机电一体化物理课件第5章静电场

1、电磁场,第五章 静电场,5-1 电荷 库仑定律,1. 电荷,摩擦起电和雷电：对电的最早认识,两种电荷：正电荷和负电荷,电性力：同号相斥、异号相吸,电荷量：物体带电的多少,2. 电荷守恒定律,对于一个系统，如果没有净电荷出入其边界，则系统正负电荷的代数和保持不变。,如：,电荷守恒定律,起电机,宏观带电体的带电量qe，准连续,夸克模型,e=1.60210-19库仑，为电子电量,3. 电荷量子化,电荷量子化,密立根,点电荷,可以简化为点电荷的条件:,4. 库仑定律,库仑定律：在真空中，两个静止点电荷之间相互作用力与这两个点电荷的电荷量q1和q2的乘积成正比，而与这两个点电荷之间的距离r12（或r21

2、）的平方成反比，作用力的方向沿着这两个点电荷的连线，同号相斥，异号相吸。,库仑定律,4. 库仑定律,1785年，法国库仑（C.A.Coulomb),适用于点电荷,叠加性,库仑定律,库仑,库仑定律说明：,1.单位制有理化,0=8.8510-12C2m-2 N-1,3.距离平方反比关系的证明,2.与万有引力的比较与启示,电摆实验装置,扭秤,卡文迪许同心球实验草图,库仑定律,例 按量子理论，在氢原子中，核外电子快速地运动着，并以一定的概率出现在原子核（质子的周围各处，在基态下，电子在半径0.52910-10的球面附近出现的概率最大.试计算在基态下,氢原子内电子和质子之间的静电力和万有引力,并比较两者

3、的大小.引力常数为G=6.6710-11Nm2/kg2,解: 按库仑定律计算,电子和质子之间的静电力为,库仑定律,应用万有引力定律, 电子和质子之间的万有引力为,由此得静电力与万有引力的比值为,库仑定律,可见在原子中,电子和质子之间的静电力远比万有引力大,由此,在处理电子和质子之间的相互作用时,只需考虑静电力,万有引力可以略去不计. 而在原子结合成分子,原子或分子组成液体或固体时,它们的结合力在本质上也都属于电性力.,库仑定律,例 设原子核中的两个质子相距4.010-15m,求此两个质子之间的静电力.,可见,在原子核内质子间的斥力是很大的。 质子之所以能结合在一起组成原子核,是由于核内除了有这

4、种斥力外还存在着远比斥力为强的引力_核力的缘故。上述两个例题,说明了原子核的结合力远大于原子的结合力, 原子的结合力又远大于相同条件下的万有引力。,解:两个质子之间的静电力是斥力,它的大小按库仑定律计算为,库仑定律,5-2 电场 电场强度,1. 电场,两种观点,超距作用,电场,电荷1,电荷2,电场1,电场2,静电场：相对于观察者静止的电荷在周围空间激发的电场。,极光,雷电,2. 电场强度,点电荷(尺寸小),q0足够小，对待测电场影响小,定义电场强度,电场中某点的电场强度等于单位正电荷在该点所受的电场力。,电场强度,3.电场强度的计算,电场强度的计算,场点,源点,（1)点电荷的电场,电场强度的计

5、算,qi,q2,q,q1,（2)电场强度叠加原理和点电荷系的场强,电场强度叠加原理,电场强度的计算,点电荷系的电场,电场强度的计算,解：,例1. 求电偶极子中垂面上的电场。,r,电偶极矩（电矩）,电场强度的计算,电偶极子在电场中所受的力矩,用矢量形式表示为：,电场强度的计算,连续带电体的电场例题,均匀带电直线的电场,均匀带电圆环轴线上的电场,均匀带电圆盘轴线上的电场,电场强度的计算,例 求一均匀带电圆环轴线上任一点x处的电场。,x,p,R,电场强度的计算,由对称性,解：,电场强度的计算,所以，由对称性,当dq 位置发生变化时，它所激发的电场 矢量构成了一个圆锥面。,电场强度的计算,电场线（E）

