3_8064967_12.中点问题.课标高考的特色试题

2017 年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 617 中国 高考数学母题 (第 178 号 ) 中点问题 直线与二次曲线相交 的一个特殊 问题 是 弦的 中点问题 与中点相关的两类重要问题是 :垂直平分线和 对称问题 ;弦的 中点问题 是课标高考的特色试题 . 母题结构 :( )(中点性质 ) 若 :222(ab0)的 不过坐标原点 意一条 弦 ,则 22 若 双曲线 G:22(a0,b0)的 不过坐标原点 意一条 弦 ,则 B 的中点 2( )(中点 问题 ) 存在的条件 :圆锥曲线 G 存在以 P(x0,中点弦的充要条件是 P(x0,圆锥曲线 G 的 “ 内 部” ; 中点弦方程 :圆锥曲线 G:x+=0 以 P(x0,中点 弦的方程 :20F=;记忆的方法 :不变 :各项系数、常数项及运算符号不变 ;变化 :二次项 :次项 :x20y20 ( )(对称条件 )己知 直线 l:y=kx+m(k 0)和 椭圆 C:222(ab0),则 椭圆 在 不同的两点关于 直线 充要条件是 (a2+直线 且不平行于坐标轴 ,有两个交点 A,B,线段 中点为 M.( )证明 :直线 斜率与 l 的斜率的乘积为定值 ; ( )若 l 过点 (3m,m),延长线段 交于点 P,四边形 否为平行四边形？若能 ,求此时 l 的斜率 ;若不能 ,说明理由 . 解析 :( )设直线 l:y=kx+b(0),A(x1,B(x2,将 y=kx+b 代入 9x2+y2=() x1+M(92k b) 9;( )由 l 过点 (3m,m) b=3 )3( M(-)9(3 )3(2k )3(3 2k 又由 四边形 平行四边形 P(-)9(3 )3(2 2 k )3(6 2k 9-)9(3 )3(2 2 k +9)3(6 2 k =4(3= k=4 7 . 点评 :对 于中点性质的证明有三种证法 :韦达定理法 ;作差分析法 ;中点弦方程 ;对具体问题可选用适合的证法 . 同 类 试题 : 1.(2015 年课标 高考文科试题 )已知椭圆 C:222(ab0)的离心率为22,点 (2, 2 )在 C 上 .( )求 C 的方程 ; ( )直线 且不平行于坐标轴 ,有两个交点 A,B,线段 中点为 直线 斜率与直线 2,(2010 年大纲 高考试题 )己知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C:22(a0,b0)相交于 B、 D 两点 ,且 中点为M(1,3).( )求 C 的离 心率 ; ( )设 C 的右顶点为 A,右焦点为 F,|17,证明 :过 A、 B、 D 三点的圆与 x 轴相切 . 子题类型 :(2006 年北京高考试题 )椭圆 C:222(ab0)的两个焦点为 P 在椭圆 C 上 ,且 |34,|314.( )求椭圆 C 的方程 ; 618 备战高考数学的一条捷径 2017 年课标高考 母题 ( )若直线 l 过圆 x2+ 的圆心 M,交椭圆 、 且 A、 B 关于点 M 对称 ,求直线 l 的方程 . 解析 :( )由 2a=|6 a=3,又因 | 4 b=2 椭圆 49 22 =1; ( )圆 x2+ 的圆心 M(),A、 B 关于点 M 对称 线段 中点为 M,设点 A(x0,则点 B(由点A、 B 在椭圆 C 上 36)2(9)4(4 369420202020yx 85=0 点 A 在直线 85=0 上 ,同理可得 :点 B 也在直线85=0 上 直线 l 的方程 :85=0. 点评 :中点问题即与中点相关的问题 ,而求中点弦的方程是中点问题的核心 ,本题中求中点弦方程的方法具有普遍性 . 同 类 试题 : 3.(2012 年浙江 高考试题 )如图 ,椭圆 C:222(ab0)的离心率 为21,其左焦点到点 P(2,1)的距离为 10 ,不过原点 O 的直线 相交于 A,B 两点 ,且线段 直线 分 .( )求椭圆 C 的方程 ; ( )求 积取最大值时直线 l 的方程 . 4.(2011 年山东高考试题 )在平面直角坐标系 ,已知椭圆 C:32x+斜率为 k(k0)且不过原点的直线 于 A,B 两点 ,线段 中点为 E,射线 椭圆 ,交直线 x=点 D(-3,m).( )求 m2+ ( )若 |=|(i)求证 :直线 (问点 B,能 ,求出此时 若不能 ,请说明理由 . 件 子题类型 :(1986 年广东高考试题 )己知椭圆 C 的直角坐标方程为42x+32y=1,试确定 m 的取值范围 ,使得对于直线y=4x+m,椭圆 C 上有不同的两点关于该直线对称 . 解析 :设点 A(x1,B(x2,中点 M(x0,由 1243 1243 22222121yx 321 2121 21 xx 3)41(00 m,3m,由点 M(3m)在椭圆34 22 =1 的内部 3 )3(4)( 22 0)相交于 E、 且线段 4,1),求 ( )对于平面上任一点 P,当点 Q 在线段 运动时 ,|最小值为 P 与线段 距离 在 x 轴上运动 ,写出点 P(t,0)到线段 距离 t 的函数关系式 . 2017 年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 619 8.(2009 年浙江 高考试题 )已知 椭圆 222 =1(ab0)的右顶点为 A(1,0),过 . ( )求椭圆 ( )设点 P 在抛物线 C2:y=x2+h(h R)上 , 处的切线与 ,P 的中点与 中点的横坐标 相等时 ,求 h 的最小值 . 9.(2010 年上海高考试题 )已知椭圆 的方程为222(ab0),点 P 的坐标为 (-a,b).( )若直 角坐标平面上的点 M、A(0, B(a,0)满足 21(,求点 M 的坐标 ;( )设直线 l1:y=p 交椭圆 于 C、 D 两点 ,交直线 l2:y=.若 22明 :( )对于椭圆 上的点 Q(00) 直线 AB:3+m2)t=0 m2+2|2; 620 备战高考数学的一条捷径 2017 年课标高考 母题 ( )直线 OD:y=圆 程联立 ,并消去 3 9m 233m;|=| 39m= ( t=231m;(i)直线 AB:3+m2)t=0 =0 过定点 ();( G(23 B(- 233m,由点 B 在直线 223 1=0 m=1 外接圆 方程 :(x+21)2+5. ( )椭圆 E:11216 22 )直线 l:2;( )假设存在不同的两点 P,P,(x0,由 43 3 由 2 , M(2,3)在 椭圆 E 上 ,矛盾 . ( )设 点 P(x0,由 21 P(21),由 P 在 椭圆 内 m (- , (36,+ ); ( )设 A( 2 ,B( 2 (0 5时 ,h(t)= 1)4( 2 t . ( )椭圆 C1:2y=1;( )设 P(t,t2+h),则 切线 PM:y=2h,中点的横坐标 =