高三数学教案：10.3组合(四)

1、 题 ： 10 3 组合(四 )教学目的：1 掌握排列 合一些常 的 型及解 方法，能 运用两个原理及排列 合概念解决排列 合 ；2. 提高合理 用知 解决 的能力教学重点： 排列、 合 合 教学 点： 排列、 合 合 授 型： 新授 安排： 1 课时教具：多媒体、 物投影 内容分析 ：学生易于辨 合、全排列 ，而排列 就是先 合后全排列. 在求解排列、 合 ， 可引 学生找出两定 的关系后， 按以下两步思考： 首先要考 如何 出符合 意要求的元素来， 出元素后再去考 是否要 元素 行排 ， 即第一步 从 合的角度考 ，第二步 考 元素是否需全排列，如果不需要，是 合 ；否 是排列 .排列、

2、合 大都来源于同学 生活和学 中所熟悉的情景，解 思路通常是依据具体做事的 程， 用数学的原理和 言加以表述. 也可以 解排列、 合 就是从生活 、知 、 具体情景的出 ， 正确 会 的 ，抽象出“按部就班”的 理 的 程.据笔者 察，有些同学之所以学 中感到抽象，不知如何思考， 并不是因 数学知 跟不上，而是因 平 做事、考 就缺乏条理性，或解 思路是自己主 想象的做法（很可能是有悖于常理或常 的做法）. 要解决 个 ， 需要 生一道在分析 要根据 情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模 做事的 程， 更能 明 . 久而久之，学生的 思 能力将会大大提高.排列、 合 解 方法比 灵

3、活， 思考的角度不同，就会得到不同的解法. 若 的切入角度得当， 求解 便，否 会 得复 解. 教学中既要注意比 不同解法的 劣，更要注意提醒学生体会如何 一个 行 思考，才能得到最 方法教学 程 ：一、复 引入：11 分 数原理：做一件事情，完成它可以有n 法，在第一 法中有m1 种不同的方法，在第二 法中有m2 种不同的方法，在第n 法中有mn 种不同的方法 那么完成 件事共有nm1m2lmn 种不同的方法2. 分步 数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步 ，做第一步有m1 种不同的方法，做第二步有m2 种不同的方法，做第n 步有 mn 种不同的方法，那么完成 件事有 nm1m2lmn

4、 种不同的方法3排列的概念： 从 n 个不同元素中，任取 m （ m n ）个元素（ 里的被取元素各不相同）按照一定的 序 排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 一个排列4排列数的定 ：从 n 个不同元素中，任取m （ mn ）个元素的所有排列的个数叫第 1页共 5页做从 n 个元素中取出m 元素的 排列数 ，用符号 anm 表示5排列数公式：m(1)(2)(1)annln m（m, n n , m n）n n62 阶乘： n! 表示正整数1 到 n 的连乘积，叫做n 的阶乘 规定 0!17排列数的另一个计算公式：anm =n!( nm)!82 组合的概念： 一般地，从 n 个

5、不同元素中取出mm n 个元素并成一组，叫做从 n个不同元素中取出m 个元素的一个 组合说明： 不同元素；“只取不排”无序性；相同组合：元素相同9组合数的概念： 从 n 个不同元素中取出 mmn 个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的 组合数 用符号mc n表示10组合数公式： cnmanmn(n1)(n2)l (n m1)ammm!或 c mnn!(n,mn ,且 mn)m!(n m)!11 组合数的性质1： c nmcnn m 规定： cn01 ；12组合数的性质2： c nm1 c nm + c nm 1二、讲解范例：例 1 6 本不同的书，按下列要求各有多少种

6、不同的选法：（1）分给甲、乙、丙三人，每人2 本；（ 2）分为三份，每份 2 本；（ 3）分为三份，一份 1 本，一份 2 本，一份 3 本；（4）分给甲、乙、丙三人，一人1 本，一人2 本，一人 3 本；（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1 本解：（ 1）根据分步计数原理得到：c 62c 42 c 2290 种；（2）分给甲、乙、丙三人，每人两本有c 62 c 42 c 22 种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份， 每份两本， 设有 x 种方法； 第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有 a33 种方法根据分步计数原理可得：c 62 c 42c 22xc33，所以 xc62 c42

7、c2215 因此，分为三a33份，每份两本一共有 15 种方法点评：本题是分组中的“均匀分组”问题第 2页共 5页一般地：将 mn 个元素均匀分成n 组（每组 m 个元素），共有cmnm cmnmm lcmm 种ann方法（3）这是“不均匀分组”问题，一共有c 61c 52c 3360 种方法（4）在（ 3）的基础上再进行全排列，所以一共有c 61c 52 c33 a33360 种方法（5）可以分为三类情况：“ 2、2、 2型”即（ 1）中的分配情况，有c 62 c 42 c2290 种方法；“ 1、2、 3型”即（ 4）中的分配情况，有c 61c 52c33 a33360 种方法；“ 1、1

