应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第三章部分习题解答)

1、应用多元统计分析,第三章习题解答,.,2,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3-1 设XNn(,2In), A为对称幂等阵,且rk(A)=r(rn),证明,证明 因A为对称幂等阵，而对称幂等阵的特征值非0即1,且只有r个非0特征值，即存在正交阵(其列向量ri为相应特征向量)，使,.,3,第三章 多元正态总体参数的检验,.,4,其中非中心参数为,第三章 多元正态总体参数的检验,.,5,3-2 设XNn(,2In), A，B为n阶对称阵.若AB 0 ,证明XAX与XBX相互独立. ,证明的思路：记rk(A)=r. 因A为n阶对称阵,存在正交阵,使得 A=diag(1,r 0,.,0) 令YX，则

2、YNn(,2In),第三章 多元正态总体参数的检验,且,.,6,又因为 XBX=YB Y= YHY 其中H=B 。如果能够证明XBX 可表示为Yr+1，,Yn的函数，即H只是右下子块为非0的矩阵。 则XAX 与XBX相互独立。,第三章 多元正态总体参数的检验,.,7,证明 记rk(A)=r. 若r=n,由ABO,知B Onn,于是XAX与XBX独立； 若r=0时,则A0,则两个二次型也是独立的. 以下设0rn.因A为n阶对称阵,存在正交阵,使得,第三章 多元正态总体参数的检验,.,8,其中i0为A的特征值(i=1,r).于是,令,r,第三章 多元正态总体参数的检验,由ABO可得DrH11O ，

3、 DrH12O . 因Dr为满秩阵,故有H11Orr，H12Or(n-r) . 由于H为对称阵，所以H21O(n-r)r .于是,.,9,由于Y1，,Yr ,Yr+1 ,Yn相互独立，故XAX与XBX相互独立.,第三章 多元正态总体参数的检验,令YX，则Y Nn(,2In), 且,.,10,设XNp(,),0,A和B为p阶对称阵,试证明 (X-)A(X-)与(X-)B(X-)相互独立 AB0pp.,第三章 多元正态总体参数的检验,3-3,.,11,由“1.结论6”知与相互独立 ,第三章 多元正态总体参数的检验,.,12,性质4 分块Wishart矩阵的分布:设X() Np(0,) (1,n)相

4、互独立，其中,又已知随机矩阵,则,第三章 多元正态总体参数的检验,试证明Wishart分布的性质(4)和T2分布的性质(5).,3-4,.,13,第三章 多元正态总体参数的检验,证明: 设,记, 则,即,.,14,第三章 多元正态总体参数的检验,当12 =O 时,对1,2,n, 相互 独立.故有W11与W22相互独立.,由定义3.1.4可知,.,15,性质5 在非退化的线性变换下,T2统计量保持不变. 证明:设X() (1,n) 是来自p元总体Np(,)的随机样本, X和Ax分别表示正态总体X的样本均值向量和离差阵,则由性质1有,第三章 多元正态总体参数的检验,令,其中C是pp非退化常数矩阵，

5、d是p1常向量。则,.,16,第三章 多元正态总体参数的检验,所以,.,17,第三章 多元正态总体参数的检验,3-5,对单个p维正态总体Np(,)均值向量的检验问题，试用似然比原理导出检验H0:=0(=0已知)的似然比统计量及分布.,解:总体XNp(,0)(00),设X()(=1,n) (np)为来自p维正态总体X的样本.似然比统计量为,P66当=0已知的检验,.,18,第三章 多元正态总体参数的检验,.,19,第三章 多元正态总体参数的检验,.,20,第三章 多元正态总体参数的检验,因,所以由3“一2.的结论1”可知,.,21,第三章 多元正态总体参数的检验,3-6 (均值向量各分量间结构关

6、系的检验) 设总体XNp(,)(0),X()(1,n)(np)为来自p维正态总体X的样本，记(1,p).C为kp常数(kp),rank(C)=k,r为已知k维向量.试给出检验H0:Cr的检验统计量及分布.,解：令,则Y()(1,n) 为来自k维正态总体Y的样本，且,.,22,第三章 多元正态总体参数的检验,检验,这是单个k维正态总体均值向量的检验问题.利用3.2当y = CC未知时均值向量的检验给出的结论,取检验统计量:,.,23,第三章 多元正态总体参数的检验,3-7 设总体XNp(，) (0), X() (1,n)(np)为来自p维正态总体X的样本，样本均值为X，样本离差阵为A.记(1,p

