建筑数学绪论——.ppt

1、绪论数的概念,建筑数学第一讲,建筑数学是针对中央美院建筑学专业的学生开设的试验性课程，采用讲座的形式，介绍数学的一些基本概念和知识，与建筑学的关系，对建筑设计和创作的启迪，以期引起建筑学专业学生对数学的兴趣（兴趣是学习最重要的动力），认识到“数学是受过高等教育者的一种文化修养”。 联合国科教文组织的世界数学教育的新动向中指出：“在人类社会的任何领域里，最近和将来都不可避免地利用数量计算、逻辑推导和数学化模型。在传统的物理学和工程学以外，生物科学、社会科学、经营管理学、人文科学和日常生活都要以各数学分支及它们的相互结合为工具，加之统计的和计算机的模型化，数学还将渗透到人文科学里最近发现的新课题。

2、”,勒柯布西埃： 装饰是“初级的满足” ,“是多余的东西，是农民的爱好”，而比例和尺度上的成功是“到达更高级的满足（数学）”，是“有修养的爱好”。 “帕提农给我们带来确实的真理和高度数学规律的感受”。 “数学的精确性与大胆的幻想结合起来，说确切些，就是美”。,两个学过数学的建筑师 扎哈哈迪德 1950年出生于巴格达，在黎巴嫩就读过数学系，1972年进入伦敦的建筑联盟学院AA学习建筑学，1977年毕业获建筑学硕士学位。 卡拉特拉瓦 1951年生于西班牙，学过美术，先在巴伦西亚学习建筑，后去瑞士苏黎世联邦工学院攻读结构工程， 1979年获博士学位。,徐志摩与相对论 1920年10月罗素在南京中国科

3、学社的演讲题目是“爱恩斯坦引力说”。赵元任做翻译。赵元任后来是清华国学研究院的四大导师之一。 徐志摩说过：“二十四岁以前我对于诗的兴味远不如我对于相对论或民约论的兴味。”他原配妻子张幼仪的哥哥张奚若也曾回忆：当我1921年和他在伦敦重聚时，一见面就很得意地向我说他近来作了一篇文章，料我无论如何也猜不着他作的是什么题目原来他作了一篇关于爱因斯坦的相对论的文章!（张奚若：我所认识的志摩） 这篇文章，就是发表在1921年4月15日出版的改造(梁启超主编)上的安斯坦相对主义。1920年，徐志摩路过巴黎，张君劢送他一本爱因斯坦自著的相对主义浅说，让他研究一下科学界的最新成果。到了英国，他请教了许多人，包

4、括理工科的留学生在内，居然没人说得出来。因此，他就发狠苦读，钻研揣摩，“连吃奶的力气都使出来”，写下这篇通俗性的科学论文。徐志摩广采博纳：从狭义相对论到广义相对论，从时空观念、万有引力到哲学、历史人文科学中的有关影响等等 。,数学的定义,“数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学”（恩格斯反杜林论）。恩格斯在论述数学是现实世界的反映，产生于人类的实际需要的同时也指出：“这些材料表现于非常抽象的形式之中”。 一百多年来现代数学的发展，一方面使数学具有更高的抽象程度，另一方面数学对象的推广已经越出了对数量关系和空间形式传统的理解范围，数学不仅研究直接从现实世界抽象出来的数量关系和空间形式，而且

5、研究那些运用数学已经形成的概念和理论为基础定义和推理演绎出来的关系和形式。因此，可以把客观世界和主观世界中（逻辑可能）的数量关系和结构关系作为数学的对象，空间形式被看作是结构关系的一个方面。,数学的发展,数学的历史发展通常划分成初等数学、高等数学和现代数学三个阶段。公元前75世纪以前，人类发展漫长的历史时期是数学的萌芽阶段，公元前5世纪至公元17世纪为初等数学阶段；从17世纪初到19世纪末为高等数学阶段，从19世纪末开始数学进入现代数学阶段。 在初等数学阶段，数学的对象是常量和简单几何形体。这个时期数学的基本成果：初等代数和欧几里德几何（初等几何）成为现在中学数学课程的主要内容。 高等数学阶段

6、，以笛卡尔建立解析几何为起点，微积分的建立是这一阶段最显赫的成就和标志。高等数学的对象是变量及其函数。研究变量和函数的数学领域称为分析。在这时期，与解析几何同时还产生了几何的另一分支-射影几何，并产生了数学的重要的新领域一概率论。,现代数学阶段以康托尔建立集合论为起点。2O世纪以后用公理化体系和结构观念来统观数学成为现代数学的明显标志。现代数学的对象是一般的集合和各种抽象的逻辑上可能的形式和关系。现代数学阶段以其三大基础领域一-几何、代数和分析中的深刻变化作为开端。非欧几何的产生和多维空间概念的形成，使“空间”这个概念已经超越了物质世界现实空间的含义。代数的对象从传统的数扩展到具有更为普遍性质

