20_6354412_45.外接球问题的解题策略

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 外接球问题的解题策略 先定球心 ,再求半径 多面体的外接球问题是球 的热点问题 ,也是高考的热点问题 ,与圆类比可建立 球 的母题模型及其解题策 略 如下 : 母题结构 : 项目 圆 球 性质 不共线的三点确定一个圆 ,任何三角形都有唯一的外接圆 . 不共面的四点确定一个球 ,任何四面体都有唯一的外接球 . 基本量 确定圆的基本量有 :圆心和半径 ; 解决圆问题的基本程序 :先定圆心 ,再求半径 确定球的基本量有 :球 心和半径 ; 解决球问题的基本程序 :先定球心 ,再求半径 . 模型 外接圆的圆心到各顶点的距离相等 ; 外接球的球心到各顶点的距离相等 ; 且垂直该面的直线上 . 解 题 程序 :先定球心 ,再求半径是解决球问题的基本 策 略 ,而“ 球心在过 几何体一个面的外心 ,且垂直该面的直线上”是确定球心位置的基本工具 . 子题类型 :(2005 年江西高考试题 )矩形 ,沿 矩形 成一个直二面角 四面体 外接球的体积为 ( ) (A)12125 (B)9125 (C)6125 (D)3125 解析 :设 矩形 中 心为 O,则 B=D=25 沿 矩形 论如何 折 叠 , 所得 四面体 接球的 半径恒为25 V=6125 C). 点评 :解决球 问题的基本 策略 是 :先定球心 ,再求半径 的位置 ,常用如下结论 :到 几何体 的 所有 顶点 距离相等的 点是几何体 的 外接 球球心 . 子题类型 :(2013 年全 国高中数学联赛 福 建 预赛 试题 )如图 ,在四面体 ,面 边长为 3 的等边三角形 B=2,则四面体 接球的面积为 . 解析 :如图 ,设正 中心为 面体 接球的球心为 O;则 面 取 点 E,则 E=1;由 外接圆半径 r= 3 3 外接球的 半径 R=2 面积为 16 . 点评 :确定球心 的位置 ,常用如下结论 :过二点的球的球心在这两点的垂直平分面上 ;过三点的球的球心与这三点为顶点的三角形的外心的连线垂直这三点所确定的平面 . 子题类型 :(2005年天津高考试题 )斜三棱柱 B=1A =a,侧面 成的二面角为 1200,E、 F 分别是棱 中点 . ( )求 底面 成的角 ; ( )证明 :面 ( )求经过 A、 B、 C 四点的球的体积 . 解析 :( )过 1H平面 足为 H,连结 延长交 ,连结 是 1由 又 C 由三垂线定 理 G 1200;由 四边形 平行四边形 00,所以 ,底面 成的角为 600; ( )设 1C 的交点为 P,则点 P 为 中点 ,连结 平行四边形 因 F 为 中点 平面 1E 平面 以 平面 ( )连结 ,由于 B, 1A= 1B 1B=a;又 面 H 为 外心 ;设所求球的球心为 O,则 O 球心 O 与 点的连线 ,1=33a 球的半径 R=33a 球的体积 V=2734 点评 :解决球 的问题 有两个关键点 :一是 确定球心 的位置 ;二是 求半径 的长 ;其中 ,求三角形外接圆半径是求球 半径 的基础 . 1.(2007 年华南理工 大学 保送生考试 试题 )已知 A、 B、 C、 D 是某球面上不共面的四点 ,且 C=2 ,C=2,此球的表面积等于 . 2.(2012年全 国 高中数学联赛 试题 (A)设同底的两个正三棱锥 若正三棱锥 50,则正三棱锥 侧面与底面所成角的正切值是 . 3.(2011 年全 国高中数学联赛 试题 A)在四面体 ,已知 00,D=3,则四面体 外接球的半径为 . 4.(2005 年辽宁高考试题 )己知三棱锥 ,E、 F 分别是 中点 , 是正三角形 ,( )证明 :面 ( )求二面角 平面角的余弦值 ; ( )若点 P、 A、 B、 C 在一个表面积为 12的球面上 ,求 构造正方体 则正方体中的四面体 由正方体的棱长为 2 2R= 6 此球的表面积等于 6 . 如图 Q,则 平面 足 且 ,连结 ,则 且 知 与底面所成二角的平面角 ,则 50,从而 H=21为 00,以 1H=2 . 正三角形 ,设外心为 N,则 DN=r= 3 ,由 3 3 ,由 点 C 的射影点 H 在 , 33 ,33 , 36 ,ON=x ( 3 )2=33)2+(236=R= 3 . 设 正 边长为 a,则 a 正 边长 =2a;由 B= 2 a 900 2 a 是等腰直角三角形 ;把 三棱锥 置到如图所示的棱 长为 2 a 的正方体中 ;( )由 C