6、线：在电场中画一组曲线，曲线上每一点的切线方向与该点的电场方向一致，这一组曲线称为电场线。 为了定量地描写电场，对电场线的画法作如下的规定：在电场中任一点处，通过垂直于电场强度E单位面积的电场线数等于该点的电场强度的数值。,4. 电场线,电场线,点电荷的电场线,正电荷,负电荷,电场线,一对等量异号电荷的电场线,电场线,一对等量正点电荷的电场线,电场线,一对异号不等量点电荷的电场线,电场线,带电平行板电容器的电场,电场线,1. 电场强度通量,均匀电场中穿过与电场垂直的平面S的电场线总数，称为通过该平面的电场强度通量。,将曲面分割为无限多个面元，称为面积元矢量,则电场穿过该面元的电通量为,电场穿过

7、某曲面的电通量为,5-3 高斯定理,不闭合曲面：,闭合曲面：,面元的法向单位矢量可有两种相反取向，电通量可正也可负；,规定面元的法向单位矢量取向外为正。,电场线穿出，电通量为正，反之则为负。,电场强度通量,2. 高斯定理,1.1 当点电荷在球内时,高斯定理,高斯,2. 高斯定理,1.1 当点电荷在球内时,1.2 闭合曲面S不包围该电荷,闭合曲面可分成两部分S1、S2，它们对点电荷张的立体角绝对值相等而符号相反。,高斯定理,2. 高斯定理,1.1 当点电荷在球内时,1.2 闭合曲面S不包围该电荷,1.3 闭合曲面S包围多个电荷q1-qk，同时面外也有多个电荷qk+1-qn,由电场叠加原理,高斯定

8、理,高斯定理:,高斯定理表明静电场是有源场，电荷就是静电场的源。,虽然电通量只与高斯面内电荷有关，但是面上电场却与面内、面外电荷都有关。,注意：,在真空中，静电场通过任意闭合曲面的电通量，等于面内所包围的自由电荷代数和除以真空介电常数。,点电荷系,连续分布带电体,高斯定理,3. 高斯定理的应用,1. 均匀带电球面的电场,4. 均匀带电球体的电场,3. 均匀带电无限大平面的电场,2. 均匀带电圆柱面的电场,条件： 电荷分布具有较高的空间对称性,5. 均匀带电球体空腔部分的电场,高斯定理的应用,例1. 均匀带电球面的电场，球面半径为R,带电为q。,电场分布也应有球对称性，方向沿径向。,作同心且半径

9、为r的高斯面.,rR时，高斯面无电荷，,解：,高斯定理的应用,rR时，高斯面包围电荷q，,Er 关系曲线,均匀带电球面的电场分布,高斯定理的应用,例 无限长均匀带电圆柱面的电场。圆柱半径为R，沿轴线方向单位长度带电量为。,作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面,电场分布也应有柱对称性，方向沿径向。,高为l,半径为r,（1）当rR 时，,由高斯定理知,解：,高斯定理的应用,（2）当rR 时，,均匀带电圆柱面的电场分布,Er 关系曲线,高斯定理的应用,例 均匀带电无限大平面的电场.,电场分布也应有面对称性， 方向沿法向。,解：,高斯定理的应用,作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面，底面积为S，两底面到带电平面距

10、离相同。,圆柱形高斯面内电荷,由高斯定理得,高斯定理的应用,例 均匀带电球体的电场。球半径为R，体电 荷密度为。,电场分布也应有球对称性，方向沿径向。,作同心且半径为r的高斯面,a.rR时，高斯面内电荷,b.rR时，高斯面内电荷,解：,高斯定理的应用,均匀带电球体的电场分布,Er 关系曲线,高斯定理的应用,例2. 均匀带电球体空腔部分的电场，球半径为R， 在球内挖去一个半径为r（rR）的球体。,试证：空腔部分的电场为匀强电场，并求出该电场。,证明：,用补缺法证明。,c,p,o,R,小球单独存在时，p点的场强为,高斯定理的应用,高斯定理的应用,1. 静电场力的功,静电场对移动带电体要做功，说明静