7、的量以至结构和系统，如向量、矩阵、群、环、域、线性空间等。数学分析的对象从变量扩展到变化的函数，从变量空间扩展到函数空间。集合论的产生和数理逻辑的研究促使数学家从数学、逻辑和哲学上考虑数学的本质和基础。 同时伴随着现代物理学、工程技术科学、经济学等的发展，也引起应用数学和一些新的数学领域的产生和发展，如统计学、运筹学、信息论、控制论、系统论、计算数学等等。,数学的特点,确定性 抽象性 严格性 应用的广泛性 理性美(dry beauty),数学，“具有一种至高无上的美，一种冷峻（cool，酷）而严肃的美，这种美没有音乐或绘画那般华丽的装饰，它纯洁到崇高的地步，达到了只有最伟大的艺术才能显示的那种

8、完美的境界”。 罗素（Russell，18721970，英国数学家，诺贝尔文学奖得主）,现代数学的发展趋势,从单个或少数变量到多变量，从低维空间到高维空间。这表示数学模型中包含的因素和参数的数量大大增加，并产生了一些质的变化。与此相应发展起来一些数学中的新学科，如多线性代数、多复变函数、多元统计分析等等。最近十儿年来，具有不必是整数的分数维（fractal dimension）的几何对象一一分形（fractals）引起了广泛的兴趣。 从线性问题到非线性问题。线性化的数学模型是研究局部范围和平缓变化过程所采用的通常是简化了的模型，而要研究大范围、大变化、大挠动、高速度、强作用力等情形的问题，就要

9、涉及非线性现象。非线性问题通常具有对初始条件、边界条件和外界挠动敏感的特征，即这些因素的微小变化会引起结果很大的改变。非线性问题已成为当前数学研究的一个主要内容。,从连续、稳定到间断、突变和不稳定。事物在经过一段连续变化以后发生突变，从一种状态跳跃到另一种状态，描述这种突变现象的新的数学学科称为 “突变论”（Catastrophe Theory）。从平衡的、守恒的、可逆的到非平衡的、耗散的、不可逆的，从决定性的、有序的、周期性的、对称的到随机的、无序的、非周期性的、对称破缺的。而对非线性、非平衡动力系统的深入研究，又揭示出远离平衡态的隐藏在随机性和无序中的分叉（bifurcation）和混沌(

10、chaos）现象。突变、分叉、混沌、分数维等等体现复杂性的现象已成为当今数学、力学、物理学、生物和生命科学乃至经济学、社会学等科学的热门研究课题。,从确定到模糊。作为现代数学基础的集合论，对一个元素是否属于一个集合是完全确定的，但对自然界和人类社会中许多现象的描述往往不具有明确的界限，而只有模糊的外沿。1965年由美国数学家LZadeh建立起的模糊（fuzzy）数学发展很快，它对自然界和社会中模糊现象作定量的研究，具有广泛的实际意义。,第三次浪潮的作者托夫勒在为普里高津所著的从混沌到有序一书所撰写的前言中所说的：机器时代的传统科学倾向于强调稳定、有序、均匀和平衡。它最关心的是封闭系统和线性关系

11、，其中小的输入总是产生小的结果；而新的科学把注意力转向了现实世界的那些方面：无序、不稳定、多样性、不平衡、非线性关系（小的输入可以引起大的结果）以及瞬时性对时间流的高度敏感性。这些方面标志出今天加速了的社会变化。,这些理论以自然界和人类社会广泛的课题为研究对象，具有广阔的研究领域和普遍的应用范围。这些理论不仅提供了新的发现和新的论断，更重要的是表达了新的思维方法、新的认识论和新的世界观。可以预言，这些理论很快会被引入到建筑理论中来，就像相对论、系统论、信息论、控制论一样，会成为新一代建筑思潮的自然哲学基础。如果说现代建筑运动理性主义建筑观念反映了本世纪初建立在经典数学和传统科学基础上的工业社会

12、的自然哲学，那么，当今建筑思潮五彩纷呈的现象则折射着后工业化社会探索复杂性和多样性的自然哲学的辉光。 秦佑国，“建筑与数学”，1992,现代数学概念在建筑学中出现 The Architecture of the Jumping Universe A polemic: How Complexity Science is Changing Architecture and Culture1995 Fractal Geometry in Architecture and Design1996,数字建构,徐卫国，“数字建构”，建筑学报2009年第一期：“使用数字技术在电脑中生成建筑形体，以及借助于数控

