人教A版高中数学选择性必修第一册第二章直线和圆的方程-经典例题及配套练习题含答案解析

第二章直线和圆的方程2.1直线的倾斜角与斜率 12.2直线的方程 122.3直线的交点坐标与距离公式 282.4圆的方程 442.5直线与圆、圆与圆的位置关系 562.1直线的倾斜角与斜率2.1.1倾斜角与斜率例1如图2.1-6，已知，，，求直线，，的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．图2.1-6解：直线的斜率；直线的斜率；直线的斜率．由及可知，直线与的倾斜角均为锐角；由可知，直线的倾斜角为钝角．练习1.已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】【分析】（1）利用直线斜率与倾斜角的关系可求得直线的斜率；（2）利用直线斜率与倾斜角的关系可求得直线的斜率；（3）利用直线斜率与倾斜角的关系可求得直线的斜率；（4）利用直线斜率与倾斜角的关系可求得直线的斜率.【小问1详解】解：直线的斜率为.【小问2详解】解：直线的斜率为.【小问3详解】解：直线的斜率为.【小问4详解】解：直线的斜率为.2.已知下列直线的斜率，求直线的倾斜角.（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【分析】根据斜率与倾斜角的关系先计算出倾斜角的正切值，然后根据倾斜角的范围求解出倾斜角.【详解】设倾斜角为，，（1）因为，所以；（2）因为，所以；（3）因为，所以；（4）因为，所以.3.求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.（1），；（2），．【答案】（1），锐角；（2），钝角.【分析】先根据斜率的计算公式求解出直线的斜率，然后根据斜率的正负判断出倾斜角是锐角还是钝角.【详解】设倾斜角为，（1）因为，所以，所以为锐角；（2）因为，所以，所以为钝角.4.已知a，b，c是两两不等的实数，求经过下列两点的直线的倾斜角.（1），（2），（3），．【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）先计算出斜率值，再根据倾斜角的正切值等于斜率求解出倾斜角；（2）根据横坐标相等判断出直线轴，由此分析得到直线的倾斜角；（3）先计算出斜率值，再根据倾斜角的正切值等于斜率求解出倾斜角.【详解】（1）因为，所以，所以，所以直线的倾斜角为；（2）因为的横坐标相等，所以直线轴，所以直线的倾斜角为；（3）因为，所以，所以，所以直线的倾斜角为.5.经过，两点的直线的方向向量为，求k的值．【答案】.【分析】根据直线的方向向量得到的含义，结合斜率的计算公式求解出的值.【详解】因为直线的方向向量为，则为直线的斜率，所以，所以的值为.2.1.2两条直线平行和垂直的判定例2已知，，，，试判断直线与的位置关系，并证明你的结论．解：如图2.1-8，由已知可得直线的斜率；直线的斜率；因为，所以直线．图21-8例3已知四边形四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明．解：如图2.1-9，由已知可得边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率．因为，，所以，．因此四边形是平行四边形．图2.1-9例4已知，，，，试判断直线与的位置关系．解：直线的斜率，直线的斜率为．因为，所以直线．例5已知，，三点，试判断的形状．分析：如图2.1-10，猜想，是直角三角形．解：边所在直线的斜率，边在直线的斜率．由，得，即．所以是直角三角形．图2.1-10练习6.判断下列各对直线平行还是垂直：（1）经过两点A（2，3），B（﹣1，0）的直线l1，与经过点P（1，0）且斜率为1的直线l2；（2）经过两点C（3，1），D（﹣2，0）的直线l3，与经过点M（1，﹣4）且斜率为﹣5的直线l4.【答案】（1）平行（2）垂直【分析】(1)由题意可得直线l1的斜率，根据直线l1，l2的斜率关系，判断它们的位置关系，(2)由题意可得直线l3的斜率，根据直线l3，l4的斜率关系，判断它们的位置关系，【小问1详解】由题意和斜率公式可得l1的斜率k11，l2斜率k2＝1，k1＝k2，又直线l1，l2不重合，所以两直线平行；【小问2详解】由题意和斜率公式可得l1的斜率k1，l2斜率k2＝﹣5，k1•k2＝﹣1，故两直线垂直.7.试确定m的值，使过，两点的直线与过，两点的直线.（1）平行；（2）垂直．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用直线平行斜率相等即可求解.（2）利用直线垂直斜率乘积等于即可求解.【详解】过，两点的直线斜率，当时，直线的斜率不存在，此时直线与直线即不平行也不垂直；当时，过，两点的直线斜率，（1）当两直线平行时，则，解得.（2）当两直线垂直时，则，解得.习题2.1复习巩固8.已知直线斜率的绝对值等于1，求直线的倾斜角．【答案】或.【分析】分别考虑斜率的情况，然后根据斜率等于倾斜角的正切值求解出倾斜角.【详解】设倾斜角为，当时，，；当时，，；所以直线的倾斜角为或.9.已知四边形ABCD的四个顶点是，，，，求四边形ABCD的四条边所在直线的斜率．【答案】，，，.【分析】根据斜率的计算公式分别求解出四条边的斜率即可.【详解】解：，，，.10.m为何值时，（1）经过，两点的直线的斜率是12？（2），两点的直线的倾斜角是？【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据斜率的计算公式列出关于的方程，由此求解出的值；（2）先根据倾斜角计算出斜率，然后根据斜率的计算公式列出关于的方程，由此求解出的值.【详解】（1）因为，所以，（2）因为倾斜角为，所以直线的斜率为，所以，所以.11.已知，，三点，这三点是否在同一条直线上？为什么？【答案】在一条直线上，理由见解析.【分析】根据点的坐标计算，若相等则说明在同一条直线上，反之则不在同一条直线上.【详解】因为，所以，且直线有公共点，所以三点在一条直线上.12.判断下列不同的直线与是否平行.（1）的斜率为2，经过，两点；（2）经过，两点，平行于x轴，但不经过P，Q两点；（3）经过，两点，经过，两点．【答案】（1）平行；（2）平行；（3）平行.【分析】（1）利用两直线的斜率是否相等进行判断即可.（2）根据直线的斜率即可判断.（3）求出两直线的斜率即可求解.【详解】（1）经过，两点，则，则，可得两直线平行.（2）经过，两点，可得平行于x轴，平行于x轴，但不经过P，Q两点，所以；（3）经过，两点，，经过，两点，则，所以.13.判断下列直线与是否垂直.（1）的斜率为，经过点，；（2）的倾斜角为，经过，两点；（3）经过，两点，经过，两点．【答案】（1）垂直；（2）垂直；（3）垂直.【分析】（1）先计算的斜率，然后根据斜率乘积是否为进行判断即可；（2）先计算，的斜率，然后根据斜率乘积是否为进行判断即可；（3）先计算，的斜率，然后根据斜率乘积是否为进行判断即可.【详解】（1）因为，又，所以，所以；（2）因为的倾斜角为，所以，又因为，所以，所以；（3）因为，，所以，所以.综合运用14.过，两点的直线l的倾斜角为，求的值．【答案】.【分析】根据倾斜角计算出直线的斜率，再根据坐标形式下斜率的计算公式求解出的值.【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，又，整理得，解得或，当时，，不符合，当时，，符合，综上：.15.经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的倾斜角与斜率k的取值范围，并说明理由．【答案】，理由见解析.【分析】根据题意作出图示，根据图示结合临界位置分析直线与线段有交点时倾斜角和斜率的取值范围.【详解】如下图所示，当直线经过点时，斜率为，此时倾斜角为；当直线经过点时，斜率为，此时倾斜角为，由题意可知，当直线从过点的位置开始，逆时针旋转至过点的位置，经过图中阴影部分时都能满足题意，旋转过程中，倾斜角先从变化到，再从变化到，所以倾斜角的取值范围是：；旋转过程中，斜率先从变化到，再从变化到，所以斜率的取值范围是：.16.已知点和，点P在x轴上，且为直角，求点P的坐标.【答案】或.【分析】设，因为，所以由勾股定理可得,将表达式化简求解即可.【详解】设，因为，所以由勾股定理可得，即，解得或，所以点的坐标是或.故答案为：或.拓广探索17.已知四边形ABCD的四个顶点是，，，，求证：四边形ABCD为矩形．【分析】根据点的坐标计算出四边形四条边所在直线的斜率，然后根据斜率的值判断垂直关系，由此证明为矩形.【详解】因为四个点的横坐标各不相等，所以四边形四条边所在直线的斜率都存在，所以，，，，所以，，，所以四边形四条边两两垂直，所以四边形四个内角都为，所以四边形是矩形.2.2直线的方程2.2.1直线的点斜式方程例1直线l经过点P0(-2,3)且倾斜角α=45°，求直线l解：直线l经过点P0(-2,3)，斜率y-3=x+2.画图时，只需再找出直线l上的另一点P1x1,y1，例如，取x1=-1，则y1=4例2已知直线l1:y=k1x+b1，l2:y=分析：回顾前面用斜率判断两条直线平行､垂直的结论，可以发现l1//l2或l1⊥l2时，k解：（1）若l1//l2，则k1=k2，此时l1，l2与（2）若l1⊥l2，则k1由例2我们得到，对于直线l1:y=kl1//ll1练习1．写出下列直线的点斜式方程.（1）经过点A3,-1，斜率是2（2）经过点B-2,2（3）经过点C0,3，倾斜角是0°（4）经过点D-4,-2倾斜角是2π【答案】（1）y+1=2(x-3)；（2）y-2=33(x+2)；（3【分析】根据直线的点斜式方程解题即可.【详解】（1）因为直线经过点A3,-1，斜率是2所以直线的点斜式方程为y+1=2（2）因为直线经过点B-2,2，倾斜角是所以直线的点斜式方程为y-2=3（3）经过点C0,3，倾斜角是0°，所以斜率为所以直线的点斜式方程为y-3=0(x-0)；（4）经过点D-4,-2，倾斜角是2π3所以直线的点斜式方程为y+2=-32．（1）已知直线的点斜式方程是y-2=x-1，那么此直线的斜率是_________，倾斜角是_________；（2）已知直线的点斜式方程是y+2=3x+1，那么此直线的斜率是_________，倾斜角是【答案】

