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1、 函数定义域的求法整理 一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,解此不等式(或组)即得原函数的定义域。例1 求函数的定义域。解:要使函数有意义,则必须满足由解得 或。由解得 或和求交集得且或x5。故所求函数的定义域为。例2 求函数的定义域。解:要使函数有意义,则必须满足由解得由解得由和求公共部分,得故函数的定义域为二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况。(1) 已知的定义域,求的定义域。(2) 其解法是:已知的定义域是a,b求的定义域是
2、解,即为所求的定义域。例3 已知的定义域为2,2,求的定义域。解:令,得,即,因此,从而,故函数的定义域是。(2)已知的定义域,求f(x)的定义域。其解法是:已知的定义域是a,b,求f(x)定义域的方法是:由,求g(x)的值域,即所求f(x)的定义域。例4 已知的定义域为1,2,求f(x)的定义域。解:因为。即函数f(x)的定义域是。三、逆向型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。例5 已知函数的定义域为R求实数m的取值范围。分析:函数的定义域为R,表明,使一切xR都成立,由项的系数是m,所以应分m=0或进行讨论
3、。解:当m=0时,函数的定义域为R;当时,是二次不等式,其对一切实数x都成立的充要条件是综上可知。评注:不少学生容易忽略m=0的情况,希望通过此例解决问题。例6 已知函数的定义域是R,求实数k的取值范围。解:要使函数有意义,则必须0恒成立,因为的定义域为R,即无实数当k0时,恒成立,解得;当k=0时,方程左边=30恒成立。求函数的定义域。解:设矩形一边为x,则另一边长为于是可得矩形面积。由问题的实际意义,知函数的定义域应满足。故所求函数的解析式为,定义域为(0,)。例8 用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架,如图,若矩形底边长为2x,求此框架围成的面积y与x的函数关系式,并求定义域。解
4、:由题意知,此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积,如图。因为CD=AB=2x,所以,所以,故根据实际问题的意义知故函数的解析式为,定义域(0,)。五、参数型对于含参数的函数,求定义域时,必须对分母分类讨论。例9 已知的定义域为0,1,求函数的定义域。解:因为的定义域为0,1,即。故函数的定义域为下列不等式组的解集:,即即两个区间a,1a与a,1+a的交集,比较两个区间左、右端点,知(1)当时,F(x)的定义域为;(2)当时,F(x)的定义域为;(3)当或时,上述两区间的交集为空集,此时F(x)不能构成函数。六、隐含型有些问题从表面上看并不求定义域,但是不注意定义域,往往导致错解,事实上定义域隐含在问题中,例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此,求函数的单调区间,必须先求定义域。例10 求函数的单调区间。解:由,即,解得。即函数y的定义域为(1,3)。函数是由函数复合而成的。,对称轴x
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