13、设备进行建筑构件的生产和建筑的建造。” 并在清华大学建筑学院开设了“非线性”建筑设计的课程。 近年来，许多欧美著名大学的建筑院系开设了相关的课程。,英国AA建筑学院的学生作品 荷兰代尔夫特工业大学建筑系学生作品,Maximilians Schell,Ball Nogues Studio,Foster and Partners,Media Stations,OCEAN,New Czech National Library,Bylgia Instalation /German Pavilion,Nordpark Cable Railway,Baku Theatre,Zaha Hadid,广州大剧院

14、,数的概念,数觉：某些动物有一种本能，能感知事物的“多少”。一个乌鸦在一个庄园的塔楼上筑巢，庄园主想捉住它。但当庄园主一进入塔楼，乌鸦就飞走，他一走出塔楼，乌鸦就飞回来；庄园主和另一个人，2人进入塔楼，然后1个人走出来，1个人留在里面，但乌鸦不飞回来，它感到出来的人数比进去的少了，直到留在里面的人出来，它才飞回；庄园主继续试验，进去3人，出来2人，乌鸦还是不飞回来；继续试验，直到进去5人，出来4人，乌鸦分辨不出来了，飞了回来，被逮住了。原始人的数觉并不比乌鸦强，南部非洲的Bushmen人，除了一、二和多，没有别的数字，澳大利亚土人没有人能了解七。 有的时候，对图形的辨别能提高数觉。桌上有5颗豌

15、豆，均匀地紧挨著排成一条直线，较难立即判别是4颗还是5颗，但把它们排成方形（4颗）或是梅花状（5颗），一眼能看出差别。鸟巢中有4个蛋，被人掏走1个，鸟感觉不到，拿走2个，鸟就看出来了。,计数：最初原始人没有数的抽象概念，在一些土著人那里，2个人用2支矛猎获了2只野鹿，是用不同的语音来表示这三种东西（人、矛、鹿）的数量“二”的。但后来通过“一一对应”方法，用伸出2个手指，在木棍上刻划2道刻痕来表示不同物体的相同数量“二”，“计数”就开始了。罗素：“不知道要经过多少年，人类才发现一对锦鸡和两天同是数字2的例子。 正是计数，才使具体的、不同质的表达多少的概念结合为统一的抽象的数的概念，这正是数学的本

16、质。 谁见过 “1 ”？人们见到的是具体的“一个人”、 “一匹马”、 “一朵花”、“一颗星” ，但人类的伟大、思维活动的伟大，将这些具体的事物，抽象成数“1”，并用一个符号（世界各地几乎都是“或”）来表示。而且在语言上也统一了，不随具体对象而不同了，变成了抽象的语音符号。 有一种长期流行的观点“我们学艺术的、学建筑的，需要的、擅长的是形象思维，而数学是逻辑思维，所以数学没有用，也学不好。”“形象”和“逻辑”怎么是一对对立的词呢？“形象”与“抽象”才是一对对立的词！学艺术的、学建筑的难道不需要抽象思维？！现代艺术区别于传统艺术最重要的特点之一正是“抽象”！而 “抽象是数学的本质”。,数制,数序：

17、当数对应于数量的多少，必然就会形成数从小到大的排列顺 序：1、2、3、4、5，自然数数序。 基数：“屈指可数”，人类开始是用手指来计数，人有2只手，一只 手5个手指，共计10个手指。所以世界上大都数文明都是“十进制”，以1到10十个数字为基数，都有独立的名称和标识。但也有“五进制”（一只手）的，罗马数字是五进制的：、 ，“二十进制”的（两只手加上两只脚）的，玛雅文明是二十进制。在澳洲和非洲最原始的部落中，还存在着一种“二进制”的计数制，他们独立的数只有“一”和“二”，计数只到六，六以上就统统叫“堆”。 莱布尼茨（16461716年）的二进制：17世纪德国的数学家莱布尼茨发明了“二进制”，“任何

18、数字都可以用1和0写出来”：11、 210、311、4100、5101、6110、7111、81000、91001、101010 。,莱布尼茨那个时代，因为在中国的欧洲传教士传回的信息，让欧洲人很关注中国文化。莱布尼茨对中国文化非常感兴趣。莱布尼茨既是数学家，也是神学家和哲学家，还是语言学家。他提出要建立全球宗教组织，他想让康熙皇帝皈依基督教，他研究汉语和方块字。他把发明二进制的事告诉他在中国传教的耶稣会士朋友，其中一位叫白晋的神甫给莱布尼茨写信:“您的新计数法跟伏羲的八卦是一样的。” “您的二进制几何级数一旦推到第六级，便可得出2、4、8、16、64等数。简直是奇迹，伏羲推算的也正是64卦。

