模糊数学第一讲

1、数学建模 模糊数学方法,张利利,2020/9/3,模糊数学方法,一、模糊数学的基本概念 二、模糊关系与模糊矩阵 三、模糊数学在建模中的应用 模糊聚类分析法 模糊综合评判法,张利利,2020/9/3,在社会实践中，模糊概念和现象无处不在.如好与坏、大与小、厚与薄、快与慢、长与短、轻与重、高与低、贵与贱、软与硬、深与浅、美与丑、黑与白、早与晚、生与熟、动与静、穷与富、疏与密等等 如何对与这些概念有关问题给出定量分析呢？,模糊数学是研究和处理模糊性现象（或概念） 的数学方法,序 言,张利利,2020/9/3,用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为： 1.确定性现象：如水加温到100oC就沸腾，

2、这种现象的规律性靠经典数学去刻画； 2.随机现象：如掷硬币，观看那一面向上，这种现象的规律性靠概率统计去刻画; 3.模糊现象：如 “今天天气很热”，“小伙子很帅”，等等。 “高个子”, “多云” 都要靠模糊数学去刻画。,序 言,张利利,2020/9/3,一、模糊数学的基本概念,1.模糊集与隶属函数 定义 1 设U是论域，称映射 A(x)：U0,1 确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的隶属函数（隶属度），表示x对A的隶属程度. 使A(x) = 0.5的点x称为A的过渡点，此点最具模糊性. 当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子集，而A(x)就是它的特征函数. 即经典子集就是

3、模糊子集的特殊情形.,张利利,2020/9/3,一、模糊数学的基本概念,1.模糊集与隶属函数,张利利,2020/9/3,对于有限的论域 ，A为U上的任意模糊子集，A(x) 为A的隶属函数，则模糊集的表示法有 (1)扎德（zadeh）表示法,一、模糊数学的基本概念,2.模糊集的表示方法,张利利,2020/9/3,(2)序偶法 (3)向量法,一、模糊数学的基本概念,2.模糊集的表示方法,张利利,2020/9/3,例 1 设论域U = x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一个模糊集“

4、高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为,Zadeh表示法：,还可用向量表示法 A=(0,0.2,0.4,0.6,0.8,1),张利利,2020/9/3,3.模糊集的运算,相等：A = B A(x) = B(x)； 包含：AB A(x)B(x)； 并：AB的隶属函数 (AB)(x)=A(x)B(x)=maxA(x),B(x)； 交：AB的隶属函数为 (AB)(x)=A(x)B(x) =minA(x),B(x)； 余：Ac的隶属函数为 Ac (x) = 1- A(x).,一、模糊数学的基本概念,张利利,2020/9/3,例2 设论域U = x1, x2, x3, x4, x5(商品集)，在U上定

5、义两个模糊集： A =“商品质量好” B =“商品质量坏”，并设,A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1). B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0).,则Ac=“商品质量不好”, Bc=“商品质量不坏”.,Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0). Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1).,可见Ac B, Bc A.,又 AAc = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) U, AAc = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0) .,张利利,2020/9/3,3、隶属函数的确定,一、模糊数学的基本概念,张利利,2020

6、/9/3,3、隶属函数的确定,一、模糊数学的基本概念,张利利,2020/9/3,指派方法:一种主观方法，一般给出隶属函数的 解析表达式。,3.隶属函数的确定,一、模糊数学的基本概念,借用已有的“客观”尺度: 根据问题的实际意义来确定，在经济管理，社会管理中常用。如U表示产品，定义A模糊集“质量稳定”，可用产品的“正品率”作为A的隶属度。,张利利,2020/9/3,常用的隶属函数有偏小型、中间型、偏大型.,3、隶属函数的确定,一、模糊数学的基本概念,张利利,2020/9/3,3、隶属函数的确定,一、模糊数学的基本概念,张利利,2020/9/3,3、隶属函数的确定,一、模糊数学的基本概念,张利利,

7、2020/9/3,偏小型模糊分布一般适合于描述像“小”、“少”、“浅”、“淡”、“冷”、“疏”、“青年”等偏向小的程度的模糊现象 偏大型模糊分布一般适合于描述像“大”、“多”、“深”、“浓”、“热”、“密”、“老年”等偏向大的程度的模糊现象 中间型模糊分布一般适合于描述像“中”、“适中”、“不太多”、“不太少”、“不太深”、“不太浓”、“暖和”、“中年”等处于中间状态的模糊现象,3、隶属函数的确定,一、模糊数学的基本概念,张利利,2020/9/3,二、模糊关系及模糊矩阵,1.模糊关系及模糊矩阵,张利利,2020/9/3,二、模糊关系及模糊矩阵,1.模糊关系及模糊矩阵,张利利,2020/9/3,

8、三、模糊关系及模糊矩阵,2.模糊等价及模糊相似,张利利,2020/9/3,张利利,2020/9/3,3.模糊矩阵间的关系及并、交、余运算 设A=(aij)mn,B=(bij)mn都是模糊矩阵， 定义4 相等：A = B aij = bij； 包含：AB aijbij； 并：AB = (aijbij)mn； 交：AB = (aijbij)mn； 余：Ac = (1- aij)mn.,二、模糊关系及模糊矩阵,张利利,2020/9/3,3.模糊矩阵间的关系及并、交、余运算,二、模糊关系及模糊矩阵,张利利,2020/9/3,定义 5 设 A = (aik)ms，B = (bkj)sn，称模糊矩阵 AB

9、 = (cij)mn， 为A 与B 的合成，其中cij = (aikbkj) | 1ks .,二、模糊关系及模糊矩阵,4.模糊矩阵的合成,张利利,2020/9/3,二、模糊关系及模糊矩阵,4.模糊矩阵的合成,张利利,2020/9/3,定义 6 若A为 n 阶方阵，定义A2 = A A，A3 = A2 A，Ak = Ak-1 A.,二、模糊关系及模糊矩阵,5.模糊方阵的幂,张利利,2020/9/3,6.模糊矩阵的转置 定义 7 设A = (aij)mn, 称AT = (aijT )nm为A的转置 矩阵，其中aijT = aji.,转置运算的性质：,性质1：( AT )T = A； 性质2：( AB )T = ATBT， ( AB )T = ATBT； 性质3：( A B )T = BT AT；( An )T =( AT )n ； 性质4：( Ac )T = ( AT )c ； 性质5：AB AT BT .,二、模糊关系及模糊矩阵,张利利,2020/9/3,设A = (aij)mn,对任意的0, 1，称 A= (aij()mn