1

45∘##π4

3【分析】（1）根据直线的点斜式方程可得出直线的斜率以及倾斜角；（2）根据直线的点斜式方程可得出直线的斜率以及倾斜角.【详解】（1）已知直线的点斜式方程是y-2=x-1，则该直线的斜率为1，倾斜角为45∘（2）已知直线的点斜式方程是y+2=3x+1，则该直线的斜率为3，倾斜角为arctan故答案为：（1）1；45∘；（2）3；arctan3．写出下列直线的斜截式方程.（1）斜率是32，在y轴上的截距是-2（2）斜率是-2，在y轴上的截距是4．【答案】（1）y=32x-2；（2【分析】由直线的斜截式方程求解即可.【详解】(1)因为直线斜率是32，在y轴上的截距是-2所以直线的斜截式方程为y=3（2）因为直线斜率是-2，在y轴上的截距是4，所以直线的斜截式方程为y=-2x+4；4．判断下列各对直线是否平行或垂直.（1）l1:y=12（2）l1:y=5【答案】（1）l1//l2【分析】根据两直线（斜率都存在）平行则斜率相等且纵截距不相等，两直线（斜率都存在）垂直则斜率互为负倒数，判断即可；【详解】解：（1）因为l1:y=1所以k1=12，b1=3，k2=1（2）因为l1:y=53x，l因为k1⋅k2.2.2直线的两点式方程例3如图，已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，其中a≠0，b≠0.求直线l的方程.解：将两点A(a,0)，B(0,b)的坐标代入两点式，得y-0b-0即xa例4已知△ABC的三个顶点A(-5,0)，B(3,-3)，C(0.2)，求边BC所在直线的方程，以及这条边上的中线AM所在直线的方程.解：如图，过B(3,-3)，C(0,2)的两点式方程为y-2-3-2整理得5x+3y-6=0.这就是边BC所在直线的方程.边BC上的中线是顶点A与边BC中点M所连线段，由中点坐标公式，可得点M的坐标为3+02即32过A(-5,0)，M3y-0-整理可得x+13y+5=0.这就是边BC上中线AM所在直线的方程.练习5．求经过下列两点的直线的两点式方程.（1）P12,1，P（2）A0,5，B【答案】（1）y-1-3-1=x-20-2；（【分析】根据直线的两点式方程求解即可.【详解】因为直线的两点式方程为：y-y因为P12,1，所以直线P1P2因为A0,5，B所以直线AB的两点式方程：y-50-56．根据下列条件求直线的截距式方程，并画出图形.（1）在x轴、y轴上的截距分别是2，3；（2）在x轴、y轴上的截距分别是-5，6．【答案】（1）x2+y3=1【分析】由截距式xa+【详解】（1）由截距式得：x2（2）由截距式得：x-57．根据下列条件，求直线的方程.（1）过点0,5，且在两坐标轴上的截距之和为2；（2）过点5,0，且在两坐标轴上的截距之差为2．【答案】（1）5x-3y+15=0（2）3x+5y-15=0【分析】（1）根据题意求出直线在x轴上的截距，再利用截距式即可写出答案.（2）根据题意求出直线在y轴上的截距，再利用截距式即可写出答案.【详解】（1）因为直线在y轴上的截距为5，则在x轴上的截距为2-5=-3.则直线为x-3（2）因为直线在x轴上的截距为5，则在y轴上的截距为5-2=3或5+2=7.则直线为x5+y所以直线为3x+5y-15=0或7x+5y-35=02.2.3直线的一般式方程例5已知直线经过点A(6,-4)，斜率为-43解：经过点A(6,-4)，斜率为-4y+4=-4化为一般式，得4x+3y-12=0.例6把直线l的一般式方程x-2y+6=0化为斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.分析：求直线l在x轴上的截距，即求直线l与x轴交点的横坐标，只要在直线l的方程中令y=0即可得x的值.解：把直线l的一般式方程化为斜截式y=1因此，直线l的斜率k=12，它在y在直线l的方程x-2y+6=0中，令y=0，得x=-6，即直线l在x轴上的截距是-6.由上面可得直线l与x轴､y轴的交点分别为A(-6,0)，B(0,3)，过A，B两点作直线，就得直线l练习8．根据下列条件，写出直线的方程，并把它化为一般式.（1）经过点A8,-2，斜率是-1（2）经过点B4,2，平行于x（3）经过点P13,-2，P（4）在x轴、y轴上的截距分别是32，-3【答案】（1）x+2y-4=0；（2）y-2=0；（3）x+y-1=0；（4）2x-y-3=0【分析】（1）由点斜式写出直线方程，并化为一般式；（2）由点斜式写出直线方程，并化为一般式；（3）由两点式写出直线方程，并化为一般式；（4）由截距式写出直线方程，并化为一般式；【详解】（1）由点斜式写出直线方程y=-1其一般式为x+2y-4=0；（2）由点斜式写出直线方程y=0×(x-4)+2=2，其一般式为y-2=0；（3）由两点式写出直线方程y-(-2)-2-(-4)其一般式为x+y-1=0；（4）由截距写出直线方程x3其一般式为2x-y-3=0；9．求下列直线的斜率以及在y轴上的截距，并画出图形.（1）3x+y-5=0；

