时域信号,复频域ppt课件.ppt

1、第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析,4.1 拉普拉斯变换 4.2 拉普拉斯变换的性质与定理 4.3 拉普拉斯反变换 4.4 LTI系统的拉普拉斯变换分析法 4.5 系统函数与复频域分析法 4.6 连续时间系统的模拟及信号流图 4.7 LTI连续系统的稳定性,4.1 拉普拉斯变换,4.1.1 单边拉普拉斯变换 1. 单边拉氏变换定义 因果信号的傅氏正、 反变换为,傅氏变换对于一些指数函数处理不方便, 主要原因是这类函数不收敛, 例如阶跃函数u(t)。 为了使函数收敛， 我们在进行变换时让原函数f(t)乘以e-t， 使得f(t)e-t是一个收敛速度足够快的函数。 即有 f1(t)=f(t

2、)e-t 式中, e-t为收敛（衰减）因子， 且f1(t)满足绝对可积条件。 则,(4.1-1),令+j=s， 式（4.1-1）可表示为,(4.1-2),F1()的傅氏反变换为 ,(4.1-3),式（4.1-3）两边同乘et， et不是的函数， 可放入积分号里， 由此得到,(4.1-4),已知s=+j， ds=d(+j)， 为常量， ds=j d， 代入式（4.1-4）且积分上、 下限也做相应改 变， 式(4.1-4)可写作,(4.1-5),因为e-t的作用， 式(4.1-2)与 (4.1-5)是适合指数阶函数的变换。 又由于式(4.1-2)中的f(t)是t0时为零的因果信号， 故称“单边”变

3、换。 将两式重新表示在一起， 单边拉氏变换定义为,(4.1-6),式中称s=+j为复频率， F(s)为象函数， f(t)为原函数。 ,图 4.1-1 复平面,象函数与原函数的关系还可以表示为,(4.1-7),s=+j可以用直角坐标的复平面（s平面）表示， 是实轴， j是虚轴， 如图4.1-1所示。 ,由以上分析， 并比较式(4.1-6)与傅里叶变换对关系式， 以及式（4.1-2）的推导，可见拉氏变换的基本信号元为est。 虽然单边拉普拉斯变换存在条件比傅氏变换宽， 不需要信号满足绝对可积， 但对具体函数也有变换是否存在及在什么范围内变换存在的问题， 这些问题可由单边拉氏变换收敛区解决。 ,2.

4、 单边拉氏变换收敛区 收敛区是使f(t)e-t满足可积的取值范围， 或是使f(t)的单边拉氏变换存在的取值范围。 由式(4.1-3)的推导可见， 因为e-t的作用， 使得f(t)e-t在一定条件下收敛， 即有,(4.1-8),式中, 0叫做收敛坐标， 是实轴上的一个点。 穿过0并与虚轴j平行的直线叫做收敛边界。 收敛轴的右边为收敛区， 收敛区不包括收敛轴。 一旦0确定，f(t)的拉氏变换的收敛区就确定了。 满足式(4.1-8)的函数， 称为指数阶函数。 这类函数若发散， 借助指数函数的衰减可以被压下去。 指数阶函数的单边拉氏变换一定存在， 其收敛区由收敛坐标0确定。 0的取值与f(t)有关，

5、具体数值由式(4.1-8)计算。 ,以f(t)随时间变化的趋势， 收敛区的大致范围为: 若f(t)是随时间衰减的， 00）的0=-a， 其拉氏变换的收敛区如图4.1-2(a)所示； f(t)是随时间不变的， 0=0， 例如u(t)、 sin0tu(t)， 其拉氏变换的收敛区如图4.1-2(b)所示； f(t)是随时间增长的， 00， 例如eatu(t)（a0）的0=a， 其拉氏变换的收敛区如图 4.1-2(c)所示。,图 4.1-2 收敛区示意图,当00时收敛区不包含虚轴j， 函数的傅氏变换不存在； 当0=0时， 收敛区虽不包含虚轴j， 但函数的傅氏变换存在， 不过有冲激项。 因为指数阶函数的

6、单边拉氏变换一定存在， 所以一般可以不标明收敛区。,4.1.3 常用函数的单边拉普拉斯变换 我们通过求常用函数的象函数， 掌握单边拉氏变换的基本方法。 1. 单位阶跃函数u(t),2. t的指数函数e-atu(t)（a为任意常数）,3. t的正幂函数,即,依此类推，,特别地，,. 冲激函数,通常的拉氏变换的下限都采用 P130表5-1,4.2 拉普拉斯变换的性质与定理,1. 线性 若f1(t) F1(s)， f2(t) F2(s)， 则 k1f1(t)+k2f2(t) k1F1(s)+k2F2(s) k1, k2为任意常数 (4.2-1),证,线性在实际应用中是用得最多最灵活的性质之一。 例如

7、,2. 时延（移位、 延时）特性 若f(t)u(t) F(s)， 则,f(t-t0)u(t-t0) (4.2-2),证,令t-t0=x， t=x+t0， 代入上式得,3. 频率平移（s域） 若f(t) F(s), 则 (4.2-4),4. 尺度变换 若f(t) F(s), 则,其中a0,(4.2-5),证,令 ， 代入上式得,5. 时域微分 若f(t) F(s)， 则,(4.2-6),式中, f(0-)是f(t)在t=0-时的值。 可以将式(4.2-6)推广到高阶导数 ,(4.2-7),式中, f(0-)以及f(r)(0-)分别为t=0-时f(t)以及 时的值。,证,同理, 令 ， 则,依此类

8、推， 可以得到高阶导数的 L 变换,特别地， 当f(t)为有始函数， 即t0， f(t)=0时， 我们有 f(0-)=f(0-)=f(n-1)(0-)=0 则式(4.2-6) 、 (4.2-7)可分别化简为,(4.2-8a),(4.2-8b),式中, s为微分因子。,6. 复频域微分 若L f(t)=F(s)， 则,(4.2-14),证,(变换运算次序),可以推广至复频域的高阶导数,利用这一性质可证明t的正幂函数的象函数,7. 时域积分 若f(t)u(t) F(s)， 则,(4.2-9),式中, f(-1)(t)表示积分运算， ,证,利用任意函数与阶跃卷积,其中,(4.2-10),(4.2-1

9、1),(4.2-12),特别的， 如果f(t)为因果信号， 则,特别的， 如果f(t)为因果信号， 则 ， 式(4.2-9)为,(4.2-13),式中, 1/s为积分因子。,8. 时域卷积定理 若f1(t) F1(s), f2(t) F2(s)， 则 f1(t)*f2(t) F1(s)F2(s) (4.2-18) 证 因为f1(t)、 f2(t)为有始函数， 所以,交换积分次序,利用延时特性,9. 初值定理 设有f(t)、 f(t)， 且L f(t)、 L f（t)存在， 则,(4.2-16),初值定理只适用f(t)在原点处没有冲激的函数。,证 由时域微分性质我们有,比较等式左、 右两边得,(交换积分与取极限次序),10. 终值定理 设有f(t)、 f(t)， 且L f(t)、 L f(t)存在, 则f(t)的终值,(4.2-17),终值适用的条件是sF(s)的所有极点在s平面的左 半面(F(s)可有在原点处的单极点)。,证 利用上面的结果,令s0, 两边取极限得,4.3 拉普拉斯反变换,拉普拉斯反（逆）变换是将象函数F(s)变换为原函数f(t)的运算。 式(4.1-6)给出为,