11、电场具有能量。,5-4 静电场的环路定理,1.1 点电荷电场中,试验电荷q0从a点经任意路径到达b点。,在路径上任一点附近取元位移,dr,1.2 任意带电体系的电场中,将带电体系分割为许多电荷元，根据电场的叠加性,电场力对试验电荷q0做功为,总功也与路径无关。,静电场力的功,结论：,试验电荷在任意给定的静电场中移动时，电场力对q0做的功仅与试验电荷的电量及路径的起点和终点位置有关，而与具体路径无关。,静电场是保守场，静电场力是保守力。,静电场力的功,1.3 静电场的环路定理,试验电荷q0在静电场中沿任意闭合路径L运动一周时，电场力对q0做的功A=？,静电场力的功,安培,在闭合路径L上任取两点P

12、1、P2，将L分成L1、L2两段，,(L2),(L1),(L1),(L2),电场力做功与路径无关，故,即,静电场力的功,静电场的环路定理,在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分（称为场强的环流）恒为零。,静电场力的功,静电力的功，等于静电势能的减少。,2. 电势,由环路定理知，静电场是保守场。,保守场必有相应的势能，对静电场则为电势能。,选b为静电势能的零点，用“0”表示，则,2.1 电势能,电 势,高压发生器,某点电势能Wa与q0之比只取决于电场，定义为该点的电势,2.2 电势,2.3 电势差,电势零点的选取是任意的。,电场中两点电势之差,沿着电场线方向，电势降低。,电 势,3.电势的计算,

13、1.1 点电荷的电势,点电荷的电场,1.2 点电荷系的电势,1.3 连续分布带电体的电势,电势的计算,电势的计算例题,例1. 均匀带电薄圆盘轴线上的电势,例8-13. 均匀带电球面的电势,例8-12. 电偶极子的电势,电势的计算例题,例8-14. 均匀带电线的电势,例1.半径为R的均匀带电薄圆盘轴线上的电势分布。,解：以O为圆心，取半径为LL+dL的薄圆环，带电dq=ds= 2L dL,到P点距离,P点电势：,O,dL,R,电势的计算例题,由高斯定理知，电场分布为,R,解：,例 求一均匀带电球面的电势分布。,P,.,1.当rR 时,3.电势分布,2.当r R 时,r,电势的计算例题,电势分布曲

14、线,场强分布曲线,E,V,R,R,r,r,O,O,结论：均匀带电球面，球内的电势等于球表面的电势，球外的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势。,电势的计算例题,例 计算电偶极子电场中任一点的电势。,式中r+与r-分别为+q和-q到P点的距离，由图可知,解 ：设电偶极子如图放置，电偶极子的电场中任一点P的电势为,电势的计算例题,由于r re ，所以P点的电势可写为,因此,电势的计算例题,解：令无限长直线如图放置，其上电荷线密度为 。计算在x轴上距直线为的任一点P处的电势。,因为无限长带电直线的电荷分布延伸到无限远的，所以在这种情况下不能用连续分布电荷的电势公式来计算电势V，否则必得出无限大的

15、结果，显然是没有意义的。同样也不能直接用公式来计算电势，不然也将得出电场任一点的电势值为无限大的结果。,例 计算无限长均匀带电直线电场的电势分布。,电势的计算例题,为了能求得P点的电势，可先应用电势差和场强的关系式，求出在轴上P点P1和点的电势差。无限长均匀带电直线在X轴上的场强为,于是，过P点沿X轴积分可算得P点与参考点P1的电势差,由于ln1=0，所以本题中若选离直线为r1=1 m处作为电势零点，则很方便地可得P点的电势为,电势的计算例题,由上式可知，在r1 m处,VP为负值；在r1 m处,VP为正值。这个例题的结果再次表明，在静电场中只有两点的电势差有绝对的意义，而各点的电势值却只有相对