（2）x4（3）x+2y=0；

（4）7x-6y+4=0．【答案】（1）-3,5；（2）54，-5；（3）-12，0；（4）7【分析】直线y=kx+b的斜率为k，在y轴上的截距为b，故将直线的一般式变为斜截式，即可得到斜率和在y轴上的截距.【详解】（1）3x+y-5=0即y=-3x+5，斜率为-3，在y轴上的截距为5；（2）x4-y5=1，即y=54x-5，斜率为（3）x+2y=0，即y=-12x，斜率为-12，在（4）7x-6y+4=0，即y=76x+23，斜率为7610．已知直线l的方程是Ax+By+C=0．（1）当B≠0时，直线l的斜率是多少？当B=0时呢？（2）系数A，B，C取什么值时，方程Ax+By+C=0表示经过原点的直线？【答案】（1）B≠0时，斜率k=-AB；当B=0时，直线l的斜率不存在；（2）C=0且A,B【分析】（1）当B≠0时，直接由直线方程求出斜率；当B=0时，直线l的斜率不存在；（2）由直线过原点可得C=0，再由A,B不同时为0即可得解.【详解】（1）当B≠0时，直线l的斜率是k=-AB；当B=0时，直线（2）因为直线Ax+By+C=0过原点，所以C=0，所以当C=0且A,B不同时为0时，方程Ax+By+C=0表示经过原点的直线.习题2.2复习巩固11．写出满足下列条件的直线的方程.（1）经过点A(8,-2)，斜率是33（2）经过点B(-2,0)，且与x轴垂直；（3）斜率是-4，在y轴上的截距是7；（4）经过A(-1,8)，B(4,-2)两点；（5）在y轴上的截距是2，且与x轴平行；（6）在x轴、y轴上的截距分别是4，-3．【答案】（1）3x-3y-83-6=0（2）x=-2（3）4x+y-7=0（4）2x+y-6=0（5）y=2；（【分析】（1）利用点斜式求出直线方程；（2）依题意直接得到直线方程为x=-2；（3）利用斜截式求出直线方程；（4）首先求出斜率，再利用点斜式求出直线方程；（5）依题意可知斜率为0，即可得到直线方程；（6）利用截距式求出直线方程；【详解】解：（1）经过点A(8,-2)，斜率是33；则直线方程为y+2=3（2）经过点B(-2,0)，且与x轴垂直；则直线方程为x=-2（3）斜率是-4，在y轴上的截距是7；则直线方程为y=-4x+7，即4x+y-7=0（4）经过A(-1,8)，B(4,-2)两点；则斜率k=-2-84--1=-2（5）在y轴上的截距是2，且与x轴平行；则直线方程为y=2（6）在x轴、y轴上的截距分别是4，-3．则直线方程为x4+12．判断A1,3，B5,7，【答案】A，B，C三点共线；理由见解析【分析】根据向量共线定理判断即可.【详解】因为A1,3，B5,7，所以AB→因为AB→所以A，B，C三点共线.13．已知两点A7,-4，B-5,6，求线段【答案】6x-5y-1=0【分析】根据中点坐标公式求得线段AB中点坐标，再求直线AB的斜率，进而确定垂直平分线的斜率，最后根据点斜式写出直线方程即可.【详解】因为两点A7,-4，B所以线段AB中点坐标为(1,1)，kAB所以线段AB的垂直平分线的斜率为65由点斜式可知：线段AB的垂直平分线的方程为：y-1=6整理得：6x-5y-1=0.14．已知△ABC的三个顶点A8,5，B4,-2，C-6,3，求经过两边AB【答案】x+2y-9=0【分析】首先求得中点坐标，再根据直线的两点式方程求解即可.【详解】设AB和AC的中点分别为D,E，因为A8,5，B4,-2，C所以D(6,所以直线DE的方程为：y-4x-1整理得：x+2y-9=0，经过两边AB和AC的中点的直线的方程为x+2y-9=0.15．一根弹簧，挂4N的物体时，长20cm．在弹性限度内，所挂物体的重量每增加1N，弹簧就伸长1.5cm．试写出弹簧的长度l（单位：cm）与所挂物体重量G（单位：N）之间关系的方程．【答案】l=14+1.5G【分析】根据题意先求出弹簧的原长，再由条件列出弹簧的长度l（单位：cm）与所挂物体重量G（单位：N）的关系方程.【详解】设弹簧的原长是Lcm，∵挂4N的物体时，长20cm．在弹性限度内，所挂物体的重量每增加1N，弹簧就伸长1.5cm．∴20=L+4×1.5，解得L=14cm．∴在弹性限度内，弹簧的长度l（单位：cm）与所挂物体重量G（单位：N）之间关系的方程：l=14+1.5G.16．菱形的两条对角线分别位于x轴和y轴上，其长度分别为8和6，求菱形各边所在直线的方程．【答案】3x+4y-12=0；3x-4y+12=0；3x+4y+12=0；3x-4y-12=0【分析】根据菱形的结构特征可确定直线经过点，再由点斜式即可求解.【详解】由题意作出菱形图形，如图，直线AB的方程：y=-34x-4直线BC的方程：y=34x+4直线CD的方程：y=-34x+4直线AD的方程：y=3417．求经过点P2,3【答案】3x-2y=0或x+y-5=0【分析】讨论截距为不为0,分别求出直线即可.【详解】（1）当截距为0时：直线为3x-2y=0。（2）当截距不为0时，设截距为a,则直线为x+y=a，将P2,3代入解得a=5所以直线为x+y-5=0.综上所述：直线为3x-2y=0或x+y-5=0.18．求满足下列条件的直线的方程.（1）经过点A3,2，且与直线4x+y-2=0（2）经过点C2,-3，且平行于过M1,2和（3）经过点B3,0，且与直线2x+y-5=0【答案】（1）y=-4x+14；（2）y=-32x；（【分析】（1）两直线平行，斜率相等，从而求得直线方程；（2）求过两点的直线斜率，然后根据两直线平行，斜率相等，从而求得直线方程；（3）两直线垂直，斜率乘积等于-1，求得斜率，从而写出方程；【详解】（1）与直线4x+y-2=0平行的直线斜率为-4，且经过点A则直线为y=-4(x-3)+2=-4x+14；（2）过M1,2和N-1,5两点的直线斜率为则与MN平行且过点C2,-3的直线方程为：y=-（3）直线2x+y-5=0的斜率为-2，与之垂直的直线斜率为12则经过点B3,0，且与直线2x+y-5=0垂直的直线方程为y=综合运用19．△ABC的三个顶点是A4,0，B6,7，（1）边BC上的中线所在直线的方程；（2）边BC上的高所在直线的方程；（3）边BC的垂直平分线的方程．【答案】（1）y=-5x+20；（2）y=-32x+6；（【分析】（1）求得BC的中点坐标，结合A点坐标，求得中线方程；（2）求得BC的斜率，从而求得其上的高的斜率，且过A4,0（3）由（1）知BC的中点坐标(3,5)，由（2）知高的斜率为-3【详解】（1）BC的中点坐标为(则边BC上的中线所在直线的方程为y=5（2）边BC的斜率为7-36-0=23，则其上的高的斜率为则边BC上的高所在直线的方程为y=-3（3）由（1）知BC的中点坐标(3,5)，由（2）知高的斜率为-3则边BC的垂直平分线的方程为y=-320．求直线Ax+By+C=0（A，B不同时为0）的系数A，B，C分别满足什么关系时，这条直线有以下性质：（1）与两条坐标轴都相交；

