几何距离最短问题

1、最新资料推荐距离最短问题专题探究1. 如图，四边形 abcd是正方形， abe是等边三角形，adm为对角线 bd（不含 b 点）上任意一点，将bm绕点 b 逆时针旋转 60得到 bn，连接 en、am、cm.ne 求证： amb enb； 当 m点在何处时， amcm的值最小；当 m 点在何处时， ambmcm 的值最小，并说明理由；mbc 当 ambm cm的最小值为31时，求正方形的边长 .ad分析：本题在最短矩离这一问题中，利用了数形结合enm的思想，综合考查学生几何、代数知识的运用能力。整个过程充分显示了学生学习数学新知的一般过程：fbc认知论证应用。本题的难点在距离最小。第一小问设计

2、由简单的三角形全等的证明让学生得出边之间的相等关系，这里隐藏着由旋转角60得出的等边三角形，从而得出 bm=mn；第二小问设计的是一个探究过程，让学生综合学习过的基本数学知识进行探索，看学生对“两点之间，线段最短”的掌握，要求学生具备转化能力，建模能力等；第三小问的设计主要是将所探究的结论进行运用，拓展，体现了数形结合的思想理念。整个过程体现了特殊问题中的一般规律，是数学知识和问题解决方法的一种自然回归。是近几年中考压轴题的基本模型。现在我们将一起探索距离最短这一专题。其实这一类归根结底还是“两点之间，线段最短”的应用。我们要紧紧抓住这一点，以题变解题思维不变来应对这一类题型。数学模型：（）在

3、直线 l 的异侧有 a、 b 两点，在直线 l 求点 p，使 ap+bp最小。（）在直线 l 的同侧有 a、 c 两点，在直线 l 求点 p，使 ap+cp最小。分析：要解决这个问题，找出点a 关于直线 l 的对称点 a ，连结 a b 交直线 l 于点 p，则点 p 就是到 a 、 b 两村庄的距离之和最短的点的位置。理由根据轴对称的性质可知pa pa , 所以 pa pbpapbba 如果另外任选一点p（异于 p），连结p a、 p b、 p a ，则有 p ap a111111在p1 ba 中， p1 ap1 bbapapb pap即 p1 a p1b pa pb因此， papb 为最短

4、1最新资料推荐由此可见，轴对称帮我们找到了符合要求的点的位置。2. （ 1）如图 1，等腰直角三角形 abc的直角边长为 2， e 是斜边 ab的中点， p 是 ac边上的一动点，则 pb+pe的最小值为；0（2）几何拓展：如图2, abc 中， ab=2， bac=30, 若在 ac、 ab 上各取一点m、 n 使bm+mn的值最小，求这个最小值；（3）代数应用：求代数式x 21( 4x) 24 （ 0 x 4）的最小值 .acepcbab图 1图 2（第 24题图）分析：第一步，利用轴对称，很容易找到b 关于直线 ac的对称点 b, 然后连接 bc就可。第二步，利用作点b 关于 ac的对称

5、点 b ，过 b 作 b nab于 n，交 ac于 m.此时 bm+mn的值最小 . 第三步，构造图形如图所示d其中： ab=4，ac=1，db=2， ac=x，caab于 a，dbab于 b.那么 pc+pd= x2(4 x) 2c14所求 x 2x)2apb1(44 的最小值就是求 pc+pd的最小值 .ce3. 如图， ac、bd为正方形 abcd对角线，相交于点 o,点 d为 bc边的中点，连长为 2cm,在 bd上找点 p，使 dp+cp之和最小。adopb分析： 利用轴对称性可知a、c 为对称点，连接 ad交 bd于点2cd最新资料推荐，连接 pc，易知， ap=pc,则 pd+p

6、c=ap+pd=ad.在直角三解形 abd中， ab=2cm,bd=1cm,则 ad= 5 cm.思考与举例：1圆 o内点 p 和圆上哪一点的距离最小，理由是什么。分析：过点 p作直径 ab,则 ap、bp中较短者即为点 p 到圆的最短距离。理由也是由“两点之间，线段最短”得出的“三角形中，两边之和大于第三边”推出的。2.如图，村庄 a 、 b 位于一条小河的两侧，若河岸 a、 b 彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥 cd，问桥址应如何选择，才能使 a 村到 b 村的路程最近？作法：设 a、b 的距离为 r。把点 b 竖直向上平移 r 个单位得到点 b；连接 ab ，交 a 于 c；过 c

7、 作 cdb 于 d；连接 ac、 bd 。证明： bbcd 且 bbcd，四边形 bbcd 是平行四边形， cbbd ac cddb ac cbbb ab bb在 a 上任取一点 c，作 cd，连接 ac 、db，cb同理可得 accd dbac cbbb而 accba bac cd db 最短。本题是研究 ac cddb最短时的 c、d 的取法，而是定值，所以问题集中在研究 ac db最小上。但 ac、db不能衔接，可将 bd平移 b1 c处，则 ac db可转化为 accb，要使accb最短，显然， a、c、b 三点要在同一条直线上。关于中考：1. 如图，已知抛物线 y ax2bxc(a

8、 0) 的对称轴为 x1，且抛物线经过 a（ 1，0）、 b（0， 3）两点，与 x 轴交于另一点 b3最新资料推荐（ 1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（ 2）在抛物线的对称轴 x1 上求一点 m，使点 m到点 a 的距离与到点 c 的距离之和最小，并求出此时点 m的坐标；（ 3）设点 p 为抛物线的对称轴x1 上的一动点，求使 pcb90的点 p 的坐标yx 1aboxc2. 如图，已知点 a(-4 ， 8) 和点 b(2，n) 在抛物线 y2ax 上(1) 求 a 的值及点 b 关于 x 轴对称点 p的坐标，并在 x 轴上找一点 q，使得 aq+qb最短，求出点 q的坐标；(2) 平移抛物线 y ax2 ，记平移后点 a 的对应点为 a，点 b 的对应点为 b，点c(-2 ， 0) 和点d(-4 ，0) 是 x 轴上的两个定点当抛物