自动控制原理2016秋15自控第7章_414504513

1、第七章数字控制系统教师李永东教授答疑地点：西主楼 2区304室联系电话：62772450作业P179第7章1（1）（3） 、2（2）（3）、3（2）（4）1第七章数字控制系统:概述n 21世纪新技术革命的特点（1）巨型计算机取得惊人的突破；（2） 微型计算机迅速进入我们日常生活及工业生 产的各个方面；（3）微电子技术取得重大进 展；（4）通信技术正在走向数字化和个人化； （5）多媒体技术日新月异；（6）生物技术、 航天技术、激光技术、超导技术等新技术正在蓬勃发展。 19世纪是个蒸汽时代，20世纪是电气和内燃机时代，21世纪将进入一个“数字信息时代

2、”。 2第七章数字控制系统:概述数字控制系统也称作采样离散控制系统或计算机控制 系统，是自动控制理论和计算机技术相结合的产物， 一般指计算机（通常指微处理机）参与控制的开环或 闭环系统。通常具有精度高，速度快，存储量大，以 及具有逻辑判断功能等特点，因此可以实现高级复杂 的控制方法，获得快速精密的控制效果（波音757) 数字控制系统由控制对象、执行器、测量环节和数字调节器（包括采样保持器、模数转换器、数字计算机、数模转换器和保持器）等组成。 数字控制系统的特征：具有离散环节（采样及数字控制器）的连续系统。 3典型数字控制系统的结构：2类输入为模拟信号e*(t)u*(t)u(t)y(t)r(t)

3、 + e(t)D/A转换被控对象A/D转换数字计算机输入为数字信号r*(t)u*(t)u(t)e*(t)y(t)+D/A转换被控对象数字计算机b(t)b*(t)传感器A/D转换采样时间(Sampling time)：单点1100s110 ms？多点(60100)4b(t)传感器 数字控制系统的特点n 数字控制系统的优点 n 精心设计的微机控制系统能显著地降低控制器硬件成本n 改善系统可靠性，平均无故障时间（MTBF）长 n 数字电路不存在温漂问题，不存在参数变化的影响 n 可以设计统一的硬件电路，以适合于不同的电机控制系 统和各种电力电子结构 n 可以完成复杂的功能，指令反馈校正运算判断监控报

4、警数据处理故障诊断状态估计触发 控制PWM脉冲产生坐标变换5数字控制系统的特点n 数字控制系统的不足 n 存在采样和量化误差 n 响应速度往往慢于专用的硬件或模拟系统 n 对软件实现的功能，不容易使用仪器，如示波器，万用表直接观测；也不容易象在模拟控制系统中那样方便地调节和改变参数，如放大倍数和限幅值等 n 国外一般软件人工成本较贵 67.1.1信号采样连续系统的离散化采样器将定时采样用一个周期性瞬时接通的理想采样开关来等效。将连续信号经采样开关转化为离散信号及其序列和。 香农采样定理:采样频率要高于系统信号最高频率的两倍x(T)x(t)x*(t)x(2T)x(3T)采样周期Tx(0)x(4T

5、)t0T2T3T4Tt理想 采样开关 连续信号 x(t)x*(t)离散信号7离散信号x*(t)和数字信号x(k)d (t)dt = 1d (t)单位冲击信号函数-d (t) = 0,t 0数字信号广义的单位脉冲信号0t1 （对物理脉冲信号的量化） d (t)dt = 1d (t)d (d (k )-00tt0k231 1(k)11(t)1(t)1量化采样10000t234t0k81T2T3T4T01234数字信号模拟信号离散信号)采样信号为连续信号与单位脉冲信号的卷积x*(kT ) = x(kT ) *d (kT )连续信号经采样开关离散信号x* (t) = x(t)d (t - kT ) =