7、).为检验H0:1=2=p ,H1:1,2,p至少有一对不相等.令 ,则上面的假设等价于H0：C=0p-1,H1：C 0p-1 试求检验H0 的似然比统计量和分布.,解：,至少有一对不相等.,.,24,第三章 多元正态总体参数的检验,利用3-6的结果知，检验H0的似然比统计量及分布为：,其中,(注意:3-6中的k在这里为p-1),.,25,第三章 多元正态总体参数的检验,3-8 假定人体尺寸有这样的一般规律:身高(X1),胸围(X2)和上半臂围(X3)的平均尺寸比例是641.假设 X ()(1,n)为来自总体X=(X1,X2,X3)的随机样本.并设XN3(,)，试利用表3.5中男婴这一组数据检

8、验三个尺寸(变量)是否符合这一规律(写出假设H0,并导出检验统计量).,解：检验三个尺寸(变量)是否符合这一规律的问题可提成假设检验问题.因为,其中,注意:,.,26,第三章 多元正态总体参数的检验,检验的假设H0为,利用3-6的结论，取检验统计量为：,由男婴测量数据(p=3,n=6)计算可得 T2=47.1434, F=18.8574, p值=0.009195=0.05, 故否定H0,即认为这组数据与人类的一般规律不一致.,.,27,第三章 多元正态总体参数的检验,3-9,对单个p维正态总体Np(,)协差阵的检验问题，试用似然比原理导出检验H0:=0的似然比统计量及分布.,解:总体XNp(,

9、),设X()(=1,n)为来自p维正态总体X的样本.似然比统计量为,.,28,第三章 多元正态总体参数的检验,.,29,第三章 多元正态总体参数的检验,由定理3.2.1,当n充分大时,有,.,30,第三章 多元正态总体参数的检验,3-10,对两个p维正态总体Np(1),)和Np (2),)均值向量的检验问题，试用似然比原理导出检验H0：(1)=(2)的似然比统计量及分布.,解:设 (1,ni)为来自总体XNp(i),)的随机样本(i=1,2),且相互独立,0未知.检验H0似然比统计量为,记,其中,.,31,第三章 多元正态总体参数的检验,其中 A=A1+A2称为组内离差阵.B称为组间离差阵.,

10、.,32,第三章 多元正态总体参数的检验,因为,似然比统计量,.,33,第三章 多元正态总体参数的检验,所以,.,34,第三章 多元正态总体参数的检验,由定义3.1.5可知,由,或,由于,.,35,第三章 多元正态总体参数的检验,可取检验统计量为,检验假设H0的否定域为,.,36,第三章 多元正态总体参数的检验,3-11,表3.5给出15名2周岁婴儿的身高(X1)，胸围(X2)和上半臂围(X3)的测量数据.假设男婴的测量数据X()(1,6)为来自总体N3( (1)，)的随机样本.女婴的测量数据Y() (1,9)为来自总体N3 (2)，)的随机样本.试利用表3.5中的数据检验H0:(1) =(2

11、) (=0.05).,解:这是两总体均值向量的检验问题. 检验统计量取为(p=3,n=6,m=9):,.,37,第三章 多元正态总体参数的检验,其中,故检验统计量为,用观测数据代入计算可得:,故H0相容.,显著性概率值,.,38,第三章 多元正态总体参数的检验,3-12 在地质勘探中，在A、B、C三个地区采集了一些岩石，测其部分化学成分见表3.6.假定这三个地区岩石的成分遵从N3(i)，i)(i1，2，3)(=0.05). (1) 检验H0：123；H1：1,2,3不全等; (2) 检验H0：(1)(2),H1：(1)(2); (3) 检验H0:(1) (2)(3),H1:存在ij,使(i)(

12、j); (4) 检验三种化学成分相互独立.,解:(4)设来自三个总体的样本为(p=3,k=3),检验H0的似然比统计量为,.,39,第三章 多元正态总体参数的检验,似然比统计量的分子为,.,40,第三章 多元正态总体参数的检验,称为合并组内离差阵.,.,41,第三章 多元正态总体参数的检验,.,42,第三章 多元正态总体参数的检验,似然比统计量的分母为,.,43,第三章 多元正态总体参数的检验,检验H0的似然比统计量可化为:,.,44,第三章 多元正态总体参数的检验,Box证明了，在H0成立下当n时， =-blnV2(f)， 其中,V=0.7253, =-blnV=3.2650, 因 p=0.35250.05. 故H0相容，即随机向量的三个分量(三种化学成分)相互独立.,.,45,第三章 多元正态总体参数的检验,或者利用定理3.2.1,当n充分大时， =-2ln2(f)， 其中 f=p+p(p+1)/2-(p+p)=3,V