 10B 11A 共 19 页，第 8 页 12B 13 14 15 16 17（） ；（） . 18（）见解析；（） 19（）见解析；（）19；（） . 20（） （ ）；（） 21（） ；（）见解析 共 19 页，第 9 页 22（）圆， ；（）1 【解析】 1 试题分析：因为 所以 故选 D. 【考点】集合的交集运算 【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题的形式出现,属得分题.解决此类问题 一般要把参与运算的集合化为最简形式，再 进行运算,如果是不等式的解集、函数的定义域 及值域等有关数集之间的运算,常借助数轴求解. 2 试题分析：因为 所以 故选 B. 【考点】复数运算 【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考 查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共 轭复数、复数的模及复数的乘除运算. 这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是 中的负号易忽略,所以做复数题 时要注意运算的准确性. 3 试题分析：由已知， 所以 故 选 C. 【考点】等差数列及其运算 【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式 ,而这两组公式可看作多元方程,利 用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（ 组）,因此可以说 数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效 的方法. 共 19 页，第 10 页 4 试题分析：由题意，这是几何概型 问题，班 车每 30 分钟发出一 辆，到达发车站的时间总长度 为 40，等车不超过 10 分钟的 时间长度为 20，故所求概率 为 ，选 B. 【考点】几何概型 【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测 度有长度、面积、体积等. 5由题意知：双曲线的焦点在 轴上，所以 ，解得 ，因为方程 表示双曲线，所以 ，解得 ，所以 的取值范围是 ， 故选 A 【考点】双曲线的性质 【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题出现,主要考查双曲线的几何性质,属于基础题.注意 双曲线的焦距是 2c 而不是 c,这一点易出错. 6 由三视图知，该几何体的直观图 如图所示： 是一个球被切掉左上角的 ,即该几何体是 个球， 设球的半径 为 ，则 ，解得 ，所以它的表面 积是 的球面面积和三个扇形面积之和, 即 ，故 选 A 【考点】三视图及球的表面积与体积 【名师点睛】由于三视图能有效地考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何 题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般与几何体的表面积与体积相结合.由三 视图还原出原几何体是解决此类问题的关键. 7 试题分析：函数 f(x)=2x2e|x|在 2,2上是偶函数，其图像关于 轴对称，因为 共 19 页，第 11 页 ，所以排除 选项；当 时， 有一零 点，设为 ，当 时， 为减函数，当 时， 为增函数故 选 D. 【考点】函数图像与性质 【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中,也可以说是高考的热点问题,这类题目一 般比较灵活,对解题能力要求较高,故也是高考中的难点,解决这类问题的方法一般是利用间 接法,即由函数性质排除不符合条件的选项. 8 试题分析：用特殊值法，令 ， ， 得 ，选项 A 错误， ， 选项 B 错误， ，选项 C 正确， ，选项 D 错误，故 选 C 【考点】指数函数与对数函数的性质 【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或 对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较. 9 试题分析：当 时， ，不 满足 ； ，不 满足 ； ，满足 ；输出 ，则输出的 的值满足 ，故选 C. 【考点】程序框图与算法案例 【名师点睛】程序框图基本是高考每年必考知识点,一般以客观题的形式出现,难度不大,求解 此类问题只需按照程序逐步列出运行结果. 10 试题分析：如图，设抛物线方程 为 ，圆的半径为 r, 交 轴于 点，则 ，即 点纵坐标为 ，则 点横坐标为 ，即 ，由勾股定理知 ， ，即 ， 解得 ，即 的焦点到准 线的距离为 4，故 选 B. 共 19 页，第 12 页 【考点】抛物线的性质 【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所 以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好 的主要原因. 11 试题分析：如图，设平面 平面 = ，平面 平面 = ，因为 平面 ，所以 ，则 所成的角等于 所成的角.过 作 ，交 的延长线 于点 E,连接 ，则 为 .连接 ，过 B1 作 ， 交 的延长线于点 ，则 为 .连接 BD，则 ，则 所成的 角即为 所成的角，为 ，故 所成角的正弦 值为 ，选 A. 【考点】平面的截面问题，面面平行的性 质定理，异面直 线所成的角 【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成的角,求异面直线所成角的步骤是：平移定 角、连线成形、解形求角、得钝求补. 12 试题分析：因为 为 的零点， 为 图像的对称轴，所以 ，即 ，所以 ，又因为 共 19 页，第 13 页 在 单调，所以 ，即 ，则 的最大值为 9.故 选 B. 【考点】三角函数的性质 【名师点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能 力的好题.注意本题求解中用到的两个结论： 的单 调区间长度是最小正周期的一半;若 的图像关于直 线 对称,则 或 . 13 试题分析：由 ，得 ，所以 ，解得 . 