（2）只与x轴相交；（3）只与y轴相交；

（4）是x轴所在的直线；（5）是y轴所在的直线．【答案】（1）A≠0，B≠0；（2）A≠0，B=0；（3）A=0，B≠0；（4）A=0，B≠0，C=0；（5）A≠0，B=0，C=0；【分析】（1）根据直线与坐标轴相交的性质可得；（2）根据直线只与x轴相交的性质可得；（3）根据直线只与y轴相交的性质可得；（4）由x轴所在的直线方程即可得解；（5）由y轴所在的直线方程即可得解.【详解】（1）直线Ax+By+C=0（A，B不同时为0）与x轴相交时，方程组{Ax+By+C=0y=0有唯一解，所以同理直线Ax+By+C=0（A，B不同时为0）与y轴相交时，方程组{Ax+By+C=0x=0有唯一解，所以所以当A≠0，B≠0时，直线Ax+By+C=0与两条坐标轴都相交；（2）已知直线只与x轴相交，所以直线Ax+By+C=0与y轴平行或重合，所以当A≠0，B=0时，直线x=-CA只与（3）已知直线只与y轴相交，所以直线Ax+By+C=0与x轴平行或重合，所以当A=0，B≠0时，直线y=-CB只与（4）当A=0，B≠0，C=0时，直线y=0是x轴所在的直线；（5）当A≠0，B=0，C=0时，直线x=0是y轴所在的直线；21．设点P0x0,y【分析】将点P0x0,y0【详解】因为点P0x0,y所以Ax0+B整理可得：Ax-22．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置．试求直线l的斜率．【答案】-【分析】设直线l的方程为y=kx+b，平移后的方程为y=k(x+3)+b+1=kx+3k+b+1，根据截距相同，求得k.【详解】由题知直线斜率存在，故设直线l的方程为y=kx+b，则根据平移过程知，平移后的方程为y=k(x+3)+b+1=kx+3k+b+1，该直线与原直线相同，则3k+b+1=b.则k=-123．一条光线从点P(6,4)射出，与x轴相交于点Q(2,0)，经x轴反射，求入射光线和反射光线所在的直线方程【答案】入射光线的直线方程为y=x-2,反射光线的直线的方程为y=-x+2.【分析】设入射光线的直线方程为y=kx+b(k≠0)，则点(6,4),(2,0)在直线方程上，利用待定系数法可得k、b的值，可得入射光线与反射光线关于直线x=2对称，可得反射光线的直线的方程.【详解】解：设入射光线的直线方程为y=kx+b(k≠0)则点(6,4),(2,0)在直线方程上，∴6k+b=42k+b=0∴入射光线的直线方程为y=x-2，∵入射光线与反射光线关于直线x=2对称，∴反射光线的斜率为-1，且经过点(2,0)∴反射光线的直线的方程为y=-x+2.拓广探索24．已知直线l1，l2的方程分别是l1:A1x+B1y+C1=0（A1，B1【分析】写出两直线的方向向量，说明两方向向量内积为0即可.【详解】证明：直线l1的方向向量为m=(B1,-A则m⋅即m与n垂直，即l125．画出直线l:2x-y+3=0，并在直线l外取若干点，将这些点的坐标代入2x-y+3，求它的值；观察有什么规律，并把这个规律表示出来．【答案】在直线的左上方的点，坐标代入2x-y+3，值小于0；在直线的右下方的点，坐标代入2x-y+3，值大于0；在直线上的点，坐标代入2x-y+3，值等于0；【分析】画出直线的图象，分别在直线的两边取点，代入即可判断.【详解】画出直线l的图象，如图：取点0,0,把点代入直线方程，0,0,3,4代入分别为3与将1,6,-2,3代入分别为-1与可得如下规律：在直线的左上方的点，坐标代入2x-y+3，值小于0；在直线的右下方的点，坐标代入2x-y+3，值大于0；在直线上的点，坐标代入2x-y+3，值等于0；2.3直线的交点坐标与距离公式2.3.1两条直线的交点坐标例1求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：l解：解方程组3x+4y-2=0,得x=-2,所以，l1与l2的交点是M(-2,2)（图图2.3-1例2判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：（1）l1:x-y=0，（2）l1:3x-y+4=0，（3）l1:3x+4y-5=0，分析：解直线l1，l2的方程组成的方程组，若方程组有唯一解，则l1与l2相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则l1解：（1）解方程组x-y=0,得x=所以，l1与l2相交，交点是（2）解方程组3x-y+4=0,①①×2-②得9=0，矛盾，这个方程组无解，所以l1与l2无公共点，（3）解方程组3x+4y-5=0,①①×2得6x+8y-10=0①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2练习1．求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：（1）l1:2x+3y=12，（2）l1:x=2，【答案】（1）交点坐标为367,47，图形见解析；（2【分析】（1）联立两直线的方程，可得出交点坐标，并作出图形；（2）联立两直线的方程，可得出交点坐标，并作出图形.【详解】（1）联立2x+3y=12x-2y=4，解得x=367（2）联立x=23x+2y-12=0，解得x=2y=3，交点为2．判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：（1）l1:2x-3y=7，（2）l1:2x-6y+4=0，（3）l1:2【答案】（1）相交，1716，-138；（2【分析】（1）联立2x-3y=74x+2y=1（2）l1：2x﹣6y+4＝0化为y=13x+2（3）l1与l2的方程都化为斜截式，即可判断出．【详解】（1）联立2x-3y=74x+2y=1，解得x=1716，y=-（2）l1：2x﹣6y+4＝0化为y=13x+2（3）l1：（2-1）x+y＝3，化为y＝（1-2）xl2：x+（2+1）y＝2化为y＝（1-2）x∴两条直线的斜率相等而在y轴上的截距不等．∴l1//l2．3．直线l经过原点，且经过直线2x-2y-1=0与直线6x-4y+1=0的交点，求直线l的方程．【答案】4x-3y=0【分析】经过直线2x-2y-1=0与直线6x-4y+1=0的交点的直线可设为：2x-2y-1+λ6x-4y+1=0，把O0,0代入求出【详解】经过直线2x-2y-1=0与直线6x-4y+1=0的交点的直线可设为：2x-2y-1+λ把O0,0代入，得：-1+λ=0，解得：λ=1所以，所求的直线方程为：4x-3y=0.2.3.2两点间的距离公式例3已知点A(-1,2)，B(2,7)，在x轴上求一点P，使|PA|=|PB|，并求解：设所求点为P(x,0)，则|PA|=(x+1)|PB|=(x-2)由|PA|=|PB|，得：x2解得x=1．所以，所求点为P(1,0)，且|PA∣=(1+1)例4用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍．分析：首先要建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系．证明：如图2.3-4，四边形ABCD是平行四边形．以顶点A为原点，边AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．图2.3-4在▱ABCD中，点A的坐标是(0,0)，设点B的坐标为(a,0)，点D的坐标为(b,c)，由平行四边形的性质，得点C的坐标为(a+b,c)．由两点间的距离公式，得|AC|2=(a+b)2+c所以|AC||AB|所以|AC|即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍．练习4．求下列两点间的距离：（1）A6,0，B-2,0；（2）C0,-4（3）P6,0，Q0,-2；（4）M2,1【答案】（1）8；（2）3；（3）210；（4）13．【分析】（1）（2）（3）（4）直接利用两点的距离公式求解；【详解】（1）|AB|＝6+2＝8；（2）|CD|＝﹣1+4＝3；（3）|PQ|=62+（4）|MN|=(2-55．已知Aa,-5与B0,10两点间的距离是17，求【答案】±8【分析】直接利用两点间距离公式即可求解．【详解】因为Aa,-5与B所以(a-0)2解得：a＝±8．6．用坐标法证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离都相等【答案】证明见解析.【解析】建立平面直角坐标系，设A0,a，Bb,0，得到AB的中点C的坐标为a2,b2，然后用两点间的距离分别求得CA【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设A0,a，Bb,0，则AB的中点C的坐标为∵CA=CB=CO=∴CA=即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离都相等.2.3.3点到直线的距离公式例5求点P(-1,2)到直线l:3x=2的距离．分析：将直线l的方程写成3x-2=0，再用点到直线的距离公式求解．解：点P(-1,2)到直线l:3x=2的距离d=|3×(-1)-2|例6已知△ABC的三个顶点分别是A(1,3)，B(3,1)，C(-1,0)，求△ABC的面积．分析：由三角形面积公式可知．只要利用距离公式求出边AB的长和边AB上的高即可．解：如图2.3-7，设边AB上的高为h，则S△ABC|AB|=(3-1)边AB上的高h就是点C到直线AB的距离．边AB所在直线l的方程为y-31-3即x+y-4=0．点C(-1,0)到直线l:x+y-4=0的距离h=因此，S△ABC图2.3-7练习7．求原点到下列直线的距离：（1）l:3x+2y-26=0

