高二数学排列、组合的混合应用题 人教版

1、江苏省苏州中学、常州中学精品备课高二数学排列、组合的混合应用题 【教学内容】 1、组合、组合数公式； 2、组合数的两个性质； 3、排列组合的混合应用题。【教学目标】 使学生能够正确地理解组合的概念，理解并掌握组合数的两个公式，同时能运用公式计算和证明一些组合问题和组合恒等式；能够正确的理解组合数的两个重要性质，并能比较熟练地运用这两个性质来证明一些恒等式；能够比较熟练地区分排列与组合，并能熟练地解决一些常见的排列组合混合应用题。【知识讲解】 1、组合、组合数的概念从n个不同元素中任取m个元素（mn）把它并成一组叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，这与排列有一定的区别，排列是将m个元素取

2、出后按一定的顺序排成一列称之为一个排列，也就是说，元素相同，组合只有一个，而排列的顺序不同，就是不同的排列。只有当元素相同，而且排列的顺序也相同时，才是相同的排列。而组合只要元素相同，不管排的顺序如何，都是同一个组合，只有两个组合中的元素不全相同时，才是不同的组合。从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。记作。 ，所以 2、组合数的两个性质：（1）它的实际意义是：从n个不同的元素中取出m个元素的组合数，与从n个不同元素中取出nm个元素的组合数是一样多的，因而在计算时，当时，通常把它变形为后计算，就比较简便。（2）它的实际意义是：从n+1个不

3、同元素a1，a2，a3，an+1中取出m+1个元素的组合数，可理解为两类组合数的和。一类是含某一特定元素a1的，就从剩下的n个元素中取出m个元素的组合数；另一类是不含某一特定元素a1的，就从剩下的n个元素中取出m+1个元素的组合数。利用这个性质可以把符合条件的两个组合并成一个组合；也可以逆过来使用，把一个组合写成两个组合的和或差，即： 或 或 为了正确、灵活使用这些公式，必须注意它们的结构特点。3、解排列、组合的应用题，像解其它数学题一样，首先要认真审题，分析如下三个问题：（1）问题中的n个元素指的是什么？（2）这里的m个元素又是指什么？（3）从n个不同元素中取出m（mn）个元素后每种情况对应

4、着什么事？通过上述三个问题的分析，根据“有序”和“无序”判断这题属于排列问题还是组合问题，然后求出排列个数或组合个数。例1. 计算：（1）； （2） 解：（1）原式 （2）说明：在计算时，要充分利用组合的两个性质，以及阶乘的公式，同时不要一见到组合数和排列数就求出它们的值，而要注意观察，尽可能在计算过程中提取公因数，以减少计算量，减少错误。例2. （1）已知，求m和n的值； （2）已知，求x的值。解：（1） m=2 由得n(n1)=342 即n2n342=0 n=19 （2）由得： x+2=2x或x+2+2x=17 x=2或x=5例3. 解不等式：解： x+13 x2 x1 x 又xZ， x=

5、2，3，4，5。例4. 平面上有10个点，其中没有三点共线，以这10个点中的三个点作为三角形的顶点，一共可以得到多少个三角形？分析：因为这10个点中无三点共线，所以其中任意三个点作为顶点，都可以得到并且只能得到一个三角形，又由于对一个三角形来说，顶点之间无顺序关系，所以是组合问题。因此问题归结为求从10个不同的元素中任取3个元素的组合数，即。解：（个）。答：一共可以得到120个三角形。说明：为了搞清楚排列问题与组合问题的关系，我们把一些内容类似而一个用排列，一个用组合解的问题放在一起，以便分析对比，从而提高识别能力。（1）某小组12个人每两人 （1）某小组12个人每两个人互通了一封信，共通了多

6、少封信？ 互通了一次电话，共通了多少次电话？（2）从某小组10个人中选 （2）从某小组10个人中选2名1名正组长和一名副组长，共有 代表参加年级的学生代表会，共有多多少种不同的选法？ 少种不同的选法？（3）有2，3，5，7，11，13， （3）有2，3，5，11，13，17，1917，19八个质数，从中任取两个数 八个质数，从中任取两个数求它们的求它们的商，可以得到多少个不同 积，可以得到多少个不同的积？的商？（4）有8盆花，从中选出2盆 （4）有8盆花，从中选出2盆放分别给甲、乙两人每人一盆，有多 在教室，有多少种不同的选法？少种不同的选法？例5. 有6个工人，在如下各种情况下，分别有多少种

