西南交《线性代数》离线作业-2014春季学期

1、西南交线性代数离线作业1一、单项选择题(只有一个选项正确，共8道小题)1. 下列矩阵中， B 不是初等矩阵。(A)(B)(C)(D)2. 则 D 。(A)(B)(C)(D)3. A、B为n阶方阵,且A、B等价,| A |=0，则R(B) A 。 (A)小于n(B)等于n(C)小于等于n(D)大于等于n4. 若A为5阶方阵且|A|=2，则|2A|= C 。(A)4(B)4(C)64(D)645. 线性方程组 a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 2n x n = b 2, a m1 x 1 + a m2 x 2

2、 + a mn x n = b m 的系数矩阵为 A,增广矩阵为 A ,则它有无穷多个解的充要条件为 。 A (A)R(A)=R( A )n(B)R(A)=R( A )m(C)R(A)R( A )1) 线性相关的充要条件是： C (A)有两个向量的对应坐标成比例(B)含有零向量(C)有一个向量是其余向量的线性组合(D)每一个向量都是其余向量的线性组合7. 设3阶矩阵 A的特征值为 1 , 1 , 2 ，则下列矩阵中可逆矩阵是： D (A)EA(B)E+A(C)2EA(D)2E+A8. 设 1 , 2 , 3 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则下列向量组中也可作为 Ax=0 的基础解系的是：

3、 C (A) 1 + 2 , 2 + 3 , 1 +2 2 + 3 (B) 1 + 2 , 2 + 3 , 3 1 (C) 1 + 2 , 2 + 3 , 3 + 1 (D) 1 2 ,0, 2 3 三、判断题(判断正误，共6道小题)9.如果行列式有两行元素完全相同，则行列式为零。 正确10.A,B 是同阶方阵，且 | AB |0 ，则 ( AB ) 1 = B 1 A 1。 正确11.A 是 n阶方阵， R ，则有 | A |=| | A | 。 错误12.设 A是一个 n阶方阵且方程组 Ax=0 有非零解，则 |A|=0 。 错误13.设 A是 n阶方阵( n2 ), R ,则 | A |

4、=| A | 。 错误14.若向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性相关，则 1 , 2 , 3 也线性相关。错误四、主观题(共13道小题)15.| 0 1 2 n1 n 0 | 。16.行列式 | 1 2 3 12, 4 1 2 5 | = 4 。17.则t= 3 18.|AB|= 0 19. -3 20.k= 3 21. 3 22.23.答：题目等价为讨论线性无关的条件。因为是Ax=0的一个基础解系，则齐次方程组只有零解，故系数行列式不为零。所以，时，是Ax=0的一个基础解系24.设A是反对称矩阵,E+A是可逆矩阵。 是正交矩阵。证明：因为AT=-A,故(E-A)(E+A)-1T(E-A

5、)(E+A)-1=(E+AT)-1（E-A）T（E-A)(E+A)-1=(E-A)-1（E+A）（E-A)(E+A)-1（E+A）与（E-A)可交 =(E-A)-1（E+A） (E+A)-1（E-A)=E所以，(EA) (E+A) 1是正交矩阵。25.已知3阶方阵A可逆且求A的伴随矩阵的逆矩阵.解：26.解：此题即为线性方程组的可解性问题，增广矩阵为：所以，时有唯一的线性表示，a=-1且b=1时有多种线性表示当时，解方程得唯一的线性表示为：a=-1且b=1时，线性表示为：或线性表示的系数满足27.解：对矩阵所以向量组的秩为2，是其一个最大线性无关西南交线性代数离线作业2一、单项选择题(只有一个

6、选项正确，共8道小题)1. 设向量组 1，2，3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 ( B)。(A) 1 2 ， 2 3 ， 3 1(B) 1 ， 2 ， 3 + 1(C) 1 ， 2 ，2 1 3 2(D) 2 ， 3 ，2 2 + 32. C (A)必有一列元素全为0；(B)必有两列元素对应成比例；(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合；(D)任一列向量是其余列向量的线性组合。3. 矩阵 ( 0 1 1 1 2 ,0 1 1 1 0 ,0 1 3 1 4 ,1 1 0 1 1 ) 的秩为( C)。(A)1 (B)2 (C)3(D)44. 若矩阵 ( 1 a 1 2, 1 1 a 2