（2）l:x=y．【答案】（1）213（2）【分析】直接代入点(x0,y0)【详解】（1）d=0+0-26（2）直线l:x=y⇒x-y=0，则d=8．求下列点到直线的距离：（1）A(-2,3)，l:3x+4y+3=0；（2）B(1,0)，l:3（3）C(1,-2)，l:4x+3y=0．【答案】（1）95；（2）0；（3）【分析】由点到直线的距离公式对各小题进行计算即可.【详解】（1）d=-2×3+3×4+3（2）d=1×（3）d=4×1+3×(-2)9．已知点P-1,2到直线l:4x-3y+C=0的距离为1，求C【答案】15或5【分析】直接利用点到直线距离公式列方程求解即可.【详解】点P-1,2到直线l:4x-3y+C=0的距离为1=即25=C-10故C=10±5，即C=15或C=52.3.4两条平行直线间的距离例7已知两条平行直线l1:2x-7y-8=0，l2:6x-21y-1=0，求分析：在l1上选取一点，如l1与坐标抽的交点，用点到直线的距离公式求这点到l2的距离，即l解：先求l1与x轴的交点A的坐标．容易知道，点A的坐标为(4,0)点A到直线l2的距离所以l1与l2间的距离为例8求证：两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+分析：两条平行直线间的距离即为这两条平行直线中的一条直线上的一点到另一条直线的距离．证明：在直线Ax+By+C1=0上任取一点Px0,y0因为点Px0,y0在直线Ax+By+Cd=A练习10．求下列两条平行直线间的距离：（1）l1:2x+3y-8=0，（2）l1:3x+4y=10，【答案】（1）213；（2）【分析】根据平行线的距离公式分别求解即可.【详解】（1）d=-8-18（2）d=11．已知两条平行直线l1:3x-4y+6=0与l2:3x-4y+C=0间的距离为【答案】21或-9【分析】直接利用两平行线之间的距离公式列方程，解方程即可求解.【详解】因为两条平行直线l1:3x-4y+6=0与l2所以d=6-C32+-4所以C的值为21或-9.12．如图，已知直线l1:x-2y+1=0与直线l2:x-2y+4=0，在l1上任取一点A，在l2上任取一点B，连接AB，取AB的靠近点A的三等分点C，过点C作l1【答案】5【分析】过A做AD⊥l2于D，交l3于E，根据三角形相似及题干条件，可得AEAD=ACAB=13，利用两平行线间距离公式，可得l【详解】过A做AD⊥l2于D，交l3因为l1∕∕l所以Rt△ABD∽Rt△ACE，所以AEAD又直线l1与l2间的距离所以求l1与l3间的距离习题2.3复习巩固13．判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：（1）l1:2x-y+7=0，

（2）l1:x-3y-10=0，

（3）l1:3x-5y+10=0，

【答案】（1）两直线相交，交点-2,3；（2）平行；（3）重合【分析】分别求出直线的斜率，判断斜率是否相等，不相等再将直线方程联立解方程组求交点即可.【详解】（1）l1:2x-y+7=0，l2:x+y=1，kl2x-y+7=0x+y=1，解得x=-2，y=3，所以两直线的交点为-2,3（2）l1:x-3y-10=0，k