6、 x(kT )d (t - kT )= x(0)d (t) + x(T )d (t -T ) + x(2T )d (t - 2T) +k =0k =0采样器连续信号转换为离散信号序列和x(T)x(t)x*(t)x(2T)x(3T)采样周期Tx(0)x(4T)t0T2T3T4Tt理想 采样开关 连续信号 x(t)x*(t)离散信号97.1.2零阶保持器零阶保持器：离散信号连续化D/A转换将数字信号变为连续信号，可等效 为一个零阶保持器。 零阶保持器在两个采样时刻之间，保持前一个采样时刻的值不变。 xh(t)1d (0)0tTx*(t)xh(t)10零 阶 保持器 0Tt7.1.2零阶保持器零阶保

7、持器：离散信号连续化gh (t) = 1(t) - 1(t - T )零阶保持器的单位脉冲响应xh(t)1d (0)0tTx*(t)xh(t)11 - e-Ts1s-TsGh (s) =-=essTx(t)x*(t)采样开关零阶保持器11(1 - e-sT )sxh(t)零 阶 保持器 0Tt7.1.2 零阶保持器采样周期变小，零阶保持器的输出xh(t)可以更精确地跟踪模拟输入信号x(t) 。Tx(t)x*(t)采样开关零阶保持器x(t)xh(t)x(t)x (t)h00T12T13T14T14T28T212T216T2tt对于一般工业控制系统采样时间1ms，已足够。 12(1 - e-sT

8、)sxh(t)7.1 信号采样和保持采样离散控制系统的传递函数方框图TR(s) +U*(s)Y(s)E(s)E*(s)G (s)p-采样开关零阶保持器离散控制器被控对象信号的离散序列之和及对应的Laplace变换 x * (t) = x(0)d (t) + x(T )d(t - T ) + x(2T )d(t - 2T ) +LX *(s) = Lx *(t) = Lx(0)d (t) + x(T )d (t - T ) + x(2T )d (t - 2T) +L= x(0) + x(T )e-TsX *(s) = x(kT )e-kTsk =0+ x(2T )e-2Ts +LU *(s) =

9、 u(kT )e-kTsk =0同理有E *(s) = e(kT )e -kTs13k =0(1 - e-sT )sU(s)Gc*(s)sT离散序列和的Z 变换X (z) = Zx(kT ) =x(kT )z -kk =0X (z) = x(0) + x(T )z -1 + x(2T )z -2z变换的对象离散信号序列， +Lz变换表达式为离散序列和形式，对连续变量直接进行z变换没有意义。 14X * (s) = x(kT )e-kTsk =0离散序列和的Laplace变换 7.2 Z变换Z变换定义 z = e对应X (s) = x(t)e-stdt0连续信号的连积分变换 Laplace变换在

10、计算处理中并不关心采样周期T的长短 X (z) = Zx(k) = x(k)z -k令T1k =0X (z) = x(0) + x(1)z-1+ x(2)z-2 + LZd (k)= 1d (k T ) 11(k)1(k)的z变换0k0121(k)1Zd (t - k) = z-k(tk)的z变换d (t - k T ) z-k00kk12Z-k是一个算子，对应一个滞后位移k步的单位脉冲。157.2 Z变换目标：得到用于计算机控制系统的数学模型。连续模型 离散模型16离散状态空间方程 Z传递函数 差分方程 状态空间方程 传递函数 微分方程 Z 变换举例例7.1求单位阶跃函数x(t) =1(t)

11、的z变换1(k)1z1(kT ) z -10k012345kk1k2X (z) = Z1(t)= Z1(kT)= 1 z-k= z -k k =0= 1+ z-1 + z-2+Lk =0收敛域 z 1内，该几何级数收敛，可写成表达式，ImzZ 平面1zZ1(kT )=1- z-1z -101Re z17Z 变换定义例7.2求x(t) =t的z变换。t 0t 0x(t) = tx(kT ) = kTk = 0,1,2,L03TTz1(k)1kT (z -1)22TT00k123kk1Tz -1Tz=X (z) = x(kT ) z= kTz-k-k-1-2-3= T (z+ 2z+ 3z+L)

12、=(1- z -1)2(z -1)2k =0k =011对其求导k(z z -k-1k -1=)=根据结果-12(1- z)1- z-1k =0k =0z -1 kz-k=然后对上式两端各乘z，得-1-12(1- z)18k =0采样周期T不能忽略Z 变换定义例7.3求指数函数的z变换。e-att 0t 0x(t) = 0x(kT ) = e-akTk = 0,1,2,LX (z) = x(kT ) z -kk =0= e-akT z -k k =0= 1+ e-aT z -1+ e-2aT z-2+Lz= 1= z-akTe1- e-aT z-1z - e-aT-aTz -ex(k)1e-