7、,1 0 1 2 ) 的秩为2,则 a的值为 B 。(A)0(B)0或-1(C)-1(D)-1或15. 二次型 f( x 1 , x 2 , x 3 )=2 x 1 2 +5 x 2 2 +5 x 3 2 +4 x 1 x 2 8 x 2 x 3 ，则 f的矩阵为 C 。(A)( 2 4 0 0 5 8 0 0 5 )(B)( 2 4 0 0 5 4 0 4 5 )(C)( 2 2 0 2 5 4 0 4 5 )(D)( 2 4 0 4 5 4 0 4 5 )6. 设 A、 B为 n阶方阵，且 A与 B等价， | A |=0 ，则 r(B) A (A)小于n(B)等于n(C)小于等于n(D)大

8、于等于n7. 若矩阵 1 2 2 3 ,1 1 3 ,1 0 2 3 的秩为2,则 的取值为 C (A)0(B)-1(C)2(D)-38. 设 1 , 2 , 3 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则下列向量组中也可作为 Ax=0 的基础解系的是 B (A)2(B)-2(C)1(D)-1三、判断题(判断正误，共6道小题)9.设 A,B 是同阶方阵，则 AB=BA 。 错误10.若 A是方阵，则 | A |=| A T | 。 正确11.如果矩阵A与B等价，则A的行向量组与B的行向量组等价。 错误12.非齐次线性方程组 Ax=b 一定有解。 错误13.若 A、 B是 n阶非零方阵，且 AB=0

9、 ，则 | A |0 或者 | B |0 。 错误14.设 =0 是 n阶方阵 A的特征值，则方程组 Ax=0 有非零解。 正确四、主观题(共12道小题)15.设 1 =( 6 2 0 4 ) , 2 =( 3 1 5 7 ) ，则 3 1 2 2 =（24,-8,-10,-2）16.设 =( 1 1 0 ) , A=( 2 0 1 0 4 2 1 1 0 ) , B=( 1 0 0 3 2 2 ) ,则 AB=(0,1,4)17.18.是线性_相关_的，它的一个极大线性无关组。19. n 时，此方程组只有零解。20.是分块对角矩阵，其中|A|=(2n+1)!21.|AB|=-822.a1/2

10、23. 为标准形。解: 二次型的矩阵 所以 A 的特征值为 1,2,5.故 X=PY 是正交变换, 满足f = y12+2y22+5y32.24.解：25.26.用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换及f的标准型。问：这个二次型是否是正定的？为什么？解：二次型的矩阵为:，矩阵A的特征值为特征向量：单位化得正交变换x=Py，二次型的标准形为因为矩阵A的特征值均为正数，所以此二次型是正定的西南交线性代数离线作业3一、单项选择题(只有一个选项正确，共8道小题)1. 设 A为 n阶方阵，且A2+A5E=0,则(A+2E)1=(C )。(A)AE(B)A+E(C)1 3 ( AE )(D)1

11、3 ( A+E )2. 若 n维向量 1 ， 2 ， , n 线性相关， 为任一 n维向量，则 (A )。(A) 1 , 2 , n ,线性相关；(B) 1 , 2 , n ,线性无关；(C)一定能由 1 , 2 , n 线性表示；(D) 1 , 2 , n ,的相关性无法确定。3. 设线性方程组 3 x 1 + x 2 =1, 3 x 1 +3 x 2 +3 x 3 =0 ,5 x 1 3 x 2 2 x 3 =1 则此方程组 （A）。(A)有唯一解(B)有无穷多解(C)无解(D)有基础解系4. 设n维向量组1,2,s,若任一 维向量都可由这个向量组线性表出,必须有 D 。(A)s= n(B

12、)s n(D)s n5. 设 1 , 2 , 3 , 都是4维列向量，且4阶行列式 | 1 , 2 , 3 , |=a ， | , 1 , 2 , 3 |=b ，则4阶行列式 | 1 , 2 , 3 ,+ |= C (A)a+b(B)ab(C)ab(D)ba6. 设 B,C 为4阶矩阵， A=BC , R(B)=4 , R(C)=2 ，且 1 , 2 , 3 是线性方程组 Ax=0 的解，则它们是B (A)基础解系(B)线性相关的(C)线性无关的(D)A,B,C都不对7. 设 n维列向量 = ( 1 2 ,0,0, 1 2 ) T ，矩阵 A=I T ， B=I+2 T ，则 AB= C (A)0(B)I(C)I(D)I+ T8. 设矩阵 A mn 的秩 r(A)=m| B | 时， A,B 一定不相似。 正确13.若 A是m*n阶矩阵且线性方程组Ax=b有惟一解，则m-=n。 正确四、主观题(共12道小题)14.设 A是 mn 矩阵, B是 pm 矩阵，则 A T B T 是 阶矩阵。15.由m个n维向量组成的向量组，当m n时，向量组一定线性相关。16. a=617. _。18.时方程组有唯一解。19.|A|=