19、先生，您与易经不谋而合！”尽管莱布尼茨本人声明：“当初我创立二进制算术的原则时，对易经中的八卦是根本不知道的。”但他后来的确认为：“八卦和二进制算术之间的相似性可以成为一个相当可信的论据，从易经看，在中国圣贤帝王的思想中，似乎可以找到基督教创世理论的痕迹。”莱布尼茨想通过在清朝钦天监任职的传教士闽明我去影响“曾研习欧西算法”的康熙皇帝，“认识基督教信仰的优点” 。,十二进制：十进制是人有十个手指的“自然结果”，但作为数制并非十分合理，例如对空间的表达，“前后左右”、“四面八方”，用十进制并不十分配合，还有立方体有六个面，用十进制也不配合。倒是十二进制，能很好的配合。12有2、3、4、6四个约数

20、（或12是2、3、4、6四个数的整数倍），所以能很好地配合“上下” 、“前后”、“左右” （对应2），“上中下”、“左中右”（对应3）、“前后左右”、“东西南北”（对应4），“上下前后左右”、“立方体、建筑物”（对应6）。当用钟面表示时间，时间也就十二进制和六十进制了。 也正因为12有4个约数，可以整分，建筑尺寸模数体系实质上也是12进制的，以12的整分数为模数：12、6、4、3、2及其1.5（3/2)的整数倍1.5、4.5、7.5、9。 质数和合数：一个整数只能被1和它自身整除，称为质数；一个整数可以被非1的其他整数整除，称为合数。一个合数的除数之和等于它自身，称为完数，个位数中的完数是6（

21、1+2+3），十位数中的完数只有28（1+2+4+7+14），古印度和希伯来人早就知道6和28是完数，而圣经注释家认为这两个数是上帝创造世界的基本数。,哥德巴赫猜想：任何大于4的偶数都可以表示为两个质数之和。 （“1”+“1”=“2”） 无理数：古希腊毕达哥拉斯：“万物皆数也”。毕达哥拉斯学派的数是指整数和分子与分母都是整数的分数。他们还提出了毕达哥拉斯定律（勾股弦定律）：直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方和。典型的是勾三股四弦五，32 + 42 = 52 。毕达哥拉斯的一个学生发现，2个直角边都是1的直角三角形的斜边（边长为1的正方形的对角线），不能用分子与分母都是整数的分数来表示。

22、他泄露了这个发现，被毕达哥拉斯学派扔进河里。这种不能用整分数表达的数后来被称为“无理数”。 数字四则运算的艺术性：,一些数字通过四则运算，可以出现整齐而又规律的组合,数的组合和排列,河图 （周易系辞上：“河出图，洛出书，圣人则之。” ）,数的组合和排列,洛书,杨辉（宋）：九子斜排，上下对易，左右相更， 四维挺进，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足。,幻方,幻方,杨辉三角形,斜线求和得到数列：1, 1, 2, 3, 5，8，13,中国古代的数字文化,术数学： 象数（占卜） 天数（占星） 礼数（礼制） 律数（律吕） 命数（宿命）,礼记中的部分礼数,孔子谓季子： “八佾（yi）舞于庭，是可忍，孰

23、不可忍？！”,数列,把数字按一定的规则加以排列：a1 a2 a3 a4 an 等差数列（算术级数）： an+1 - an = an - an-1 = d 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 （d = 1) 4, 7，10，13, 16, 19, 22(d = 3) 等比数列（几何级数）： an+1 / an = an /an-1 = p 1, 2, 4, 8, 16, 32(p = 2) 2, 6, 18, 54, 162 (p = 3) 马尔萨斯人口原理 ：生活资料按算术级数增加，而人口是按几何级数增长的，因此生活资料的增加赶不上人口的增长是自然的、永恒的规律。 三点结论：“、人口必然地

24、为生活资料所限制。、只要生活资料增长，人口一定会坚定不移地增长，除非受到某种非常有力而又显著的抑制的阻止。、这些抑制和那些遏止人口优势力量并使其结果与生活资料保持同一水平的抑制，全部可以归纳为道德的节制，罪恶和贫困。”,波得（17471826），德国天文学家，1772年提出 波得定律：太阳系的行星依次与太阳的距离如下表：,波得定律基于数列： 0, 3, 6, 12, 24, 48, 96 每一项加上4，就得到波得距离。 一个波得距离相当于9,300,000英里,1781年，德国天文学家赫歇尔在192波得距离上发现了天王星，验证了波得定律；但在表中第5位上，当时没有行星，到1801年，在实际距离