13、aT- aT= ea设e-2aTe- kaT00k12345k19akz z - aZ 变换的性质z-mX(z)x(t-m)x(t+m)3，右位移定理4，左位移定理zm X (z) - zm x(0) - zm-1x(1) -L- zx(k -1)- Tz dX (z)dzX(zeaT)tx(t)5，复微分定理e-atx(t)6，复位移定理8，终值定理 lim(z -1)X (z)x()，终值z1(如果极限存在，且系统稳定)k x1 (m)x2 (k - m)9，卷积定理X1 (z) X 2 (z)m=020Z变换的性质例7.4求x(t) =1(t2T)的z变换z -21- z -11Z 1(

14、t - 2T)= zZ 1(t)= z-2-2=1- z -1求e-atsint的z变换。例7.5查表Zsinwt= z sin wT用zeaT取代式中的z- 2z coswT +1z 2eaT z sinwTZ e -atsinwt=- 2eaT z coswT +1e2aT z 2例7.6求t2的z变换。Zt= Tz(z -1)2Z t 2 = Z t t= -Tz dTz= - Tz T (z -1)2- 2Tz(z -1) = T 2 z(z +1)dz (z -1)2(z -1)4(z -1)321tx(t) - Tz dX (z)dze-atx(t) X(zeaT)x(t-m) z

15、-mX(z)信号的Z 变换和Z 反变换概念以单位阶跃信号为例离散序列和1(k)11(t)1Z变换采样1 + z -1+ z - 2z+ L000t2341k01234z -1模拟信号离散数字信号离散序列和Z反变换1(k)1 zz -11(k )0L0+ z - 21 + z -1+ Lk = 0,1,2,3,k1234离散数字信号序列 x(k)22Z 反变换z反变换结果是离散信号序列x(k) = Z -1 X (z)1，长除法（或幂级数法）2，部分分式法 （难以求得闭式解）(待定系数法)x(k) = Re s X (z)zk-1 z = zm3，留数法m为极点数mpz =zm(z -k-1x(

16、k )z) X (z)z（单极点）=z是极点mmm=1pk-1k-1dr -11x(k) = (z - zm ) X (z)z(z - zn )r+(r -1)!dzr-1X (z)zz = znz = zmm=1(具有r个重极点，其余是单极点)zn是重极点23Z 反变例7.7求反变换 X (z) = (z -1)(z - 0.5)1，长除法(z - 1)(z - 0.5) = z 2 - 1.5z + 0.5z -2+1.5z -3 +1.75z -4 +L-1.5z + 0.5 1z 21-1.5z -1 + 0.5z -21.5z -1 - 0.5z -21.5z -1 - 2.25z

17、-2 + 0.75z -31.75z2 - 0.75z-31.75z -2 - 2.625z -3+ 0.875z -4MX (z) = z -2 +1.5z -3 +1.75z -4 +LMMx(0) = x(1) = 0,x(2) = 1,x(3) = 1.5,x(4) = 1.75,L24Z 反变换X (z) = 1(z - 1)(z -0.5)2，部分分式法X (z) = 1= 2 +24-z(z -1)(z -0.5)z -1z - 0.5zzX (z) = 2 + 2z- 4zz -1z -0.5zx(k) = 2d (k) + 2 - 4(0.5)kk0e- akTz - e-

18、aTx(0) = x(1) = 0,x(2) =1,x(3) =1.5,x(4) =1.75,L25akzz - a1(k ) zz -1d (k ) 1Z 反变换1X (z) =(z -1)(z - 0.5)3，留数法z k -1mx(k) = Re sx(z)zk -1=Re s(z -1)(z - 0.5) z = zmz = zmmzk -1zk -1x(k ) = (z -1) (z -1)(z - 0.5) + (z - 0.5) (z -1)(z - 0.5) 当k1= 2 - 2 (0.5)k-1z =1z =0.5(极点m=2)= 2 - 4 (0.5)k(极点m=3)当 k