l2:y=x+53，（3）l1:3x-5y+10=0，

l2:9x-15y+30=0，且l1:3x-5y+10=0可化为9x-15y+30=014．求满足下列条件的直线的方程．（1）经过两条直线2x-3y+10=0和3x+4y-2=0交点，且垂直于直线3x-2y+4=0；（2）经过两条直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点，且平行于直线4x-3y-7=0；【答案】（1）2x+3y-2=0；（2）4x-3y-6=0.【分析】（1）联立两直线方程求得两直线交点，由直线与直线3x-2y+4=0垂直求得斜率，代入直线方程的点斜式得答案；（2）联立两直线方程求得两直线交点，由直线与直线4x-3y-7=0平行求得斜率，代入直线方程的点斜式得答案【详解】（1）联立2x-3y+10=03x+4y-2=0，解得x=-2所以，两条直线2x-3y+10=0和3x+4y-2=0的交点为-2,2，又直线3x-2y+4=0的斜率为32故所求直线方程为y-2=-23x+2（2）联立2x+y-8=0x-2y+1=0，解得x=3所以，两条直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点坐标为3,2，又直线4x-3y-7=0的斜率为43故所求直线方程为y-2=43x-315．已知A(1,2)，B(2,0)，M(1,0)，N(-4,0)，P(0,3)，Q(-1,1)六个点，线段AB，MN，PQ能围成一个三角形吗？为什么？【答案】不能，原因见解析.【分析】分别计算出AB，MN，PQ，从而可得AB+PQ【详解】依题意得AB=(1-2)2+(2-0)2=5，MN=(1+4)2+16．已知Pa,2、Q-2,-3、M1,1三点，且PQ【答案】a=-【分析】利用两点间的距离公式可得出关于a的等式，由此可解得实数a的值.【详解】由PQ=PM可得a+2217．（1）求在x轴上与点A(5，12)的距离为13的点的坐标.（2）已知点P的横坐标是7，点P与点N(-1，5)间的距离等于10，求点P的纵坐标.【答案】（1）(0,0)或(10,0)；（2）-1或11.【分析】（1）设x轴上点的坐标为(x,0)，由距离公式可得关于x的方程，解方程可得；（2）设点P的纵坐标为y，由距离公式可得关于y的方程，解方程即可.【详解】（1）设x轴上点的坐标为(x,0)，由距离公式可得(x-5)2+(0-12)2=13所以所求点的坐标为(0,0)或(10,0)；（2）设点P的纵坐标为y，由距离公式可得(7+1)2+(y-5)2=10所以点P的纵坐标为-1或11.18．求点P(-5,7)到直线12x+5y-3=0的距离．【答案】28【分析】直接利用距离公式计算可得；【详解】解：点P-5,7到直线12x+5y-3=0的距离19．求两条平行直线3x-2y-1=0与3x-2y+1=0间的距离．【答案】2【分析】由条件根据两条平行直线间的距离公式求得两条平行直线3x﹣2y﹣1＝0与3x﹣2y+1＝0间的距离．【详解】解：两条平行直线3x﹣2y﹣1＝0与3x﹣2y+1＝0间的距离为-1-19+420．▱ABCD的一组对边AB和CD所在直线的方程分别是6x+8y-3=0与6x+8y+5=0，过▱ABCD的两条对角线的交点作与AB所在直线的平行线l，求l与CD所在直线的距离．【答案】2【分析】利用平行求得过点O且与AB所在直线平行的直线l方程，然后利用平行线间距离公式求解即可.【详解】由题意，设平行四边形ABCD两对角线的交点为点O.由平行四边形性质，点O到这组对边AB和CD所在直线的距离相同,则过点O且与AB所在直线平行的直线l方程为:6x+8y+即6x+8y+1=0;所以由两平行线距离公式可得直线l与CD所在直线的距离为:d=5-1综上，直线l与CD所在直线的距离为25综合运用21．三条直线ax+2y+8=0，4x+3y=10与2x-y=10相交于一点，求a的值．【答案】a＝﹣1【分析】联立直线4x+3y＝10与2x﹣y＝10，求出交点坐标，再代入直线ax+2y+8＝0，即可求得a的值．【详解】解：解方程组4x+3y=102x-y=10，得x=4∴交点坐标为：（4，﹣2），代入直线ax+2y+8＝0，得4a﹣4+8＝0，∴a＝﹣1．22．已知△ABC的顶点A5,1，边AB上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0，边AC上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0(1)顶点C的坐标；(2)直线BC的方程．【答案】(1)4,3(2)6x-5y-9=0【分析】（1）先根据直线AC与直线BH垂直，斜率乘积为-1，得到kAC=-2，从而利用点斜式求出直线AC方程，与CM所在直线2x-y-5=0联立求出点C坐标；（2）先设出点M的坐标为m,2m-5，利用中点坐标公式表达出B点坐标，再把B点坐标代入BH所在直线x-2y-5=0，求出m=2，从而求出点B坐标，结合第一问求解的点C的坐标，求出直线（1）因为边AC上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0∴kAC⋅k∴k∵△ABC的顶点A∴直线AC方程：y-1=-2x-5，即与2x-y-5=0联立，2x+y-11=02x-y-5=0，解得：所以顶点C的坐标为4,3（2）因为CM所在直线方程为2x-y-5=0故设点M的坐标为m,2m-5因为M是AB中点，A所以B因为B2m-5,4m-11在BH所在直线x-2y-5=0所以2m-5-24m-11-5=0所以B点坐标为-1,-3由第一问知：C的坐标为4,3故直线BC的方程为y+3=6523．在x轴上求一点P，使以A1,2，B3,4和P为顶点的三角形的面积为【答案】P9,0或-11,0【分析】首先设出点P的坐标，利用面积公式，直接求解.【详解】设Pa,0，k直线AB方程是y-2=x-1，即x-y+1=0，点Pa,0到直线AB的距离d=a+12S=1解得：a=9或a=-11，所以点P9,0或-11,024．已知AO是△ABC边BC的中线，用坐标法证明|AB|2【分析】结合图形，设A、B、C三点的坐标，再根据题意和两点间距离公式即可证明.【详解】取BC边所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如图设B(-a，0)，C(a，0)AB2AO所以AB2+AC225．已知点Aa,6到直线3x-4y=2的距离d（1）d=4；（2）d>4．求a的值．【答案】（1）a＝2或a=463；（2）a>46【分析】（1）由点到直线的距离公式可得|3a-4×6-2|32（2）由点到直线的距离公式可得|3a-4×6-2|32【详解】（1）直线方程可化为3x﹣4y﹣2＝0，由点到直线的距离公式可得|3a-4×6-2|32解得a＝2或a=46（2）由点到直线的距离公式可得|3a-4×6-2|32解得a>463或26．已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等，求a得值．【答案】a=-【详解】试题分析：利用点到直线距离公式列出关于a的方程求解即可．试题解析：∵点A(-3,-4),B(6,3)到直线的距离相等，∴27．▱ABCD的四条边所在直线的方程分别是l1:x-4y+5=0，l2:2x+y-8=0，l3【答案】9【分析】先求得点B,C,D坐标，由点D到l1:x-4y+5=0的距离及BC的长即可求得【详解】由l1:x-4y+5=0，l2:2x+y-8=0，联立求得交点C3,2，由l1:x-4y+5=0，l4:2x+y+1=0由点D到l1:x-4y+5=0的距离BC=故S▱ABCD拓广探索28．已知λ为任意实数，当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形？图形有何特点？【答案】直线，过定点(-2,2)【分析】此方程为过3x+4y-2=0与2x+y+2=0的直线系方程.【详解】因为方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0化简得：(2λ+3)x+(λ+4)y-2+2λ=0λ为任意实数，方程表示直线.因为3x+4y-2=所以当x=-2y=2，直线3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0恒故直线过定点(-2,2).29．已知0<x<1，0<y<1．（1）求证：x2（2）说明上述不等式的几何意义．【答案】（1）证明见解析；（2）边长为1的正方形内任意一点到四个顶点的距离的和不小于两条对角线的和.【分析】（1）作图，利用两点间的距离公式可知|PO|=x2+y2，|PA|=(1-x)2+y2，|PB|=(1-x)2+(1-y)2，|PC|（2）根据边长为1的正方形内任意一点到四个顶点的距离和与两条对角线的和的大小关系求解即可【详解】（1）证明：∵0＜x＜1，0＜y＜1，设P（x，y），A（1，0），B（1，1），C（0，1），如图：则|PO|=x2+y2，|PA|=(1-x)2+y2，∵|PO|+|PB|≥|BO|=2，|PA|+|PC|≥|AC|∴|PO|+|PB|+|PA|+|PC|≥22（当且仅当点P为正方形的对角线AC与OB即x＝y=1∴x2（2）对于（1）中不等式，它的几何意义是：边长为1的正方形内任意一点到四个顶点的距离的和不小于两条对角线的和.2.4圆的方程2.4.1圆的标准方程例1求圆心为A(2,-3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M分析：根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在图上．解：圆心为A(2,-3)，半径为把点M1(5,-7)的坐标代入方程(x-2)2+(y+3)2=25把点M2(-2,-1)的坐标代入方程(x-2)2+(y+3)2=25的左边，得(-2-2)2+图2.4-2例2△ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，求△ABC的外接圆的标准方程．分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．显然已知的三个点不在同一条直线上．只要确定了a，b，r，圆的标准方程就确定了．解：设所求的方程是(x-a)2+因为A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①．于是(5-a)即a观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去a2，b2，r2，得到关于a，解此方程组，得a=2,代入(5-a)2+(1-b)所以，△ABC的外接圆的标准方程是(x-2)2例3已知圆心为C的圆经过A(1,1)，B(2,-2)两点，且圆心C在直线l:x-y+1=0，求此圆的标准方程．分析：设圆心C的坐标为(a,b)．由已知条件可知，|CA|=|CB|，且a-b+1=0．由此可求出圆心坐标和半径．另外，因为线段AB是圆的一条弦，根据平面几何知识，AB的中点与圆心C的连线垂直于AB，由此可得到另一种解法．解法1：设圆心C的坐标为(a,b)．因为圆心C在直线l:x-y+1=0上，所以a-b+1=0．①因为A，B是圆上两点，所以|CA|=|CB|根据两点间距离公式，有(a-1)2即a-3b-3=0②由①②可得a=-3，b=-2．所以圆心C的坐标是(-3,-2)．圆的半径r=|AC|=(1+3)所以，所求圆的标准方程是(x+3)2解法2：如图2.4-3，设线段AB的中点为D．