25、27.6处发现第一颗小行星，也是最大的一颗小行星，实际上在这个距离上有大量的小行星（小行星带）绕太阳轨道运行；在1846年在301波得距离处又发现海王星（与波得定律有了较大偏差）。,音调和音程 人听声音，除了声音大小，还有音调高低。音调取决于发声体振动的频率（Hz）。 钢琴键盘上中音A，相当于440Hz ，高八度到高音A，就是880Hz，频率增加一倍。,一个八度音程，对应频率是一倍，一个倍频程。 所以低音A，就是220Hz。一个八度音程对应一个倍频程，钢琴弦长度变动一倍：低八度，弦长加倍，高八度弦长减半。 把一个八度音程分成12等分（十二平均律），键盘上从中音C（1）到高音C（）共有12个键（

26、白键和黑键），每一份，就是一个半音，两个半音等于一个全音。1234567（ABCDEFG）各基本音级之间相隔的距离并不平均，十二个半音构成了有八个基本音级的音列，各音之间音级的关系是“全全半全全全半”。3-4（E-F）之间，7- （B-C）之间 是半音，其他之间是全音。,斐波那契数列： 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34，55, 89 意大利数学家斐波那契(Fibonacci)研究兔子繁殖问题得到的数列（1202年）： 一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？ 第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是1对； 两个月后，生下一对小兔

27、，兔数共有2对； 三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是3对； 后一项等于前两项之和。 an+1 = an-1 + an 第n项是： 通项用无理数表示，但其值仍然是整数。 当项数足够多时，前后两项之比接近于黄金分割之比：0.61803 21/34= 0.6176, 34/55=0.6182, 55/89=0.6180,斐波那契数列与黄金分割,斐波那契数列与杨辉三角形,菲波那契数列,斐波那契数列及黄金分割在股市中的应用 斐波那契数列与黄金分割在各个领域无所不在，作为万事万物中的一部分，它们在股市中也有着广泛的应用。斐波那契数列在把握股市变盘点方面有着独特的功效。 如从

28、上市首日或重要高低点往后数，第8、21、34、55等斐氏天数经常成为重要的变盘点，而软件中的斐波那契时间窗在把握股市变盘点方面有着独特的效果：从某个重要点位开始，费波那契时间窗的竖线所到的位置常常成为重要的变盘点。 从半年K线看，从上市开始的第8、13、21、34个交易日均为市场重要的变盘点，尤其是01年6月的高点以及07年10月的最高点均恰好落在斐氏时间窗上。,参考书： 文科数学概念与应用，美 D 贝尼斯，科学普及出版社，1988； 建筑设计与人文科学，英 G 勃罗德彭特，中国建筑工业出版社，1990； 数：科学的语言，美 T 丹齐克，上海教育出版社，2001； 现代世界中的数学，Morri

29、s Kline，上海教育出版社，2004。,第一讲习题： 1、自己写出（不要去抄书）四阶（44）幻方。 2、就“黄金分割”在建筑和绘画、雕塑中的应用举出3个例子。 3、上网，查询“斐波那契数列”相关词条，写一篇paper。,图形世界（一）几何图形,建筑数学第二讲,如果说数字的起源是远古人类感知、记录和计算事物“多少”而产生的，那么图形是远古人类感知、描绘和构成事物的形状而产生的。 “大漠孤烟直，长河落日圆”，自然界事物最普遍的基本形状是圆形（或近似圆形），蜂巢的六边形也接近圆形。因为自然因素通常是各向同性的，树干长粗，各方向都能长，所以是圆的，不会长成方的。圆是各向同性的，方就不是，所以自然界

30、几乎没有方形，方是人类的创造。 方的创造与人类的建筑活动有关，方形可以无缝的连续拼接，因为方形的角是直角（90），四个直角可以无缝地拼成全角（360）；立方体既是直角，而且六个面两两平行，可以稳定的无缝的砌筑。,人类是如何发现方的呢？观察自然。除了“落日圆”，还有“孤烟直”嚒。自然界，地球上，有一个因素有确定的指向性，就是地球引力（重力），其方向是垂直地面。人类观察到树木垂直生长，手里的东西掉下来，垂直下落，烟往上升等；还观察到水面是平的（所以叫“水平”，也是重力的结果），地面要水平的，桌面也要水平，否则东西放上去要滑动。从垂直、水平就可以逐渐认识到方形平面、立方体和平行表面，自然界有些石头有

