20_6354421_34.逐项比较法巧证一类函数和型不等式

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 逐项比较法巧证一类函数和型不等式 证明一类 函 数 和型 不等式 的 通法 把 证明不等式 g(n) f(n)(其中 ,前 n 项和 或 前 n 项 积 ,f(n),g(n)都 是关于 n 的非常数函数 )与 函数 和导 数 综合是目前高考的热点题型 ,我们称为函数和型不等式 ,对此类问题 可 统一使用 逐项比较 法 分析 解决 . 母题结构 :己知 前 n 项和 ,f(n),g(n)都 是关于 n 的非常数函数 ,证明 :g(n) f(n); 母题 解 析 :构造数列 x1=f(1),当 n 2 时 ,xn=f(n)-f(y1=g(1),当 n 2 时 ,yn=g(n)-g(则 ang(n) f(n),即要证 g(n) f(n),只须证 :子题类型 :(2010 年湖北高考试题 )已知函数 f(x)=ax+xb+c(a0)的图像在点 (1,f(1)处 的切线方程为 y=( )用 a 表示出 b,c; ( )若 f(x) 1,+ )上恒成立 ,求 a 的取值范围 ; ( )证明 :1+21+31+ +n1ln(n+1)+)1(2 nn(n 1). 解析 :( )由 f(1)=a+b+c=0,f (1)= b=c=1 )令 g(x)=f(x)ax+1 g (x)=1xa();当 01 g(x)在 (1,)上递减 g(x) f(x) 令 a=21,x= 1+ 点评 :己知 是数列 前 若 an 证明和型 函 数 不等式的基础 . 比较 子题类型 :(2012 年 四川 高考理 科 试题 )已知 a 为正实数 ,n 为自然数 ,抛物线 y=x 轴正半轴相交于点 A,设 f(n)为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距 . ( )用 a 和 n 表示 f(n); ( )求对所有 n 都有1)( 1)( nf 33a 的最小值 ; ( )当 04n=(1+3)n 23a 的最小值 = 17 ; ( )令 2()( 1 =nn 1;由427 )1()0( )()1( ff =427 n 1是 数列 ,当 n 2 时 ,27n 项和 ;则 bnnn 1427 x=(0,1)21427x 274;由 21213 )22( 3 =274,等号仅在 x=32时 成立 nk 2()( 1427 )1()0( )()1( ff . 点评 :函数形式的突出特点是 :待证不等式 an需采用换元 x=h(n),并求 则 an=f(x)g(x),然 后 利用导数证明不等式 f(x)g(x),从而间接证明不等式 an子题类型 :(2007 年 四川 高考试题 )设函数 f(x)=(1+n1)x(n N,且 n1,x R). ( )当 x=6 时 ,求 (1+n1) ( )对任意的实数 x,证明 :2 )2()2( f (x)(f (x)是 f(x)的 导 函数 ); ( )是否存在 a N,使得 2(1+n1)+2f (x)2 )2()2( f (x); ( )令 1+n1)n,即 是否存在 a N,使得 n1;由 +x)0) + . ( )求 a 的值 ; () 若对任意的 x 0,+ ),有 f(x) 求实数 k 的最小值 ; () 证明 : ni 22n+1)0,且 a 1),g(x)是 f(x)的反函数 . ( )设关于 x 的方程 )(1( 2 xx t =g(x)在区间 2,6上有实数解 ,求 ( )当 a=e 时 ,证明 :nk ()1(222 nn 3.(2011 年 四川 高考试题 )已知 函数 f(x)=32x+21,h(x)= x . ( )设函数 F(x)=f(x)-h(x),求 F(x)的单调区间与极值 ; () 设 a R,解关于 x 的方程 ;3f(43= () 试比较 f(100)h(100)-1001 )(k 4.(2012 年 四川 高考 文 科 试题 )已知 抛物线 y=,设 f(n)为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距 . ( )用 a 和 n 表示 f(n); ( )求对所有 n 都有1)( 1)( nf a 的最小值 ; ( )当 00;当 k 21 时 ,g (x) 0 g(x) g(0)=0 f(x) 当 0g(0)=0 f(x)盾 21; () 令 数列 前 n 项和为 n+1)+2,则 x1=,当 n 2 时 ,xn=n+1)此时 ,122 k=11;所以 ,g(k) 利用导数易证 ,所以nk ()1(222 nn ( )由 F (x)=32F(x)的 递减 区间 是 (0,169 ),递增 区间 是 (169 ,+ ),F(x)的极 小 值 F(169 )=81 ,无 极 大 值 ; () 由 3f(43= a+4=0 当 45 时 ,无解 ; () 设 数列 前 n 项和为 f(k)g(k) ,当 2 k 100 时 ,34 k k 1k k =61(4 k -(41k =61 1)14()34( )1()14()34(22 11)14()34( 1 k f(100)h(100)-1001 )(k 1. ( )由 A(20)y =抛物线在点 A 处的切线 :y= f(n)=( )由 f(n)=)( 1)( nf 2n+1;取 n=1 得 :a 3;当 a=3 时 ,3 n 1+2n+1 成立 ;综上 ,a 的最小值 =3; ( )令 2()( 1 =nn 1;由 6)1()0( )1()1( ff =6n 1 1是 数列 n 项和 ;则 anbnnn 16令 x=(0,1)216x )1()0( )1()1( ff . ( )由 g(x)=(x 0),用数学归纳可证明 :gn(x)=;( )设 h(x)=f(x)x)(x 0),则 h (x)=x11( h (0) 0 a 1;当 a 1 时 ,h (x)=2)1( 1x 0