由A，B两点的坐标为(1,1)，(2-2)，可得点D的坐标为32,-12，直线因此，线段AB的垂直平分线l'的方程是y+12由垂径定理可知，圆心C也在线段AB的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组x-3y-3=0,x-y+1=0解这个方程组，得x=-3,所以圆心C的坐标是(-3,-2)．圆的半径r=|AC|=(1+3)所以，所求圆的标准方程是(x+3)2图2.4-3练习1．写出下列圆的标准方程.（1）圆心为C-3,4，半径是5（2）圆心为C-8,3，且经过点M【答案】（1）（x+3）2+（y﹣4）2＝5．（2）（x+8）2+（y﹣3）2＝25．【分析】（1）根据圆心和半径，直接写出圆的标准方程．（2）先求出圆的半径，可得圆的标准方程．【详解】解：（1）∵圆心在C（﹣3，4），半径长是5，故圆的标准方程为（x+3）2+（y﹣4）2＝5．（2）∵圆心在C（﹣8，3），且经过点M（﹣5，﹣1），故半径为MC=-5+82故圆的标准方程为（x+8）2+（y﹣3）2＝25．2．已知圆的标准方程是x-32（1）M14.30,-5.72（2）M25.70,1.08（3）M3【答案】（1）M1在圆内；（2）M2在圆外；（3）M【分析】分别将三个点代入方程，和等号右边比较即可判断.【详解】（1）∵(4.30-3)2+（2）∵(5.70-3)2+（3）∵(3-3)2+(-6+2)3．已知P14,9，P26,3两点，求以P1P2【答案】点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内【分析】先求出圆心和半径，得到圆方程，再计算点到圆心的距离，与半径作比较得到答案.【详解】由线段的中点坐标公式，求得圆心C5,6．直径P故所求圆的方程为x-52∵CM=10=r，∵CN=13>r，∵CQ=3<r，∴点综上：点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内4．已知△AOB的三个顶点分别是点A4,0，O0,0，B0,3【答案】x-2【分析】由题意可确定圆的直径为AB，根据中点坐标公式求出圆心坐标，结合两点距离公式求出半径即可.【详解】由题意知，AB为圆的直径，设圆心为C(a，则AB中点即为C(2，所以半径为OC=故外接圆的标准方程为：(x-2)22.4.2圆的一般方程例4求过三点O(0,0)，M1(1,1)，分析：将点O，M1，M解：设圆的方程是x2+因为O，M1，M2三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解．把它们的坐标依次代入方程①，得到关于D，E，F解这个方程组，得D=-8,所以，所求圆的方程是x2由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是(4,-3)，半径r=1例5已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4分析：如图2.4-4，点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程(x+1)2+y2=4．建立点M与点A坐标之间的关系，就可以利用点A图2.4-4解：设点M的坐标是x,y，点A的坐标是x0,y0，由于点B的坐标是(4,3)，且M是线段AB的中点，所以于是有x0=2x-4，y因为点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，所以点把①代入②，得(2x-4+1)2整理，得x-这就是点M的轨迹方程，它表示以32,3练习5．求下列各圆的圆心坐标和半径.（1）x2+（2）x2（3）x2【答案】(1)圆心为(3，0)，半径为3；(2)圆心为(0，-b)，半径为b;(3)圆心为【分析】结合配方法将圆的一般方程化为标准方程,再求出圆心和半径即可.【详解】(1)方程x2所以圆心为(3，0)，半径为(2方程x2所以圆心为(0，-b)，半径为(3)方程x2所以圆心为(a，3a)6．判断下列方程分别表示什么图形，并说明理由.（1）x2+（2）x2（3）x2【分析】（1）由方程可得x=0,y=0；（2）化简可得x-12（3）化简可得x+a2+y2=a2+【详解】（1）∵x2+y2=0，∴x=0,y=0（2）x2+y所以方程x2+y2-2x+4y-6=0（3）x2+y当a=b=0时，方程x2+y当a≠0或b≠0时，方程x2+y2+2ax-b7．如图，在四边形ABCD中，AB=6，CD=3，且AB//CD，AD=BC，AB与CD间的距离为3．求等腰梯形ABCD的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．【答案】圆心坐标为0,38,半径长为【分析】设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0【详解】由题意可知A(-3,0),B(3,0),C3设所求圆的方程为x2则9-3D+F=09+3D+F=0解得D=0E=-34其圆心坐标为0,38,半径长为习题2.4复习巩固8．求下列各圆的圆心坐标和半径，并画出它们的图形.（1）x2+y2-2x-5=0（3）x2+y2+2ax=0【答案】(1)圆心(1，0)，半径(2)圆心(-1，2)，半径(3)圆心(-a，0)，半径(4)圆心(0，b)，半径【分析】结合配方法将圆的一般方程化为标准方程,再求出圆心和半径，进而画出图形即可.【详解】(1)方程x2所以圆心为(1，0)，半径为(2方程x2所以圆心为(-1，2)，半径为(3)方程x2+所以圆心为(-a，0)，半径为a；不妨设(4)方程x2+所以圆心为(0，b)，半径为3b9．求下列各圆的方程，并面出图形.（1）圆心为点C8,-3，且过点A（2）过A-1,5，B5,5，【答案】（1）(x-8)2+(y+3)2=25【分析】（1）求出半径，利用圆的标准方程写出即可.（2）设出圆的一般方程，将三点代入解出即可.【详解】（1）由题意知半径r=(8-5)所以圆的方程为：(x-8)2（2）设圆的一般方程为：x2将A-1,5，B5,5，1所以圆的方程为：x210．已知圆C经过原点和点A2,1，并且圆心在直线l:x-2y-1=0上，求圆C【答案】x-【分析】设圆C的标准方程为x-a2+【详解】设圆C的标准方程为x-a2由题意可得0-a2+0-b因此x-611．圆C的圆心在x轴上，并且过A-1,1和B1,3两点，求圆【答案】x-2【分析】由题意，设圆心坐标和半径表示圆的标准方程，结合待定系数法即可.【详解】设圆C的圆心坐标为C(a，0)，半径为则圆C的标准方程为：(x-a)2有(1-a)2+3所以圆C的标准方程为：(x-2)综合运用12．已知圆的一条直径的端点分别是A（x1，y1），B（x2，y2）．求证：此圆的方程是（x–x1）（x–x2）+（y–y1）（y–y2）=0．【分析】由题意求得圆心和半径，可得圆的标准方程，化简即可．【详解】∵圆的一条直径的端点分别是A（x1，y1），B（x2，y2），∴圆心为C（x1+x22∴此圆的方程是x-x1+即x2–（x1+x2）x+(x1+x2)24+y2–（y1即x2–（x1+x2）x+x1•x2+y2–（y1+y2）y+y1•y2=0，即（x–x1）（x–x2）+（y–y1）（y–y2）=0．13．平面直角坐标系中有A0,1，B2,1，C3,4【答案】四点在同一个圆上（证明见解析）【分析】以A、B、C【详解】设过A、B、将A、B、所以圆的一般方程为x2将点D-1,2代入得：(-1)2所以四点在同一个圆上.14．已知等腰三角形ABC的一个顶点为A4,2，底边的一个端点为B3,5，求底边的另一个端点【答案】(x-4)2+(y-2)2=10（去掉（3,5），（5,-1）两点）；表示是以4,2为圆心，以10【分析】根据等腰三角形和已知顶点A(4,2)，一个端点B(3,5)，利用腰相等且能构成三角形即可求端点C的轨迹方程；【详解】由题意知：设另一个端点C(x,y)，腰长为r=(3-4)∴C的轨迹方程：(x-4)2又由A、B、C构成三角形，即三点不可共线，∴需要去掉重合点（3,5），反向共线点（5,-1），即表示是以4,2为圆心，以10半径，且去掉（3,5），（5,-1）两点的圆.15．长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程，并说明轨迹的形状．【答案】轨迹方程为：x2+y2＝a2（a＞0）．表示圆心在原点半径为a的圆.【分析】设AB的中点坐标为（x，y），当A、B均不与原点重合时，由直角三角形虚部的中线等于斜边的一半可得AB中点轨迹，验证A、B有一点与原点重合时成立得答案．【详解】解：设线段AB的中点P（x，y），若A、B不与原点重合时，则△AOB是直角三角形，且∠O为直角，则OP=12AB，而AB＝2∴OP＝a，即P的轨迹是以原点为圆心，以a为半径的圆，方程为x2+y2＝a2（a＞0）；若A、B有一个是原点，同样满足x2+y2＝a2（a＞0）．故线段AB的中点的轨迹方程为：x2+y2＝a2（a＞0）．表示圆心在原点半径为a的圆.拓广探索16．已知动点M与两个定点O0,0，A3,0的距离的比为12【答案】(x+1)2+y2=4【分析】设出点M,根据题意列出等式，化简即为答案.【详解】设点M(x,y).则MOMA=为以(-1,0)为圆心2为半径的圆.17．在半面直角坐标系中，如果点P的坐标x,y满足x=a+rcosθy=b+rsinθ，其中θ为参数．证明：点P【分析】将参数方程化为普通方程可证得结果.【详解】由x=a+rcosθy=b+rsinθ可得x-ar=cosθy-br=sinθ2.5直线与圆、圆与圆的位置关系2.5.1直线与圆的位置关系例1已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+v2-2y-4=0，判断直线l与圆C分析：思路1：将判断直线l与圆C的位置关系转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解；若相交，可以由方程组解得两交点的坐标，利用两点间的距离公式求得弦长．思路2：依据圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系；若相交，则可利用勾股定理求得弦长．解法1：联立直线l与圆C的方程，得3x+y-6=0,①消去y，得x2-3x+2=0，解得x1所以，直线l与圆C相交，有两个公共点．把x1=2，x2=1分别代入方程①，得所以，直线l与圆C的两个交点是A(2,0)，B(1,3)．因此|AB|=(1-2)解法2：圆C的方程x2+y2-2y-4=0可化为x2+(y-1)2=5，因此圆心d=|3×0+1-6|所以，直线l与圆C相交，有两个公共点．如图2.5-1，由垂径定理，得|AB|=2r图2.5-1例2过点P(2,1)作圆O:x2+y2分析：如图2.5-2，容易知道，点P(2,1)位于圆O:x2+y2=1外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切．我们设切线方程为图2.5-2解法1：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为y-1=k(x-2)，即kx-y+1-2k=0．由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得|1-2k|k2解得k=0或43因此，所求切线l的方程为y=1，或4x-3y-5=0．解法2：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为y-1=k(x-2)．因为直线l与圆相切，所以方程组y-1=k(x-2),只有一组解．消元，得k2+1因为方程①只有一个解，所以Δ=4k解得k=0或43所以，所求切线l的方程为y=1，或4x-3y-5=0．练习1．判断下列各组直线l与圆C的位置关系：（1）l:x-y+1=0，