【考点】向量的数量积及坐标运算 【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题的形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆 公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若 ,则 . 14 试题分析： 的展开式的通项为 ( ，1，2，5)， 令 得 ，所以 的系数是 . 考点:二项式定理 【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项 ,再确定 r 的值,从而确定指 定项系数. 15 试题分析：设等比数列 的公比为 ，由 得 ，解得 .所以 ，于是当 或 时， 取得最大值 . 【考点】等比数列及其应用 共 19 页，第 14 页 【名师点睛】高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意方程思想及数列 相关性质的应用,尽量避免小题大做. 16 试题分析：设生产产品 A、产品 B 分别为 、 件，利润之和为 元，那么由题意得约束条件 目标函数 . 约束条件等价于 作出二元一次不等式组表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示. 将 变形，得 ，作直 线： 并平移，当直线 经过点 时， 取得最大值. 解方程组 ，得 的坐标为 . 所以当 ， 时， . 故生产产品 A、产品 B 的利润 之和的最大值为 元 . 【考点】线性规划的应用 【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题的形式出现,基本题型是给出约 束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距 离,解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算失误. 共 19 页，第 15 页 17 试题分析：（）利用正弦定理进行边角代换，化 简即可求角 C；（）根据 及 可得 再利用余弦定理可得 ，从而可得 的周长为 试题解析：（）由已知及正弦定理得 ， 故 可得 ，所以 （）由已知， 又 ，所以 由已知及余弦定理得， 故 ，从而 所以 的周长为 【考点】正弦定理、余弦定理及三角形面积公式 【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式, ,这是常用的结论,另外利 用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边”. 18 试题分析：（）证明 平面 ，结合 平面 ，可得平面 平面 （）建立空间坐标系，利用向量求解. 试题解析：（）由已知可得 ， ，所以 平面 又 平面 ，故平面 平面 （）过 作 ，垂足 为 ，由（ ）知 平面 以 为坐标原点， 的方向 为 轴正方向， 为单位 长，建立如图所示的空间直角坐 标系 由（）知 为二面角 的平面角，故 ，则 ， ，可得 ， ， ， 由已知， ，所以 平面 又平面 平面 ，故 ， 共 19 页，第 16 页 由 ，可得 平面 ，所以 为二面角 的平面角， 从而可得 所以 ， ， ， 设 是平面 的法向量， 则 ，即 ， 所以可取 设 是平面 的法向量， 则 ， 同理可取 则 故二面角 E BC A 的余弦值为 【考点】垂直问题的证明及空间向量的应用 【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明,空间中线面位置关系的证 明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系 ,其中推理 论证的关键是结合空间想象 能力进行推理,注意防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为 主.第二问一般考查角度问题,多用空间向量法解决. 19 试题分析：（）先确定 X 的所有可能取 值，然后求相应的概率，可得 X 的分布列；（）通过 概率大小进行比较；（）分别求出 n=19，n=20 的期望，比较即可. 试题解析：（）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更 换的易损零件数为 8，9，10，11 的概率分别为 0.2，0.4，0.2，0.2，从而 ； ； ； ； ； ； 共 19 页，第 17 页 . 所以 的分布列为 16 17 18 19 20 21 22 （）由（）知 ， ，故 的最小值为 19. （）记 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）. 当 时， . 当 时， . 可知当 时所需费用的期望值小于 时所需费用的期望值，故应选 . 【考点】概率与统计、随机变量的分布列 【名师点睛】本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有一定的综合性， 但难度不是太大,求解的关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题. 20 试题分析：（）利用椭圆定义求方程；（）把面积表示为关于斜率 k 的函数，再求最值。 试题解析：（）因为 ， ，故 ， 所以 ，故 . 又圆 的标准方程为 ，从而 ，所以 . 由题设得 ， ， ，由椭圆定义可得点 的轨迹方程为： （ ）. （）当 与 轴不垂直时，设 的方程为 ， ， . 由 得 . 则 ， . 所以 . 过点 且与 垂直的直线 ： ， 到 的距离为 ，所以 共 19 页，第 18 页 .故四边形 的面积 . 可得当 与 轴不垂直时，四 边形 面积的取值范围为 . 当 与 轴垂直时，其方程为 ， ， ，四边形 的面积为 12. 综上，四边形 面积的取 值范围为 . 【考点】圆锥曲线综合问题 【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位 置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、求最值、求参数取值范围等 几部分组成.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数 思想及化归思想的应用. 21 试题分析：（）求导，根据导函数的符号来确定（主