7、不同的分法？（1）3人一组，平分到甲、乙两车间去；（2）平均分配到两车间去干车、铣、电3种不同的工种；（3）3人一组分为两组；（4）一个车间分3人，一个车间分2人，一个车间分1人。解：（1）6个工人中分配3人去甲车间，剩下的3个人就是分配到乙车间，因此分配方法一共有： （种）答：共有20种不同的分配方法。（2）先将6个工人平均分配到两个车间，共有种分配方法，每个车间再分配车、铣、电3种不同的工种又有种，因而分法共有： （种）答：共有720种不同的分法。（3）3个人一组分成两组后，两组之间不需要交换，这样的分组共有：（种）答：共有10种不同的分法。（4）只需将6个人分成三人、两人、一人即可，所以

8、分法共有：（种）答：共有60种不同的分法。例6. 已知集合M=x|x|5，xZ，a，bM，且ab，若抛物线y=ax2+(4b)x(a0)的顶点在第一象限，求这样的抛物线函数个数。分析：抛物线函数的个数显然由a，b取值的个数来决定，因此必须通过抛物线“顶点在第一象限”和“a，bM”两个限制条件，求a，b各自的取值范围，最后把题目归结到解选取问题。解法一：a0 由于抛物线的顶点在第一象限，所以 解之得：a0，b4由于M=0，1，2，3，4，5，故 a1，2，3，4，5 b5，4，3，2，1，0，1，2，3选取a，b时，由于ab，所以将a可取的值分为两类，第一类是1，2，3，第二类是4，5，当a在第

9、一类分别取1，2，3时，b只能取不等于a的其余8个数，因此有种取法；当a在第二类分别取4，5时，b可取9个数，因此有种取法，根据加法原理，共有种取法。解法二：由解法一可得：a1，2，3，4，5b5，4，3，2，1，0，1，2，3选取a、b时，先不考虑ab的限制条件，则有种取法。当a=b时，有3种情况，即a=b=1，a=b=2，a=b=3，因此满足ab限制条件的取法共有种。答：满足条件的抛物线有42个。例7. 有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其余5人既会划左舷也会划右舷，现在要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛，有多少种不同的选法？分析：设集合A=只会

10、划左舷的3个人，B=只会划右舷的4个人，C=既会划左舷又会划右舷的5个人。先分类，以集合A为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情况：A中有3人；A中有2人；C中有1人；A中有1人，C中有2人；C中有3人。第类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在BC中选3人，即种选法；第类，划左舷的人在A中选2人，有种选法，在C中选1人有种选法，划右舷的在BC中剩下的8个人中选3人，有种选法，因而有种选法；类似地，第类，有种选法；第类有种选法。所以一共有：种选法。解：（种）答：一共有2174种不同的选法。说明：这种比较复杂的若干个集合中选取元素的问题，只要能运用分类思想正确地对所求选法分类，又能正确地根据题目要

11、求合理地考察步骤，就可以顺利地求得解答。在分类时，要注意做到既不重复又不遗漏。【一周一练】 一、选择题1、现将10张不同的电影票，8张不同的戏票，15张不同的球赛票分配给5人，每人只能取不同的票各一张，不同的分配方案有 （ ）A、 B、 C、 D、2、有甲、乙、丙、丁四种不同的种子，分别在三块不同的土地试种，每块土地必须且只能试种一种种子，而甲必须选入，那么不同的试种方案有 （ ）A、 B、 C、 D、3、以一个正方体的顶点为四面体的顶点，这样的四面体的个数是 （ ）A、 B、 C、 D、4、有两条平行线a和b，直线a上有4个点，直线b上有5个点，现在要以这些点为顶点作三角形，这样的三角形一共

12、有 （ ）A、70个 B、80个 C、82个 D、84个5、有A、B、C三项工作，A需要2人承担，B、C各需1人承担，现在要从10名工人中选出4人承担这项工作，则不同的选法种数是 （ ）A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种二、填空题6、计算：。7、若 ，则x= _，y= _。 8、在1，2，3，4，9这9个自然数中，任取两个数相加和是奇数的取法共有 _种。9、8本不同的书，从中取出6本奖给5名数学竞赛的优胜者，其中1人得2本，其余4人各得1本，不同的奖法共有 _种。10、用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的四位数，其中偶数有 _个，能被5整除的有 _个。三、解答题11、有一角，二角，五角和一元的人民币各一张，任取其中的一张或几张，可以得取多少种不同的币值