8、、 4型”，有 c 64 a3390 种方法，所以，一共有90+360+90 540 种方法例 2 身高互不相同的7 名运动员站成一排，（ 1）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列的排法有多少种？（ 2）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？解：（1）（法一）：设想有 7 个位置，先将其他4 人排好，有 a74 种排法；再将甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排在剩下的3 个位置上，只有1 种排法，根据分步计数原理，一共有a74840 种方法（法二）：设想有 7 个位置，先将甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排在其中的 3 个位置上，有 c73种排法；将其他 4 人排在剩下的

9、4 个位置上，有a44种排法；根据分步计数原理，一共有c73 a44840 种方法（2）（插空法）先将其余 4 个同学进行全排列一共有a44 种方法，再将甲、乙、丙三名同学插入5 个空位置中（但无需要进行排列）有c53 种方法根据分步计数原理，一共有a44c53240 种方法例 3（ 1） 四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？（2） 四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？解：（ 1）根据分步计数原理：一共有4 4256 种方法；（2）（捆绑法）第一步：从四个不同的小球中任取两个“捆绑”在一起看成一个元素有c 42种方法；第二步：从四个不同的盒中任取

10、三个将球放入有a43 种方法，所以，一共有c 42 a43第 3页共 5页144 种方法例 4 路上有 号 1，2，3， 10 的十 路灯， 用 又不影响照明，可以把其中 3 灯关掉， 但不可以同 关掉相 的两 或三 ， 在两端的灯都不能关掉的情况下， 有多少种不同的关灯方法？解：（插空法）本 等价于在7 只亮着的路灯之 的6 个空档中插入3 只熄掉的灯，故所求方法 数 c6320 种方法例 5九 卡片分 写着数字 0，1，2， 8，从中取出三 排成一排 成一个三位数，如果 6 可以当作 9 使用， 可以 成多少个三位数？解：可以分 两 情况：若取出 6， 有 2( a82c 21c 71c7

11、1 ) 种方法；若不取6， 有 c 17 a72 种方法，根据分 数原理，一共有2(a82c 21 c71c71 ) + c 71 a72 602 种方法三、 堂 ：1 某班元旦 会原定的5 个学生 目已排成 目 ，开演前又增加了两个教 目如果将 两个教 目插入原 目 中，那么不同插法的种数 a 42b 30c 20d 122从 7 人中 派 5 人到 10 个不同的交通 的 5 个中参加交通 管工作， 不同的 派方法有 （ ）a c75 a105 a55b a75 c105 a55c c105c75d c75 a1053某班分成8 个小 ，每小 5 人， 要从中 出4 人 行 4 个不同的化

12、学 ，且每 至多 一人， 不同的安排方法种数是（ ）a c84 a44b c84 a44c51c 54 c84 a44d c404 a444 5 个人分4 同 的足球票，每人至多分一 ，而且票必 分完，那么不同的分法种数是5某学生要邀 10 位同学中的6 位参加一 活 ， 其中有 2 位同学要么都 ， 要么都不 ，共有种邀 方法6一个集合有 5 个元素， 集合的非空真子集共有个7平面内有两 平行 ，一 有m 条，另一 有n 条， 两 平行 相交，可以构成个平行四 形m 个，第二 有n 个，第三 有个，不同两 的平面空 有三 平行平面，第一 有t8都相交，且交 不都平行，可构成个平行六面体9在某

13、次数学考 中，学号 i(i1,2,3,4)的同学的考 成 f (i ) 85,87,88,90,93，且 足 f (1)f (2)f (3) f (4) ， 四位同学的考 成 的所有可能情况有种10某人制 了一 旅游 划，从 7个旅游城市中 5 个 行游 如果其中的城市 a 、b必 ，并且在旅游 程中必 按先a 后 b 的次序 a 、 b 两城市（ a 、 b 两城市可以不相 ）， 不同的游 路 有种第 4页共 5页11高二某班第一小组共有12 位同学，现在要调换座位，使其中有3 个人都不坐自己原来的座位，其他9 人的座位不变，共有种不同的调换方法12某兴趣小组有4 名男生，5 名女生：（ 1

14、）从中选派5 名学生参加一次活动，要求必须有2 名男生， 3 名女生，且女生甲必须在内，有种选派方法； （ 2）从中选派 5 名学生参加一次活动，要求有女生但人数必须少于男生，有_ 种选派方法；（ 3）分成三组，每组 3人，有种不同分法答案： 1. a2.d3. c4.c5455.c84c86986. c51c52c53c54252 307. cm2cn2mn m 1 n 148. cm2cn2 ct2mnt m 1n1 t19. c54c5315810. c53 a5360011. c123244012. c42c4236 c51c44c52c4345 c93c63c333280a3四、小结 ：1按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步，是处理组合应用题的基本思想方法；2对于有限制条件的问题，