16、的意义。,电势的计算例题,5-5 等势面 电场与电势梯度的关系,点电荷的等势面,1. 等势面,在静电场中，电势相等的点所组成的面称为等势面。,1.1 典型等势面,电偶极子的等势面,等势面,电平行板电容器电场的等势面,等势面,在等势面上移动不作功,即,结论：电力线与等势面垂直。,q0在等势面上移动,E,q0,1.2 等势面与电场线的关系,S,等势面,1.3 等势面图示法,等势面画法规定：相邻两等势面之间的电势间隔相等。,U,U+U,U+2U,U+3U,等势面,2. 场强与电势的关系 电势梯度,2.1 电势梯度,在电场中任取两相距很近的等势面1和2，,1,U,U+dU,2,P1,P2,P3,电势分

17、别为U和U+dU，且dU0,等势面1上P1点的单位法向矢量为,与等势面2正交于P2 点。,在等势面2任取一点P3 ，设,则,场强与电势的关系 电势梯度,定义电势梯度,方向与等势面垂直，并指向电势升高的方向。,其量值为该点电势增加率的最大值。,场强与电势的关系 电势梯度,场强也与等势面垂直，但指向电势降低的方向。,电荷q从等势面1移动到等势面2，电场力做功,电场力做功等于电势能的减少量,写成矢量形式,在直角坐标系中,1,U,2,P1,P2,P3,U+dU,2.2 电势梯度与电场强度的关系,场强与电势的关系 电势梯度,5-6 带电粒子在静电场中的运动,把电荷分为激发电场的固定部分和受电场作用的运动

18、部分完全是相对的，是一级近似。,电荷q受到的电场作用力,正电荷受到的电场作用力与电场方向一致，负电荷受到的电场作用力与电场方向相反。,例 电偶极子在均匀外场中所受的作用。,解：如图所示，设在均匀外电场中，电偶极子的电矩的方向与场强方向间的夹角为，作用在电偶极子正负电荷上的力的大小均为,带电粒子在静电场中的运动,写成矢量式为,和 的大小相等，方向相反，所以电偶极子所受的合力为零，电偶极子不会产生平动，但由于 和 不在同一直线上，所以电偶极子要受到力偶矩的大小为,带电粒子在静电场中的运动,例 电偶极子在不均匀外场中所受的作用。,解：如果把电偶极子在不均匀外电场中，如图所示,可设电荷+q和-q所在处

19、电为 和 ，它们所受的电场分布分别是 和 ，所以电偶极子所受的合力为,带电粒子在静电场中的运动,由此可见，在不均匀的电场中，作用于电偶极子上的合力既与电矩pe成正比，会和r 方向上电场强度的变化率成正比，电场的不均匀性愈大时，电偶极子所受的力也愈大。,电偶极子所受的力矩为,带电粒子在静电场中的运动,因为电偶极子所在处的小范围内E 是很小的，所以在上式中可以认为,写成矢量式为,带电粒子在静电场中的运动,在低速情况下，略去重力，电荷在电场中运动方程为,讨论在均匀电场中的两种运动情况：,（1）初速度与电场同向,（2）初速度与电场垂直,带电粒子在静电场中的运动,回忆：,1.点电荷的场强公式 根据库仑定

20、律和场强的定义, 球对称,由库仑定律,由场强定义,从源电荷指向场点, 场强方向 正电荷受力方向,2.场强叠加原理 任意带电体的场强,如果带电体由 n 个点电荷组成，如图,整理后得,或,若带电体可看作是电荷连续分布的，如图示,把带电体看作是由许多个电荷元组成， 然后利用场强叠加原理。, 体电荷密度 面电荷密度 线电荷密度,电荷线密度为,例2 长为 均匀带电直线,例1 电偶极子的场强,例3 均匀带电圆环轴线上的场,例4 均匀带电圆盘轴线上的场,静电场的高斯定理 Gauss theorem 表述 在真空中的静电场内，任一闭合面的电通量 等于这闭合面所包围的电量的代数和 。,除以,高斯定理在解场方面的

21、应用,常见的电量分布的对称性： 球对称 柱对称 面对称,均匀带电的,球体 球面 (点电荷),无限长 柱体 柱面 带电线,无限大 平板 平面,静电场的环路定理 电势 静电场的环路定理 circuital theorem of electrostatic field 表述 静电场中场强沿任意闭合环路的线积分恒等于零 即,通常 理论计算有限带电体电势时选无限远为参考点 实际应用中或研究电路问题时取大地、仪器外壳等 电势的量纲 SI制：单位 V (伏特) 量纲,电势是一个长程物理量,球对称 标量 正负,电势的计算,点电荷：,由高斯定理知，电场分布为,R,解：,*求一均匀带电球面的电势分布。,P,.,1

