§5-7晶体中电子能态密度

1、精品 料推荐 5-7 晶体中电子的能态密度5 7 1 底附近的能 密度在本章第一 中，我 已 得到自由 子的 密度n （ e），n (e) 4 v 2m321e 2 h2（5-7-1 ）而且 n(e)e 的关系曲 已由 5-7-1 出。晶体中 子受到周期性 的作用，其能量e(k)与波矢的关系不再是抛物 性 ，因此式（ 5-7-1）不再适用于晶体中 子。下面以 束 理 的 立方 构晶格的s 子状 例， 分析晶体中 子 密度的知 。图 5-7-1自由电子能态密度e k由前面的 束 理 ，我 已 得到 立方 构晶格的s 能 的 e(k)形式 ：sj02j1 coskxacosk yacoskza （

2、5-7-2 ）其中能量极小植在点 k=(0, 0, 0) ，其能量 e ksj06j1 ，所以在 点附近的能量，可以通 将 e( k ) 展开 在 k=0 的泰勒 数而得到，以cos x1x2 2l ，取前两 代入，可以得到：e ksj02j1 31 a2 kx2 k 2y kz2es ( )j1a2 kx2ky2kz2 （5-7-3 ）2在第五 ，我 已 根据有效 量的定 ，算得 立方晶格s 带 点 的有效 量 一个 量，m*h20 （ 5-7-4 ）2a2 j1代入后，可得到e kes( )h2k 25-7-5 ）* （2m式（ 5-7-5）表明：在能 底k=0 附近，等能面是球面，如果以

3、e(k )es( ) 及 m* 分 代替自由 子的能量 e 及 量 m，就可得到晶体中 子在能 底附近的能 密度函数：2m*315-7-6 ）n (e) 4 v (2) 2 e( k)es( ) 2 （h5 7 2 附近的能 密度能 在 k(a,a,a) 的 r 点 ，容易知道，其能量 e ksj06j1 。以 r 点附近的1精品 料推荐波矢 k(kx ,ky ,akz ) 代入 e(k)表达式中，就得到在能量极大 附近的能量表达式：aae ksj02j1cos(kx a)cos(ky a) cos(kza) （ 5-7-7 ）再利用 (cos()cos cossinsin，就可得到：e(k

4、)sj02j1 (cos kxacoskyacos kza) （5-7-8 ）将式中余弦函数展开 cos x 1x2 2 l后，上式 成：e(k )sj02j131 a2 ( kx2k y2kz2 )2es ( r)h2* 22kz25-7-9 ）kxky （2m或写成es( r)e( k)h22ky225-7-10 ）* kxkz （2m式中 m*h2， ki是波矢 k 与能 r 的波矢之差。所以，若以r 点 原点建立坐 系kx , ky ,kz ，2a2 j1则 ki 的意 就与 ki的意 是一 的。因此，式（5-7-10 ）表示能量极大 附近的等能面是一些以r 点 球心的球面。 ，我 就

5、得到能 极大 附近的 密度函数：n (e)2m*312 （5-7-11 ）4 v (h2 )2 es( r) e( k ) 然，式（ 5-7-10 ）和式（ 5-7-11）是从一个特例出 得到的，但却具有普遍意 。也就是 ，当能 极 的有效 量是各向同性的，等能面是球面 ，式（5-7-10 ）和（ 5-7-11 ）均适用。5 7 3非极 点 能 密度当能量 离极 点 ，晶体 子的等能面不再是球面。 c5-7-2 出在 kz 0 截面上的 立方晶格 子等能面示意 。从 看出，从原点（ 点，是能 底）向外，等能面基本上保持 球面的原因在于周期性 的作用，使晶体 子能量下降， 得到a与自由 子相同的

6、能量e，晶体 子的波矢 k 就必然要大。当能量超 界上的 a 点的能量 ea ，等能面将不再是完整的 合面。在 角 c 点（能量极大 ）附近，等能面是被分割在 角图 5-7-2附近的球面，到达 c 点 ，等能面 成几个 角点。紧束缚近似等能面在能量接近ea ，等能面向外突出，所以， 些等能面之2精品 料推荐间的体积显然比球面之间的体积大，因而所包含的状态代表点也较多，使晶体电子的态密度在接近ea 时比自由电e自由电子子的显著增大（见 图 5-7-3）。当能量超过ea 时，由于等近自由电子ec能面开始残破， 它们之间的体积愈来愈小，最后下降为零。ea因此，能量在 ea 到 ec 之间的态密度将随

7、能量增加而逐渐减小，最后下降为零，如 图 5-7-3所示。如果考虑两个没有交叠的能带的态密度，下面一个带的态密度曲线亦如 图 5-7-3 所示，在能带顶处态密度为零。图 5-7-3自由电子与晶体中电子态密度在禁带内亦一直保持为零（因禁带内无电子的量子态存在），当能量到达上面能带的带底时，态密度才又随能量的增加而增加，如 图 5-7-4 （ a）所示。如果所考虑的能带有交叠，则两能带态密度也会发生交叠，态密度函数如图5-7-4（ b）所示。可见，交叠能带与不交叠能带的态密度函数是很不相同的，这一点，可以从软x 射线发射谱中得到证明。当晶体受到能量约为102 103 电子伏特的电子撞击时， 低能带

8、中的一些电子被激发，因而在能带中留下空能级。由于低能带是很窄的，可近似看作是分立能级。当高能带中的电子落入低能带中的空能级上时，就发射出 x 射线。因这种 x 射线的波长较长 (约100?) ，所以，称之为软x 射线软 x 射线发射谱的强度i(e) 与能量等于 e 处的态密度n(e) 成正比，亦与能量为 e 的电子向空能级（ a）(b)跃迁的几率w(e)( 或称发射几率 )成正比，即i(e) w(e)n(e)上式中的 w(e) 是一个随 e 连续缓变的函数，所以，可以认为， i(e) 主要由 e（ e)图 5-7-4 （ a）不交叠能带（b）交叠能带随 e 的变化来决定。也就是说，软x 射线发射谱的形状直接反映出晶体电子态密度的特征。图 5-7-5 是几种典型的金属与非金属的x 射线发射谱 由图看出， 各晶体的发射谱在低能方面都是随能量增加而逐渐上升的，说明从能带底起，随着电子能量的增加，态密度逐渐增大；在高能端， 金属的 x 射线发射谱是突然下降的，所对应的能量大致与费米能相同；非金属的发射增则随能量增加而逐渐下降为零这正好反映了金属与非金届的电子填充能带的状况。金属中的电子没有填满能带，电子填充的最高能级的能量约为ef ，态密度n ( e)0 ，所以，发射谱就突然下降