高中数学正余弦定理

1、正弦定理和余弦定理一：基础知识理解1正弦定理分类内容定理2R(R是ABC外接圆的半径)变形公式a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C，sin Asin Bsin Cabc，sin A，sin B，sin C解决的问题已知两角和任一边，求其他两边和另一角，已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角2余弦定理分类内容定理在ABC中，有a2b2c22bccos_A；b2a2c22accos_B；c2a2b22abcos_C变形公式cos A；cos B；cos C解决的问题已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角3三角形中常用的面积公式(1)Sah(h表示边a上的高)

2、；(2)Sbcsin Aacsin Babsin C；(3)Sr(abc)(r为三角形的内切圆半径)二：基础知识应用演练1(2012广东高考)在ABC中，若A60，B45，BC3，则AC()A4B2C. D.2在ABC中，a，b1，c2，则A等于()A30 B45C60 D753(教材习题改编)在ABC中，若a18，b24，A45，则此三角形有()A无解 B两解C一解 D解的个数不确定4(2012陕西高考)在ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a2，B，c2，则b_.5ABC中，B120，AC7，AB5，则ABC的面积为_解析：1选B由正弦定理得：，即，所以AC2.2选Ccos

3、 A，又0A180，A60.3 选B，sin Bsin Asin 45，sin B.又aBabsin Asin B.(2)在ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aab解的个数一解两解一解一解三、典型题型精讲 （1）利用正弦、余弦定理解三角形例1(2012浙江高考)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin Aacos B.(1)求角B的大小； (2)若b3，sin C2sin A，求a，c的值解析：(1)由bsin Aacos B及正弦定理 ，得sin Bcos B，所以tan B，所以B.(2)由sin C2si

4、n A及，得c2a.由b3及余弦定理b2a2c22accos B，得9a2c2ac. 所以a，c2.思考一下：在本例(2)的条件下，试求角A的大小方法小结：1应熟练掌握正、余弦定理及其变形解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷2已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断试题变式演练1ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin Bbcos2Aa.(1)求；(2)若c2b2a2，求B. 解：(1)由正弦定理得，sin2Asin B

5、sin Bcos2A sin A，即sin B(sin2Acos2A)sin A.故sin B sin A，所以 .(2)由余弦定理和c2b2a2，得cos B.由(1)知b22a2，故c2(2)a2.可得cos2B，又cos B0，故cos B，所以B45.（2）利用正弦、余弦定理判定三角形的形状例2在ABC中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求A的大小；(2)若sin Bsin C1，试判断ABC的形状解析(1)由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理得a2b2c22bccos

6、A，故cos A，0A180，A120.(2)由(1)得sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C 又sin Bsin C1，解得sin Bsin C.0B60，0C60，故BC， ABC是等腰的钝角三角形方法小结：依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论注意在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因

7、式，应移项提取公因式，以免漏解 试题变式演练 (2012安徽名校模拟)已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m(4，1)，n，且mn.(1)求角A的大小；(2)若bc2a2，试判断ABC的形状解：(1)m(4，1)，n，mn4cos2cos 2A4(2cos2A1)2cos2A2cos A3.又mn，2cos2A2cos A3，解得cos A.0A，A.(2)在ABC中，a2b2c22bccos A，且a，()2b2c22bcb2c2bc.又bc2， b2c，代入式整理得c22c30，解得c，b ，于是abc ，即ABC为等边三角形（3）与三角形面积有关的问题 例3(20

8、12新课标全国卷)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，acos Casin Cbc0.(1)求A；(2)若a2，ABC的面积为，求b，c.解(1)由acos Casin Cbc0及正弦定理得sin Acos Csin Asin Csin Bsin C0.因为BAC， 所以sin Asin Ccos Asin Csin C0.由于sin C0，所以sin. 又0A，故A.(2)ABC的面积Sbcsin A，故bc4.而a2b2c22bccos A，故b2c28. 解得bc2.方法小结：1正弦定理和余弦定理并不是孤立的解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用2在解决三角形问

9、题中，面积公式Sabsin Cbcsin Aacsin B最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理结合应用试题变式演练 (2012江西重点中学联考)在ABC中，cos 2Acos2Acos A.(1)求角A的大小；(2)若a3，sin B2sin C，求SABC.解：(1)由已知得(2cos2A1)cos2Acos A，则cos A.因为0A，所以A.(2)由，可得2， 即b2c.所以cos A， 解得c，b2，所以SABCbcsin A2.课后强化与提高练习（基础篇-必会题）1在ABC中，a、b分别是角A、B所对的边，条件“acos B”成立的()A充分不必要条件B必要不充分