31、平行表面（水成岩，也是重力形成的）。 黑格尔说过：“建筑是地球引力的艺术” 建筑物的屋盖形状可以三维变化，丰富多彩，“奇形怪状”；墙体可以在平面上“曲折”，而在竖直方向通常是直立的；当屋顶和墙面合成一体，墙也可以是三维变化的形状。但是建筑物的楼层只能是水平的，人们需要在上面活动。,高层建筑体型再复杂，楼层都必须是水平的。,尼罗河每年一次洪水泛滥促成了古埃及文明的产生。洪水到来时，会淹没两岸农田，洪水退后，又会留下一层厚厚的河泥，形成肥沃的土壤。,洪水退去后，原有的土地界限淤没了，需要重新丈量界定。法老政府按土地征税，也要丈量计算土地面积。这就促使了古埃及几何学的发展。 4500年前建造的建筑史

32、上的奇迹胡夫金字塔，既是工程学的巨大成就，也表现出古埃及几何学的辉煌。,塔高146.6米，塔身倾角为51度52分，塔底部为边长230米的正方形，边长的误差仅2厘米，直角的误差仅仅12。,为了丈量长短，就要计量的单位：尺、寸（米、厘米、呎、吋）等等，并约定之间的换算关系，更重的是由公权力（政府）部门确定标准长度，共同遵照。否则，你的1尺与他的1尺不一样长，这里的1尺和那里的1尺不一样长，就无法进行交流和交换。秦始皇统一六国后，重要的一件事就是统一度量衡。 凡是需要多部门、多工种配合的工作，如房屋建造和工业制造，你量出的尺寸和我量出的尺寸应该保证配合。瓦工在墙上留下1米5（1500mm）宽的窗洞，

33、木工要装进去1米5宽（1500mm）的窗子，或车工车一根直径15mm的轴，要插进钻工钻的内径15mm的圆孔，如点接式玻璃的连接。要求有两条：两个人的尺子（量具）的误差要一致；两个人量尺寸（操作）要细心，人为误差要小。瓦工和木工的尺子简易，施工精度也低，所以，窗子名义尺寸是1500，瓦工留的洞口可能是15201530，木工做的窗子宽度可能是14901495，瓦工通常留得宽一些（正偏差），而且活儿糙，木工通常做得窄一点（负偏差），而且活儿细一点。窗子装好后，两边总是有1020mm的缝，再用腻子去填抹，这就是土建精度。而点接式玻璃连接点加工，名义尺寸是15mm，车工车轴（负偏差）和钻工钻孔（正偏差）

34、，偏差控制在0.02mm，这是机械加工，精度显然比土建施工高，其绝对误差0.02mm比1020mm小得多；相对误差0.02mm/15mm=0.13% 比 1020mm/1500mm=0.67%1.3%小一个量级。 要提高中国建筑的精致性，就要提高土建施工的精度，还要制造业的进入。,建筑的精致性取决于建造精度的控制,在建筑方案设计的说明中，经常会看到有人对总建筑面积的计算非常“精确”，例如，32412.4 m2。这表示他没有误差理论的概念。 没有“绝对误差”的概念。3万多平米的方案设计，如何精确计算到0.1 m2，有没有必要精确到0.1 m2？ 没有“相对误差”的概念。方案设计，面积控制在5%范

35、围内，已是相当可以了。而相对误差在5%之内，就是2位有效数字即可，用3万2千（3. 2万） m2表示就行了。 在建筑构造、建筑节点设计中，又没有精度控制的概念，标注的都是名义尺寸。而机械加工图纸要标示加工尺寸的误差控制范围，50mm0.1mm，100mm 0.1%，有的规定只允许正偏差，有的只允许正负偏差，或正负偏差不一样；还有表面光洁度的控制：。 随着对建筑精致性的呼吁，和制造业越来越进入建筑业，建筑师应该有制造业的基本常识：误差理论、精度控制、公差配合、互换性理论。建筑学专业课程教学也要有这方面知识的内容。,误差理论建筑设计与机械（工业）设计的分野,几何原本古希腊 欧几里得 最早用公理法则

36、建立起演绎数学体系的典范。古希腊数学的基本精神，是从少数的几个原始假定（定义、公设、公理）出发，通过逻辑推理，得到一系列命题。,几何原本共13卷（亦有15卷的译本） 。卷一是基本定义、公设和公理。 定义23条：“点是没有部分的”，“线有长无宽”，“图形是被边界包围的”等等； 5个公设，前4个是：任两点可联一直线，直线可任意延长，以任意中心和半径可作一圆，凡直角都相； 5个公理：“等于同量的量彼此相等”，“等量加等量其和相等”，“全体大于部分”，等。,明 徐光启译本,第一个印刷版本,抄写在纸草上的残片,第5共设（平行线公设）：以一直线与两条直线相交，构成的同旁内角之和小于两直角之和（即180），