19、 = 0+ x(0) = z - 0.511+ (z -1) z(z -1)(z - 0.5) zz(z -1)(z - 0.5) z(z -1)(z - 0.5) z =0z =1z =0.5= 2 + 2 - 4 = 0k = 0k 1x(k) = 02 - 4 (0.5)k26Z 反变换(1- e-aT)zX (z) =求反变换例7.8(z -1)(z - e-aT)1，用部分分式法求x(k)(1- e-aT )X (z) =11=-z - e-aT(z -1)(z - e-aT )z -1zX (z) = z- zx(k) = 1- e-akTz -1z -e-aT(1- e-aT )

20、z zk-1 2m=1x(k) =Re s) 2，留数法-(z -1)(z-aTe z = zm(1- e-aT )zkz =1x(k ) = (z -1)(1- e-aT )zk-+ (z -eaT) (z -1)(z - e-aT(z -1)(z - e-aT) z =e -aT27= 1- e-akTe- akT zz - e- aT7.3离散控制系统数学模型连续系统输入输出信号离散化后的函数关系可定 义为等效离散系统数学模型。 u(t)y(t)输入响应0tt“等效”的含义：离散系统响应包络线与连续系统对应。 u(k)y(k)离散系统模型 Ty(t)u(t)0k0k采样开关差分方程、z传

21、递函数、离散状态方程28保持器 连续系统 0Y (s)1=7.3.1 差分方程s + aU (s)dy(t) + ay(t) = u(t)一阶微分方程t=kT ，(k = 0，1，2，)dty(k +1) - y(k) + ay(k) = u(k)Ty(k + 1) - y(k ) = - aTy(k ) + Tu (k )y(k +1) = -(aT -1) y(k) + Tu(k)u(t)y(t)t012345629差分方程 0123456t差分方程单输入单输出系统线性离散系统 设输入脉冲序列为u(k)，输出脉冲序列为y(k)。 后向差分方程(适合于因果系统)y(k ) + a1 y(k

22、- 1) + L + an y(k - n) = b0 u(k ) + b1u (k - 1) + L + bm r(k - m )nm前向差分方程(适合于状态方程)y(k + n) + a1 y(k + n - 1) + L + an y(k ) = b0 u (k + m ) + b1u (k + m - 1) + L + bm r (k )nm离散系统差分方程对应连续系统微分方程 30差分方程差分方程的因果关系对于序列中的某点，“加”是移向未来，“减”是移向过1)后向差分方程y(k ) + a y(k - 1) + L + ay(k - n) =去b。u (k ) + b u(k - 1

23、) + L + br(k - m)1n01mu(k) + a1u(k -1) = b0e(k) + b1e(k -1)例1（nm ）迭代解：u(k) = -a1u(k -1) + b0e(k) + b1e(k -1)u(0) = -a1u(-1) + b0e(0) + b1e(-1)k = 0u(1) = -a1u(0) + b0e(1) + b1e(0)u(2) = -a1u(1) + b0e(2) + b1e(1)e(k)y(k) = b0u(k) + b1u(k-1)y(1) = b0u(1) + b1u(0)例2（nm ） 不存在因果矛盾31控制器 u(k)差分方程对于序列中的某点，“

24、加” 是移向未来，“减”是移向过2)前向差分方程y(k + n) + a1 y (k + n - 1) + L + an y (k ) =去b0。u (k + m ) + b1u (k + m - 1) + L + bm ru(k +1) + a1u(k) = b0e(k +1) + b1e(k)例3（nm ）u(k +1) = -a1u(k) + b0e(k +1) + b1e(k) u(1) = -a1u(0) + b0e(1) + b1e(0)u(2) = -a1u(1) + b0e(2) + b1e(1)迭代解：y(k) = b0u(k +1) + b1u(k)例4（nm ）y(1)

