江西省南昌市江西科技师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试卷

江科附中2023-2024学年第二学期高一年级第二次月考数学试卷卷面分数：150分考试时间：120分钟命题人：黄越审题人：陈声其一、单选题（每小题5分，共40分）1．若复数z满足，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．下列说法不正确的是（

）A．正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形B．棱台的各侧棱延长线必交于一点C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形3．已知向量，满足，，且与的夹角为，则（

）A． B． C．1 D．134．已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．5．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示，，则原平面图形的面积为（

）A．B． C． D．6．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则（

）A． B． C． D．7．在直三棱柱中，，，E是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值是（

）A． B． C． D．8．已知锐角中，内角、、的对边分别为、、，，若存在最大值，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题（每小题6分，共18分，每小题有多项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9．复数满足，且，则（

）A． B．C． D．10．已知锐角的三个内角，，的对边分别是，，，且的面积为.则下列说法正确的是（

）A．B．A的取值范围为C．若，则的外接圆的半径为2D．若，则的面积的取值范围为11.已知点P为直四棱柱ABCD－A1B1C1D1表面上一动点，四边形ABCD为正方形，，E为AB的中点，F为DD1的中点，则下列说法正确的是（

）A．过A1，C1，E三点的平面截该四棱柱所得截面的面积为B．过C1，E，F三点的平面截该四棱柱所得的截面为五边形C．若平面A1C1E，则点P的轨迹长度为D．若动点P到棱BB1的距离为，则点P的轨迹长度为三、填空题（每小题5分，共15分）12．若复数满足，则的虚部为.13．某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为nmile;在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为nmile.货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离是nmile.14．如图所示，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，是侧面内一点，若平面AEF.则线段长度的最大值与最小值之和为_________.四、解答题（本题共5小题，共77分）15.已知，，分别为的三个内角A，B，的对边，且.(1)求角A；(2)若，的面积.如图，中，，D是AC的中点，，AB与DE交于点M．(1)用表示﹔(2)设，求的值.17．如图，四棱锥的底面为平行四边形，，分别为棱，上的点，且，.(1)求证：平面；(2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在求出的值；若不存在，说明理由为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养走地鸡，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏．已知，，，．(1)若鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，求；(2)当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？19．任意一个复数z的代数形式都可写成复数三角形式，即，其中i为虚数单位，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：，，则：.如果令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题.(1)试将写成三角形式；(2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：；；(3)计算：的值.参考答案：1．A【详解】由可得，故在复平面内对应的点为,故对应的点为第一象限，2．C【详解】对于A，正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形，故A正确；对于B，根据棱台的定义可得：棱台的各侧棱延长线必交于一点，故B正确；对于C，用一个平行棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台，故C错误；对于D，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故D正确；3．B【详解】根据题意，，则.4．A【详解】如图：三角形中，，则有两解的充要条件为：即，5．A【详解】如图，在直观图中过点，作交于点，因为，所以，，即将直观图还原为平面图如下：则，，，所以.故选：A6．D【详解】由及正弦定理得，即，由及余弦定理可得，∴，∴，∴.又，∴.故选：D.7．B【详解】如图，取中点，中点，连接在直三棱柱中，，所以平面，有平面，所以，则因为分别为中点，所以又可得，则四边形为平行四边形所以，则为异面直线与所成的角或其补角由平面，平面，可得，所以，在中，，，由余弦定理得，所以，所以在中，由余弦定理得所以异面直线与所成的角的余弦值.8．C【详解】由余弦定理可得，则，由正弦定理可得，因为为锐角三角形，则，，所以，，又因为函数在内单调递增，所以，，可得，由于为锐角三角形，则，即，解得，，因为，则，因为存在最大值，则，解得.9．ABD【详解】由，可得，则，解得，所以，故选项A，D正确.当时，，当时，，故选项B正确，选项C错误.10．ABD【详解】对A：由题意可得，由余弦定理可得，即有，即，由，故，即，故A正确；对B：则，，解得，故B正确；对C：由正弦定理可得，即，故C错误；对D：若，则，由正弦定理可得，即，即，由，则，故，故D正确.11．ABD【详解】选项A：如图1，取BC的中点G，连接C1G，EG，A1C1，A1E，则过A1，C1，E三点的平面截该四棱柱所得的截面为等腰梯形A1C1GE，理由如下：连接，因为，分别是和的中点，所以，又在平行四边形中，，所以，则，，，四点共面，因为，所以，，，则等腰梯形A1C1GE的高，所以等腰梯形A1C1GE的面积，所以A正确；选项B：如图2，连接C1F并延长，交CD的延长线于H，连接EH交AD于I，连接IF，取BB1靠近B的四等分点Q，连接EQ，QC1，则五边形EQC1FI即过C1，E，F三点的平面截该四棱柱所得的截面，理由如下：作的中点，连接和，作的中点，连接和，则有，，所以四边形是平行四边形，即，又有，，，，所以，，所以四边形是平行四边形，即，则，所以，，，四点共面，由题可知平面平面，平面平面，平面平面，所以，又因为Q是BB1靠近B的四等分点，是的中点，所以，则，所以，，，，五点共面，所以B正确；选项C：如图3，分别取AD，CD，BC的中点M，N，G，连接D1M，D1N，MN，EG，C1G，因为，平面，平面，所以平面，因为，平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面平面A1C1GE，则点P的轨迹为，所以点P的轨迹长度为，故C错误；选项D：如图4，若动点P到棱BB1的距离为，则点P的轨迹长度为两个以为半径的圆的周长的再加上两个侧棱BB1的长度，即，所以D正确．故选：ABD.12．1【详解】由，得，故的虚部为1，13．【详解】在中，，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，，所以.【详解】如下图所示：分别取棱、的中点、，连接，连接，、、、为所在棱的中点，，，，又平面，平面，平面；，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面，又，平面平面，是侧面内一点，且平面，则必在线段上，在中，，同理，在中，求得，为等腰三角形，当在中点时，此时最短，位于、处时最长，，，所以线段长度的是大值与最小值之和为，．15．(1)(2)【详解】（1）由余弦定理，所以，又，所以.（2）因为，所以，因为，由已知得，故，故，所以.16．(1)；(2).【详解】（1）依题意，.（2）依题意，，而三点共线，则，∴.【详解】（1）在上取点，使得，连接，在中，点、分别为、上的三等分点，则有又面、面由线面平行的判定定理：面又且，∴四边形为平行四边形则有，又面、面，∴面由于面、面，，∴面面又面，∴面（2）假设在棱上存在点，使得面连接，交于∵面，面，面面由线面平行的性质定理：则在中，，易知，∴，∴点为棱的中点.18．(1)(2)时，的面积取最小值为【详解】（1）∵，，，∴，∴，∴，∴，在中，由余弦定理可得：，则，∴，∴，∵，∴，∴，∴护栏的长度（的周长）为；（2）设（），因为鱼塘的面积是“民宿”的面积的