1_6354547_4.抛物线上两点A、B满足OA⊥OB的性质

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 抛物线上两点 A、 B 满足 性质 抛物线上两点 A、 B 满足 母题 抛物线 C:px(p0)上两点 A、 B 满足 直线 过定点 M(2p,0),由此生成一列高考试题 ,为此 ,我们构成母题如下 ,并着意关注由母题生成子题的方向 . 母题结构 :直线 :px(p0)相交于 A(x1, B(x2,点 ,直线 ,则 直线 过定点 M(2p,0); 点 H 在圆 (+y2= 母题 解 析 : 由 0 (x1=x2=22214 )( 4 由 直线 AB:12 yy p (x- ,即 (y1+y2)以 ,直线 过定点 M(2p,0) 由 点 H 在圆 (+y2= |2p 直线 过定点 M(2p,0) 子题类型 :(2000 年北京、安徽春招试题 )如图 ,设点 A 和 B 为抛物线 px(p0) 上原点以外的两个动点 ,己知 M 点 M 的轨迹方程 ,并说明它表示什么曲线 . 分析 :本题 是母题的直接子题 . 解析 :(法一 )由 0 (x1=x2=222116)( 16 由 直线 AB:14 yy p (x- ,即 (y1+y2)(y1+y2)y+16直线 (4p,0);又由 点 M 的轨迹 是以 直 径的圆 (去掉坐标原点 ),其方 程 为 (+p2(x2+0). (法二 )设直线 OA:y=入 :(=44yA= A(24kp,由 理可得 B(44 直线 AB:y+41 设 M(x,y),则 y+4yx( x2+ x2+)x+4 x2+ (+p2(x2+0),点 M 的轨迹 是以 (2p,0)为圆 心 ,半径 r=2去掉坐标原点 ). 点评 :以功点 A、 B 为始点 ,可以构成许多点的轨迹问题 ,如 点的轨迹 ;作 平分线交 T,点 T 的轨迹 ; 的轨迹 ;满足 点 中垂线交 点 以 直径的两圆交点 子题类型 :(2005年北京春招试题 )如图 ,直线 l在 a和 b(a0,b 0),且交抛物线 px(p0)于 M(x1,N(x2,点 . ( )写出直线 l 的截距式方程 ; ( )证明 :11 21 ; ( )当 a=2p 时 ,求 大小 . 分析 :由 直线 l 的截距式方程 可直接写出 ;利用韦达定理易证第 ( )问 ;第 ( )问 母题的 逆向问题 . 解析 :( )直线 l 的截距式方程 :ax+; ( )由 点 M(x1,N(x2, 直线 l:ax+ 上 ,1,1( y1, 的两根 y1+2111 =21 21 = ( )当 a=2p 时 ,由 24(=46121 . 点评 :母题的逆向问题有两 个方向 :由直线 过定点 M(2p,0) 造逆向问题 ,本题属于此类 ;由点 +y2= 造逆向问题 ,此类问题尚待开发 . 式 探究 子题类型 :(2006 年上海高考试题 )在平面直角坐标系 ,直线 l 与抛物线 x 相交于 A、 B 两点 . ( )求证 :“直线 l 过点 T(3,0),那么 =3”是真命题 ; ( )写出 ( )中命题的逆命题 ,判断它是真命题还是假命题 ,并说明理由 . 分析 :由 直线 (3,0),为避免讨论 ,可设 直线 l:x=,然后 利用韦达定理证第 ( )问 ;对于 第 ( )问 ,可设 直线l:x=ty+a,只需由 =3,求 a,即可 . 解析 :( )设 A(x1,B(x2,直线 l:x=,代入 6 1(=9 = “直线 l 过点 T(3,0),那么 =3”是真命题 ; ( )逆命题是 :“ 设直线 l 交抛物线 x 于 A、 B 两点 ,如果 =3,那么该直线过点 T(3,0)” ;该命题是假命题 ; 设 A(x1,B(x2,直线 l:x=ty+a,代入 2a 1(=由 =3 a= 直线 l 过点 (),或 T(3,0). 点评 :对于母题 :“抛物线 C:px(p0)上两点 A、 A 充要条件是直线 过定点 M(2p,0)”有广泛的推广、变式等探究空间 ,本题是把母 题中的条件 =0,变式为 =3;又如推广点 物线 C:p0)上 定 点 M,且 =0,探究 直线 过定点 ;探究 直线 过定点 M(a,0)(如 M(p,0)的条件和性质等 . 1.(2008 年武汉 大学 保送生考试 试题 )已知 点 P(0,点 A 在 x 轴上 ,点 B 在 y 轴的正半轴上 ,点 M 在直线 ,且满足 : 0,3 ( )当点 A 在 x 轴上移动时 ,求动点 M 的轨迹 C 的方程 ; ( )设 )中的曲线 直线 且与曲线 处的切线垂直 ,相交于另一点 R,当 =0(O 为坐标原点 )时 ,求直线 2.(2005 年广东高考试题 )在平面直角坐标系 ,抛物线 y= 的 两不同点 A、 B 满足 图所示 ). ( )求 重心 G(即三角形三条中线的交点 )的轨迹方程 ; ( ) 面积是否存在最小值？若存在 ,请求出最小值 ;若不存在 ,请说明理由 . 3.(2005 年全国高中数学联赛山东 预赛试 题 )如图 ,过原点 2px(p0)的 两条互相垂直的弦 作 平分线交 的轨迹方程 . 4.(2004 年重庆高考试题 )设 p0 是一常数 ,过点 Q(2p,0)的直线与抛物线 于相异两点 A、 B,以线段 直径作圆 H(H 为圆心 ),试证 :抛物线的顶点在圆 H 的圆周上 ;并求 圆 直线 方程 . 5.(2009年全 国高中数学联赛河南 初赛试题 )已知 a0,过 M(a,0)任作一条直线交抛物线 px(p0)于 P,2| 12| 1则 a= . 6.(2014年全 国高中数学联赛 试题 )在平面直角坐标系 满足条件 :过 x 的两条切线 ,两切点连线 O 垂直 ,设直线 O,R. ( )证明 :R 是一个定点 ; ( )求| | ( )设 A(t,0),B(0,b)(b0),M(x,y),由 0 b=32(2由 3 x=y=2轨迹 C 的方程 :y(x 0); ( )设 Q(2t,2则 曲线 处的切线 :2222切线 斜率 k=2t(t 0);由 0 直线 (0,2) 2 ;又由 1 2(t= 22 22 直线 l 的方程 :y= 22 x+2. ( )设 G(x,y),直 线 OA:y=入 y=x2=xA=k yA=A(k,由 理可得 B(1k) x= 31(y=31(1k) 9x2=1 重心 G 的轨迹方程 :9( )由 面积 S=21|B|=21 42 42 11 =2122 12 21 22 =1 当 k= 1 时 ,. 设 A(2a0),B(20),由 1| |21|2222223)(|1|=|a|3,由 | | |a|3 设 C(x,y),则 x=3221 )(2 a = 31 )1(2 ,y=31 )1(2 a yx=11 a=yx y1+(yx )3=2(1) 0. 设 A(2a0),B(20),由 (2222 1 4p2(+4 抛物线的顶点在圆 H 的圆周上 ;由 |= (2+(2=4+(=4p2(又 (=a2+=1a+ 2 4 当 a=1,b= ,|得最小值 4p,此时 ,圆 H 的面积最小时 ,直线 AB:x=2p. 设 22 t1+22| 1| 111t+221t= 2221a+( a=p. ( )设 P(a,b)(a0,b 0),A(x1,B