25、= b0u(2) + b1u(1)存在因果矛盾。32例7.9用Z变换法求解差分方程y(k + 2) - 5y(k +1) + 6y(k) = u(k)已知 u(k) = d 0 (k)y(0) = 1,y(1) = 0Zy(k +1)= zY (z) - zy(0)Zy(k + 2) = z 2Y (z) - z 2 y(0) - zy(1)z 2Y (z) - z 2 y(0) - zy(1) - 5zY (z) + 5zy(0) + 6Y (z) = U (z)z 2 - 5z + 6Y (z) = z 2 y(0) + zy(1) - 5zy(0) +U (z)u(k) = d 0 (k

26、)即U(z) = 133差分方程y(0) = 1,y(1) = 0代入z 2 y(0) + z y(1) - 5 y(0)- 5z +1z 21Y (z) =+z 2- 5z + 6 = z 2- 5z + 6- 5z + 6z 21= 6 +52- 5- 5z +1z 2Y (z) =3+z(z - 2)(z - 3)z - 2z -3zz5 z5 z16+ 2- 3Y (z) =z - 2z - 3y(k) = 1 d(k) + 5 (2)k - 5 (3)k0623akzz - a341(k ) z z -1d (k ) 1脉冲传递函数G(z) y(k + n) + a1 y(k + n

27、 -1) +L+ an y(k) = b0u(k + m) + b1u(k + m -1) +L+ bmr(k)设初始条件为零+ a zn-1+ b zm-1+L+ az + a)Y(z) = (b zm+L+ bz +b(zn)U(z)n-1m-11n01m+ b zm-1+L+ bz + bb zmY (z)G(z) =m-101m(nm)zn + a zn-1+L+ az + aU (z)n-11n线性定常离散控制系统，在零初始条件下，输出序列变换Y(z)与输入序列变换U(z)之比，称 为该系统的脉冲传递函数（或称z传递函数）。 Y (z) = G(z)U (z)如果 u(k) = d

28、(k)即 U (z) = 1Zy(k)= Y (z) = G(z)U (z) = G(z)35连续系统的离散化1，连续模型控制系统控制器离散化方法r(t)+u(t)y(t)e(t)Gp(s)-控制器被控对象T+r(t)u(kT)y(t)e(t)e(kT)u(t)(1- e-sT )G (z)G (s)cps-采样开关离散控制器零阶保持器被控对象36Gc(s)连续系统模型离散化：被控对象离散化：如何从G(s)求脉冲传递函数r(t)+u(t)y(t)e(t)Gp(s)-控制器被控对象r(kT) +u(kT)y(kT)e(kT)Gp(z)-控制器被控对象37Gc(z)Gc(s)连续系统传递函数的离散

29、化y(k)u(k)y(t)u(t)u(k)U(z)Y(z)y(k)采样离散系统离散系统G(s)G(z)(查表)如何脉冲响应不变法 g(t) = L-1G(s)ZG(s) = G(z)对g(t)采样（用虚拟采样开关），得离散序列g(k) 。 Zg(k)= g(k )z-k= G(z)38k =01 11 z1 sz -1 zs + az -e-aTG(s)G(z)1、脉冲响应不变法1y(t) = L-1G(s)y(t ) = e -aty(t)u(t)G(s) =d (t)s +a 0tU (s) = 1ty(kT ) = e-akTzy(k)u(k)G(z) =z - e- aTzY (z)

30、=-aTz -e0 0kU (z) = 1kY (z) = Z y(k ) = G(z)U (z) = G(z)等效的离散系统Z传递函数可以由信号y(t)=L-1G(s) 的离散序列的Z变换得到，或由G(s)直接查表得G(z)。 可记为G(z)=ZG(s)，可称Z变换法。39G(z)G(s)0Y (s) = G(s)连续系统传递函数的离散化例7.13求传递函数对应的脉冲传递函数。aG(s) =s(s + a）G(z) = Z = Z 1 - =a1zz- s(s + a) ss + a z - e-aTz -1z(1- e-aT)=(查表)(z -1)(z - e-aT )40任意信号采样值的