37、则两条直线一定在同旁内角和小于两直角之和一侧相交。,+ 180,演绎推理,欧几里得几何原本建立了演绎推理的基本规则，以已接受的命题（公理、定义、定理）为依据，通过逻辑推导（因为 ，所以 ） ，得出结论（并可作为新的可接受的命题）。 爱因斯坦：“西方科学的发展是以两个伟大成就为基础，那就是：希腊哲学家发明的形式逻辑体系（在欧几里得几何学中），以及通过系统的实验发现有可能找出因果关系（在文艺复兴时期）”。 概念、判断、推理是形式逻辑的三大基本要素。 要求思维过程满足： 同一律：在同一思维过程中，必须在同一意义上使用概念和判断。要求思维对象的同一， 使用概念的同一，判断的同一，即同一个主体在同一时间

38、，从同一方面对同一事物作出的判断必须保持同一。 矛盾律：在同一思维过程中，任一命题不能既真又不真，任一事物不能同时既具有某属性又不具有某属性。 排中律：在同一思维过程中，一个命题是真的或不是真的，此外没有其他可能。任一事物在同一时间里，具有某属性或不具有某属性，此外没有其他可能。,“星期天商场里人比星期二多”这个结论有两种方法得到： 经验：经常去商场（或现场调查）发现总是星期天商场里人比星期二多，所以得出这个结论。（归纳法） 推理：星期天是假日，大多数人不上班；星期二是工作日，大多数人要上班；人们在有空时才能去商场；所以星期天商场里人比星期二多。（演绎法） 三段论法推理： 所有的A都是B；（所

39、有的狗都是哺乳动物） （所有的住宅是房子） 所有的B都是C；（所有的哺乳动物都有毛） （所有的房子有屋顶） 所以，所有的A都是C（所以，所有的狗都有毛） （所以，所有的住宅有屋顶） 但是，下列推理对吗？为什么？： 所有的狗都是哺乳动物 所有的住宅是房子 所有的猫都是哺乳动物 所有的高层建筑是房子 所以，所有的狗都是猫 所以，所有的住宅是高层建筑 这个结论是错误的，狗不是猫。 这个结论是错误的，但 有的住宅是高层建筑。,有毛,住宅,高层 建筑,房子,可用“维恩（Venn）图”表示,近代科学为何没在中国萌芽？ 2004年9月8日科学时报 9月3日上午，作为“2004文化高峰论坛”发起人之一的杨振宁

40、先生在本次论坛上出人意料地做了一个题为易经对于中华文化的影响的演讲。 对于近代科学为什么没有在中国萌生，杨振宁认为，这是因为：首先中国的传统是入世而不是出世的，换句话就是比较注重实际，不注重抽象的理论架构；第二是科举制度；第三是认为技术不重要，认为技术是“奇技淫巧”；第四是中国传统里没有推演式的思维方法；第五是天人合一的观念。 如果归纳一下今天近代科学的思维方法，发现其中有两条路，一条路是归纳法，一条路是推演法，最终的目的与方法都是要找到自然规律。 杨振宁指出，中华文化有归纳法，可是没有推演法。趋向比类、观物取象是易经的精神，是归纳法的精神。中华文化没有发展出推演法。,设计媒介与投影几何 建筑

41、不同于绘画和雕塑，后者更多地是艺术家自己完成的，而建筑作品是建筑师事先设计，制作 (施工) 随后是由他人完成的。于是就有设计信息的表达和传递的问题。信息的传递需要借助媒介。 建筑设计媒介: 语言、文字、图形、符号、模型、技艺传承。图形无疑是最重要的设计媒介。设计信息交流需要以“共同的知识背景”为前提。,在古巴比伦和埃及已有建筑图，但是，是已有建筑的“记录”还是事先的“设计”，还难以确定。,古埃及的建筑图 上图的楼梯已有剖面 右面的图已有格网线,清宫样式雷的建筑图,正因为古代设计媒介表达的粗糙性和传递的局限性，就要求建筑师具有“完人”特性和“匠人”特性，并形成建筑平面的简单性与结构构造和技艺的复

42、杂性、形式的模式化和持续性。古代建筑设计信息交流的共同知识背景是“对象”。,宋营造法式图,1521 年,欧洲中世纪教堂的图样和现场的放样,图形媒介的发展 中世纪之后，建筑图形媒介随着中国造纸术的传播和纸的大量运用，渐渐在实践和理论中有了较大的发展。文艺复兴时期及之后的透视学、投影几何、画法几何等方法的建立，为图形媒介的表达提供了有力手段。,投影几何与画法几何,三视图,可以准确的以二维图示表达三维实体 可以用比例尺去量取，也可标注尺寸,工业革命后，工程制图规则的建立和蓝图复制技术的发明，进一步推进了设计建造过程中建筑制图的大量运用。这时，共同的知识背景从“对象”变为“规则”（建立在投影几何和画法