10、条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2(2012泉州模拟)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边若A，b1，ABC的面积为，则a的值为()A1 B2C. D.3(2013“江南十校”联考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2，c2，1，则C()A30 B45C45或135 D604(2012陕西高考)在ABC中 ，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2b22c2，则cos C的最小值为()A. B.C. D5(2012上海高考)在ABC中，若sin2 Asin2Bc，b，求的值12(2012山东高考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

11、已知sin B(tan Atan C)tan Atan C.(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)若a1，c2，求ABC的面积S.课后强化与提高练习（提高篇-选做题）1(2012湖北高考)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若三边的长为连续的三个正整数，且ABC，3b20acos A，则sin Asin Bsin C为()A432 B567C543 D6542(2012长春调研)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4sin2cos 2C，且ab5，c，则ABC的面积为_3在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2bc)cos Aacos C0.(

12、1)求角A的大小；(2)若a，SABC，试判断ABC的形状，并说明理由选做题1已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边若a1，b，AC2B，则sin C_.2在ABC中，a2bcos C，则这个三角形一定是()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形3在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos 2C.(1)求sin C的值；(2)当a2,2sin Asin C时，求b及c的长4设ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cos B，b2.(1)当A30时，求a的值；(2)当ABC的面积为3时，求ac的值课后强化与提高练习（基础篇-必

13、会题）解析1解析：选CabAcos B.2解析：选D由已知得bcsin A1csin，解得c2，则由余弦定理可得a241221cos3a.3解析：选B由1和正弦定理得cos Asin Bsin Acos B2sin Ccos A，即sin C2sin Ccos A，所以cos A，则A60.由正弦定理得，则sin C，又ca，则C60，故C45.4解析：选C由余弦定理得a2b2c22abcos C，又c2(a2b2)，得2abcos C(a2b2)，即cos C.6解析：选C由正弦定理得a2b2c2，所以cos Cc，故a3，c2.于是cos A，所以|cos Acbcos A21.12解：(

14、1)证明：在ABC中，由于sin B(tan Atan C)tan Atan C，所以sin B，因此sin B(sin Acos Ccos Asin C)sin Asin C，所以sin Bsin(AC)sin Asin C.又ABC，所以sin(AC)sin B，因此sin2Bsin Asin C.由正弦定理得b2ac，即a，b，c成等比数列(2)因为a1，c2，所以b，由余弦定理得cos B，因为0Bbc，且为连续正整数，设cn，bn1，an2(n1，且nN*)，则由余弦定理可得3(n1)20(n2)，化简得7n213n600，nN*，解得n4，由正弦定理可得sin Asin Bsin

15、Cabc654.2解析：因为4sin2cos 2C，所以21cos(AB)2cos2C1，22cos C2cos2C1，cos2Ccos C0，解得cos C.根据余弦定理有cos C，aba2b27,3aba2b22ab7(ab)2725718，ab6，所以ABC的面积SABCabsin C6.答案：3解：(1)法一：由(2bc)cos Aacos C0及正弦定理，得(2sin Bsin C)cos Asin Acos C0，2sin Bcos Asin(AC)0，sin B(2cos A1)0. 0B，sin B0，cos A.0A，A.法二：由(2bc)cos Aacos C0，及余弦定

16、理，得(2bc)a0，整理，得b2c2a2bc，cos A，0A，A.(2)SABCbcsin A，即bcsin，bc3，a2b2c22bccos A，a，A，b2c26，由得bc，ABC为等边三角形选择题解析1解析：在ABC中，AC2B，B60.又sin A，A30或150(舍)，C90，sin C1.答案：12解析：选A法一：(化边为角)由正弦定理知：sin A2sin Bcos C，又A(BC)，sin Asin(BC)2sin Bcos C.sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C，sin Bcos Ccos Bsin C0，sin(BC)0.又B、C为三角形内角，BC.法二：(化角为边)由余弦定理知cos C，a2b，a2a2b2c2，b2c2，bc.3解：(1)因为cos 2C12sin2C，且0C，所以sin C.(2)