圆C:x（2）l:3x+4y+2=0，

圆C:x（3）l:x+y+3=0，

圆C:x【答案】（1）直线与圆相交；（2）直线与圆相切；（3）直线与圆相离；【分析】计算圆心到直线的距离，与半径比较大小，即可判断；【详解】解：（1）圆C:x2+y2圆心到直线l:x-y+1=0的距离d=0-0+1（2）圆C:x2+y2-2x=0，即圆圆心到直线l:3x+4y+2=0的距离d=3+4×0+2（3）圆C:x2+y2+2y=0，即圆圆心到直线l:x+y+3=0的距离d=0-1+312．已知直线4x+3y-35=0与圆心在原点的圆C相切，求圆C的方程．【答案】x【分析】依题意，利用直线与圆相切的几何特征，圆心到直线的距离等于半径，列出方程求半径，即可得到圆的方程.【详解】圆心在原点即圆心为(0,0)，因为直线与圆C相切，故圆心到直线的距离等于半径，则r=|-35|4所以圆的方程为x23．判断直线2x-y+2=0与圆(x-1)2【答案】相交，8【分析】根据题意，求圆心到直线的距离d=25=2【详解】解：由圆的方程(x-1)2+(y-2)2所以圆心到直线2x-y+2=0的距离为：d=2所以2x-y+2=0与圆(x-1)2所以直线被圆截得的弦长为l=2r例3图2.5-3是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度：AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2图2.5-3图2.5-4分析：建立如图2.5-4所示直角坐标系，要得到支柱A2P2解：建立如图2.5-4所示的直角坐标系，使线段AB所在直线为x轴，O为坐标原点，圆心在y轴上，由题意，点P，B的坐标分别为(0,4)，(10,0)．设圆心坐标是(0,b)，圆的半径是r，那么圆的方程是x2下面确定b和r的值．因为P，B两点都在圆上，所以它们的坐标(0,4)，(10,0)都满足方程x20解得b=-10.5，r2所以，圆的方程是x2把点P2的横坐标x=-2(-2)2即y+10.5=14.52-(-2)2y=14.52-答：支柱A2P2例4一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中心正北30km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？分析：先画出示意图，了解小岛中心、轮船、港口的方位和距离．如图2.5-5，根据题意，建立适当的平面直角坐标系，求出暗礁所在区域的边缘圆的方程，以及轮船返港直线的方程，利用方程判断直线与圆的位置关系，进而确定轮船是否有触礁危险．图2.5-5解：以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图2.5-5所示的直角坐标系．为了运算的简便，我们取10km为单位长度，则港口所在位置的坐标为(0,3)，轮船所在位置的坐标为(4,0)．这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为x2轮船航线所在直线l的方程为x4+y联立直线l与圆O的方程，得3x+4y-12=0,消去y，得25x由Δ=(-72)所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险．练习4．赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m．求这座圆拱桥的拱圆的方程．【答案】x【分析】根据题意以拱高所在直线为y，如图建立平面直角坐标系，再求圆的方程.【详解】解：根据题意，以拱高所在直线为y，如图建立平面直角坐标系，根据题意得：OC=7.2，OB=OA=18.7，此时圆心在y轴上，圆心为D，半径为r，则OD=r-OC=r-7.2，所以在Rt△OBD中，BD2=O解得：r=27.88，所以OD=r-7.2=20.68设所求圆的方程为x2即拱圆的方程为：x5．某圆拱桥的水面跨度20m，拱高4m，现有一船，宽10m，水面以上高3m，这条船能否从桥下通过？【答案】该船可以从桥下通过【分析】建立适当平面直角坐标系，如图所示，得出A，B，P，D，E各点的坐标，设出圆的标准方程，将A，B【详解】建立如图所示的坐标系.依题意，有A(－10,0)，B(10,0)，P(0,4)，D(－5,0)，E(5,0).设所求圆的方程是(x-a)2于是有a+10解此方程组，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5，所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4).把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1.由于船在水面以上高3m，3＜3.1，所以该船可以从桥下通过.6．在一个平面上，机器人从与点C5,-3的距离为9的地方绕点C顺时针而行，在行进过程中保持与点C的距离不变．它在行进过程中到过点A-10,0与【答案】最近距离和最远距离分别是1056161-9【分析】由题意可得机器人的运行轨迹为(x-5)2+(y+3)【详解】∵机器人到与点C(5,-3)距离为9的地方绕C点顺时针而行，在行进过程中保持与点C的距离不变，∴机器人的运行轨迹为(x-5)2∵A(-10,0)与B(0,12)，∴直线AB的方程为y=12-00+10(x+10)则圆心C到直线AB的距离为d=|5×6+5×3+60|∴最近距离和最远距离分别是1056161-92.5.2圆与圆的位置关系例5已知圆C1:x2+y2分析：思路1：圆C1与圆C思路2：借助图形，可以依据连心线的长与两半径的和r1+r解法1：将圆C1与圆Cx①-②，得x+2y-1=0，③由③，得y=1-x把上式代入①，并整理，得x2-2x+3=0方程④的根的判别式Δ=(-2)所以，方程④有两个不相等的实数根x1，x2．把x1，x2分别代入方程③，得到因此圆C1与圆C2有两个公共点Ax解法2：把圆C1(x+1)2圆C1的圆心是(-1,-4)，半径r把圆C2(x-2)2圆C2的圆心是(2,2)，半径r圆C1与圆C(-1-2)2圆C1与圆C2的两半径之和r1因为5-10<35<5+10，即r1-r2<35图2.5-6例6已知圆O的直径AB=4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的2倍．试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系．分析：我们可以通过建立适当的平面直角坐标系，求得满足条件的动点M的轨迹方程，从而得到点M的轨迹；通过研究它的轨迹方程与圆O方程的关系，判断这个轨迹与圆O的位置关系．解：如图2.5-7，以线段AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．由AB=4，得A(-2,0)，B(2,0)．设点M的坐标为(x,y)，|MA|=2(x+2)2化简，得x2-12x+y所以点M的轨迹是以P(6,0)为圆心，半径为42的一个圆（图2.5-7因为两圆的圆心距为|PO|=6，两圆的半径分别为r1=2，r2=42，又r图2.5-7练习7．已知圆C1:x2+y2【答案】外切【分析】将圆的方程化为标准式，求出圆心坐标与半径，计算出圆心距，即可判断；【详解】解：圆C1:x2+圆C2:x2+y所以C1C所以两圆相外切；8．已知圆C1:x2+y2+2x+3y+1=0，圆C2:x【答案】证明见解析，公共弦所在直线的方程为2x+1=0.【分析】依题意求得圆C1和圆C2的圆心和半径，进而根据圆心距和两圆半径的关系可证得结果；将两圆方程相减可得公共弦【详解】圆C1的标准方程为x+12+y+3圆C2的标准方程为x+22+y+3两圆圆心距d=C1C2=1所以r1-r2<d<r将圆C2和圆C1的方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程为习题2.5复习巩固9．判断直线4x-3y=50与圆x2【答案】直线与圆相切；(8,-6)【分析】用圆心到直线的距离与半径比较得到位置关系,再联解确定公共点坐标得解【详解】x2+y2