22、.当rR 时,3.电势分布,2.当r R 时,r,电势的计算例题,真空中静电场小结 1. 两个物理量,2. 两个基本方程,3. 两种计算思路,1.导体 存在大量的可自由移动的电荷 conductor 2.绝缘体 理论上认为一个自由移动的电荷也没有 也称 电介质 dielectric 3.半导体 介于上述两者之间 semiconductor 本章讨论金属导体和电介质对场的影响,5.5 静电场中的导体,一.导体的静电平衡条件 1.静电平衡 electrostatic equilibrium 导体内部和表面无自由电荷的定向移动， 说导体处于静电平衡状态。 2.导体静电平衡的条件,3.导体的电势 导体

23、静电平衡时，导体各点电势相等， 即导体是等势体，表面是等势面。,证：在导体上任取两点,和,二.导体上电荷的分布 由导体的静电平衡条件和静电场的基本性质， 可以得出导体上的电荷分布。,1.导体体内处处不带电,证明：在导体内任取体积元,体积元任取,证毕,导体带电只能在表面！,2.导体表面电荷,设导体表面电荷面密度为,相应的电场强度为,设P是导体外紧靠导体表面的一点,3.孤立带电导体表面电荷分布 一般情况较复杂；孤立的带电导体，电荷分布的实验的定性的分布： 在表面凸出的尖锐部分(曲率是正值且较大)电荷面密度较大， 在比较平坦部分(曲率较小)电荷面密度较小， 在表面凹进部分带电面密度最小。,+ 高压,

24、金属尖端的强电场的应用一例,接真空泵或充氦气设备,原理： 样品制成针尖形状， 针尖与荧光膜之间加高压， 样品附近极强的电场使吸附在表面的,原 子 电离，氦离子沿电力线运动， 撞击荧光膜引起发光， 从而获得样品表面的图象。,2 有导体存在时静电场场量的计算 原则: 1.静电平衡的条件 2.基本性质方程 3.电荷守恒定律,例1 无限大的带电平面的场中 平行放置一无限大金属平板 求：金属板两面电荷面密度,解:,设金属板面电荷密度,由对称性和电量守恒,导体体内任一点P场强为零,例2 金属球A与金属球壳B同心放置,求:1)电量分布,已知：球A半径为,带电为,金属壳B内外半径分别为,带电为,2)球A和壳B

25、的电势,解： 1)导体带电在表面 球A的电量只可能在球的表面 壳B有两个表面 电量可能分布在内、外两个表面 由于A B同心放置 仍维持球对称 电量在表面均匀分布,球A均匀分布着电量,由高斯定理和电量守恒 可以证明壳B的电量分布是,相当于一个均匀带电的球面,证明壳B上电量的分布： 在B内紧贴内表面作高斯面,面S的电通量,等效:在真空中三个均匀带电的球面,利用叠加原理,静电屏蔽 electrostatic shielding,讨论的问题是： 1)腔内、外表面电荷分布特征 2)腔内、腔外空间电场特征,腔内、腔外 内表面、外表面,证明:,与等势矛盾,?,一.腔内无带电体, 内表面处处没有电荷 腔内无电场,即,或说，腔内电势处处相等。,在导体壳内紧贴内表面作高斯面S,若内表面有一部分是正电荷 一部分是负电荷,则会从正电荷向负电荷发电力线,证明了上述两个结论,一般情况下电量可能分布在：,1)导体壳是否带电? 2)腔外是否有带电体?,注意： 未提及的问题,腔内表面 腔外表面 空腔内部与壳绝缘的带电体 壳外空间与壳绝缘的带电体,在腔内,二.腔内有带电体,电量分布,腔内的电场,1)壳是否带电?2)腔外是否有带电体?,腔内的场只与腔内带电体及腔内的几何因素、介质有关,用高斯定理可