31、脉冲响应不变法计算结果 u(t)1y(t)G(s) =s +a0ty(k)ZG(s) = G(z)u(k)0kk脉冲响应不变法保持离散系统的脉冲相位不 变，但响应时域和频域都有畸变。41G(z)0G(s)0t连续系统传递函数的离散化将连续传递函数化为脉冲传递函数时， 需要考虑采样开关的位置。y(t)r(t)r*(t)u(t)G (s)1y(k)G(z) = ZG(s) = ZG1 (s)G2 (s) = G1G2 (z)y(t)r(t)r*(t)u(t)u*(t)G (s)1y(k)G(z) = ZG1 (s) ZG2 (s) = G1 (z) G2 (z)42G2(s)G2(s)连续系统传递

32、函数的离散化y(k)e(t)e*(t)y(t)r(t) +G(s)Y (z)G(z)G(z) =-1+ GH (z)R(z)Y (s) = G (s)E * (s)E (s) = R (s) - H (s)Y (s)Y *(s) = G*(s)E*(s)E(s) = R(s) - H (s)G(s)E*(s)E*E(s) = R*(s) - HG*(s)E*(s)R*(s)G*(s)E*(s) =Y(s) =*R (s)1+ GH(s)*1+ GH *(s)y(k)r(t) +e(t)e*(t)y(t)G(s)G(z) = Y (z) =G(z)-1+ G(z)H (z)43y*(t)R(z)

33、H(s)H(s)连续系统传递函数的离散化2，阶跃响应法一般离散控制信号通过一阶保持器控制连续系统，即u(t)u(k)Ty(t)y(k)u(k)G(s)U(z)Y(z)y(k)采样离散系统离散系统1 -e-Ts G(s) = G(z)Z因此，可认为：s441 - e - TssG(z)2，阶跃响应法u(t)1u(t)1y(t)11- e-TsG(s)t0t0t0sU (s) = 1s零阶保持器只存在于算法中1 -e-Ts G(s) = G(z)Zsu(k)1y(k)0kkzU (z) =45z -1G(z)0化求系统脉冲传递函数例7.14u(t)u(k)Ty(t)ks(s + a)y(k)k1

34、-e-Tsk= (1 - e-Ts )G0 (s) = Gh (s)Gp (s) =s(s + a)ks2(s + a)sG (s) = (1- e-Ts )G(s) =G (s) = G (s)G(s)2s2(s + a)1012g1 (t) = d (t) - d (t - T )为离散量G1(s) 输出时域上是脉冲信号，可以认为G1(s) 后设有采样开关，因此， G0 (z) = ZG0 (s) = G1 (z) G2 (z)461 - e - Tss化G (s) = (1-e-Ts )1G(s) =2s2 (s + a)G0 (z) = ZG0 (s) = G1 (z) G2 (z)k

35、k-Ts )-TsG(z) = Z (1- e= Z(1- e) Z0s(s + a)+22s(sa)= Z (1- e-Ts ) Z k( a - 1 +)1a 2s 2zs + asG(z) = (1- z -1)kaTzz-+(0z -1z -e-aT2(z -1)2a= (1- z -1) kz(1- e-aT )Tzk-) -(z -1)(z - e-aT2a 2a (z1)47连续系统传递函数的离散化求脉冲传递函数和单位阶跃响应 例7.15T=0.07sy(t)r(t)+-代入T=0.07s、k = 10、a = 10，则有 e-aT 0.5G(z) = (1- z-1)kz(1-

36、 e-aT )Tzk-) 0(z -1)(z - e-aTa (z -1)a22G(z) = (1- z-1) 0.07z =z(1- 0.5)0.2z + 0.15-10(z -1)(z -0.5) 0(z -1)10z 2 -15z + 52480.110s(s +10)1 - e - Tss化闭环传递函数0.2z + 0.150.2z + 0.15G0 (z)G(z) =1+ 0.1G0 (z)10z 2 -15z + 5 + 0.02z + 0.01510z 2 -14.98z + 5.015zr(t) =1(t)R(z) =z - 10.2z 2 + 0.15zY (z) = G(z)R(z) =10z- 24.98z+ 19.995z - 5.01532Y (z) 0.02z -1 + 0.07z -2+ 0.12z -3 + 0.19z -4+ Ly(0) = 0, y(T ) = 0.02, y(2T