43、几何基础上的工程制图规则），设计信息表达的通用性、精确性和传递的方便性，使得建筑师和工程师的分工,设计和施工的分工，多种专业人员的合作和配合 。,建筑形式的复杂化和多样化,数字媒介 数字媒介是利用计算机对语言、图形、模型等传统媒介进行数字化的表达方式，数字媒介在建筑设计建造过程中的运用，称之为建筑数字媒介。 在广泛采用 CAAD 和其他数字媒介技术下，建筑数字媒介不仅完全达到和超越了传统图形和模型媒介对建筑空间及形式的表达能力和表达精度，而且第四代，第五代计算机正力图使自己具有识别问题，理解问题,解决问题的能力。,最初计算机的目的只是为了计算， 1950 年诞生了第一台计算机图形显示器， 19

44、58 年，美国 CALCOMP 公司发展了滚筒式绘图仪， GERBER 公司发展了平板绘图仪； 50 年代末期，麻州理工学院第一次使用了具有反馈功能的图像管显示器，操作者可以用光笔在屏幕上指出被确定的目标； 1962年MIT的伊万 萨瑟兰在计算机上实现了图形的绘制。 此后，图形的输入和输出技术和设备有了很大的发展。光笔、操纵杆、轨迹球、键盘、鼠标、数字化仪等定位、拾取装置成为交互式计算机图形必不可少的输入设备，显示器和打印机等成为计算机图形的输出必要设备。,CAAD发展迅猛, 工程图绘制已取消了图板。,计算机具有复杂三维空间和形体的造型和表达能力。,美国建筑师盖里设计的西班牙比尔巴鄂的古根汉姆

45、美术馆,计算机图形的发展大致可分为四个阶段： (1)二维图形阶段 CAD早期的图形都是二维的其功能是绘制并显示基本的平面图形，如直线，圆弧,二次曲线等等，并可对二维图形进行图形变换及裁剪等操作。 (2)三维线框图阶段 CAD早期描述三维物体一般用顶点，边界线及面来表达三维物体其数据量小,绘图效率高，但不能进行复杂的形体几何运算。 (3)三维立体造型及一般曲面构造阶段 利用结构立体几何及拓扑信息来构造，描述三维物体，使CAD对三维物体的设计表达更加真实，建构后的三维物体可以通过布尔运算来得到更为复杂的三维实体，并可以通过光线跟踪技术显示成为具有灰度和阴影的二维图形、图像。 计算机对常规曲面的描述

46、，通过直线、曲线沿一定路径的平移或旋转而获得，对复杂曲线曲面的描述常常简化为折线和三角平面而进行。 (4)复杂曲线曲面阶段 将微分几何学运用到计算机中，拓展了对曲线曲面的描述方法目前， NURBS 技术是计算机曲线曲面设计和数据格式的工业标准，在 NURBS 技术中，少量控制点就能对复杂的曲线曲面进行描述，通过对少量控制点的操作就能完成对复杂的曲线曲面的编辑。这样的表面造型能力，在传统图形媒介下是难以想象和完成的。,北京设计院：北京凤凰传媒中心,非线性设计,能够无间隙拼连的单一的正多边形只有三种：正三角形、正方形、正六边形。因为它们的内角是360的整分数：360 /12 = 60 , 360

47、/4 = 90 , 360 /6 = 120 。,胞体几何（Cell Geometry）,六边形在自然界中因为其最接近圆形，是上述三种图形中最符合“经济法则”同样面积，边长最短。,“水立方”（奥运游泳馆）表皮 Skin,尽管每个元泡形状不同，但交点都是三条边相交的“ Y ”形。,镶嵌图形,通过“拉伸”或“压扁”，等腰三角形、长方形、扁六边形，也能以单一个体无间隙镶嵌。,如果进行“斜拉”会产生怎样的结果？（留做作业）,用不同的正多边形来拼铺整个平面，但每一个交叉点周围的正多边形种类和顺序都相同，叫做半正镶嵌图。半正镶嵌图有8种。,4 + 6,3 + 12,4 + 6 + 12,3 + 4 + 6,3 + 6,3 + 6,3 + 4,3 + 4,埃舍尔的镶嵌图形,埃舍尔“迷惑的图画”,埃舍尔“迷惑的图画”,正多面体,只有五种