（江苏专用）2020版高考数学总复习第二节不等式的证明和几个重要不等式的应用课件苏教版选修4_5.pptx

1、第二节不等式的证明和几个重要不等式的应用,1.不等式证明的常用方法,2.不等式证明的其他方法和技巧,3.柯西不等式,教材研读,考点一 比较法证明不等式,考点二 综合法、分析法证明不等式,考点突破,考点三 均值不等式的应用,考点四 柯西不等式的应用,1.不等式证明的常用方法 (1)比较法:比较法是证明不等式的一种最基本的方法,比较法有差值法、比值法两种形式,但比值法必须考虑正负. 比较法证明不等式的步骤:作差(商)、变形、判断符号(与1的大小关系).其中变形的主要方法有分解因式、配方,判断过程必须详细叙述.,教材研读,(2)综合法:综合法就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发,不断用必要条件

2、替换前面的条件,直到推出要证明的结论,即“由因导果”,在使用综合法证明不等式时,常常用到基本不等式. (3)分析法:分析法就是从所要证明的不等式出发,不断地用充分条件替换前面的条件,直到推出显然成立的结论,即“执果索因”.,2.不等式证明的其他方法和技巧 (1)反证法 从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定结论是正确的证明方法. (2)放缩法 欲证AB,可通过适当放大或缩小,借助一个或多个中间量,使得AC1C2CnB,利用传递性达到证明的目的.,3.柯西不等式 若a、b、c、d均为实数,则(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时取等号

3、. 柯西不等式的一般形式:设a1、a2、an、b1、b2、bn为实数,则( +)(+)(a1b1+a2b2+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2, ,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,n)时,等号成立.,1.(2019江苏镇江高三模拟)已知a0,b0,求证:(a2+b2+ab)(ab2+a2b+1) 9a2b2. 证明因为a0,b0, 所以a2+b2+ab3=3ab0, ab2+a2b+13=3ab0. 所以(a2+b2+ab)(ab2+a2b+1)9a2b2, 当且仅当a=b=1时等号成立.,2.(2017江苏常州教育学会高三检测)已知x0,y0,且2x+y=6,求4x

4、2+y2的最小值.,解析根据柯西不等式得,(2x)2+y2(12+12)(2x+y)2, 化简得4x2+y218, 当且仅当2x=y=3,即x=,y=3时取等号. 所以当x=,y=3时,4x2+y2取得最小值18.,3.(2018年江苏高考信息预测)已知x,y,z均为正实数,且x+y+z=1,求证:+ +1. 证明因为x0,y0, 所以+x2=2y,当且仅当x=y时等号成立. 同理可得+y2z,当且仅当y=z时等号成立; +z2x,当且仅当x=z时等号成立.,所以+2+2+2,当且仅当x=y =z时等号成立. 所以+x+y+z. 又因为x+y+z=1, 所以+1,当且仅当x=y=z=时等号成立

5、.,考点一 比较法证明不等式 典例1(2019江苏扬州中学高三模拟)设a,b,c,d都是正数,且x=,y =.求证:xy. 证明(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(a2c2+a2d2+b2c2+b2d2)-(a2c2+2abcd+b2d2) =(ad-bc)20, (a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2 . 又a,b,c,d都是正数,考点突破,ac+bd0. 同理ad+bc0. x=,y=, xy. 方法技巧 比较法证明不等式最常用的是作差法,其基本步骤如下:作差;变形;判断差的符号;下结论.其中“变形”是关键,通常将差变形成因式乘积的形式或平方和的形式,再结合不等式的性质

6、判断正负.,1-1(2017江苏南京、盐城、连云港高三模拟)设ab,求证:a4+6a2b2+ b44ab(a2+b2).,证明a4+6a2b2+b4-4ab(a2+b2)=(a2+b2)2-4ab(a2+b2)+4a2b2=(a2+b2-2ab)2=(a-b)4. 因为ab,所以(a-b)40. 所以a4+6a2b2+b44ab(a2+b2).,考点二 综合法、分析法证明不等式,典例2(2018江苏淮安第二次月考)已知a,bR,abe(其中e是自然对数的底数),求证:baab. 证明因为abe,所以ba0,ab0,所以要证 baab, 只要证aln bbln a,即证. 令f(x)=,因为f

7、(x)=, 所以当xe时, f (x)0.,所以函数f(x)在(e,+)上单调递减. 所以当abe时,有f(b)f(a), 即.所以baab.,典例3已知x,y,z均为正数.求证:+. 证明x,y,z都是正数, +=,当且仅当x=y时等号成立. 同理可得+,当且仅当y=z时等号成立,+,当且仅当x=z 时等号成立. 将上述三个不等式两边分别相加,并除以2,得+(当且仅当x=y=z时,等号成立).,方法技巧 证明较复杂的不等式时,通常把分析法和综合法结合起来使用,用分析法寻找证明的思路,用综合法叙述、表达整个证明过程.,2-1(2018江苏南通高三第二次调研)已知a,b,c均为正实数,且a+b+

8、c=, 求证:2. 证明因为a,b,c均为正实数,且a+b+c=, 所以= =2(当且仅当a=b=c时取“=”).,2-2(2018苏锡常镇四市高三调研)已知x,y都是正数,且xy=1,求证:(1+x+y2)(1+y+x2)9. 证明因为x,y都是正数,所以1+x+y230,1+y+x230,即(1+ x+y2)(1+y+x2)9xy.又因为xy=1,所以(1+x+y2)(1+y+x2)9.,典例4(2018江苏南通中学高三考前冲刺)已知正数x,y,z满足x+y+z=1,求+的最小值.,考点三 均值不等式的应用,解析因为x,y,z都为正数,且x+y+z=1, 所以3 =(x+2y)+(y+2z

9、)+(z+2x) =1+1+1+ 3+2+2+2=9. 当且仅当x=y=z=时等号成立.,所以+的最小值为3.,方法技巧 基本不等式、均值不等式是证明不等式的重要工具,注意基本不等式的正向应用、逆向应用和变形应用以及不等式应用的条件.,3-1(2018江苏四校高三调研)已知x,y均为正数,且xy,求证:2x+2y+3. 证明因为x0,y0,x-y0, 所以2x+-2y=2(x-y)+ =(x-y)+(x-y)+3=3, 当且仅当x-y=1时取等号.,所以2x+2y+3.,考点四 柯西不等式的应用,典例5(2019江苏南京高三第三次模拟)已知a,b,c(0,+),且a+b+c=1,求+的最大值.

10、,解析因为(12+12+12)()2+()2+()2(1+1 +1)2, 所以(+)29(a+b+c). 又因为a+b+c=1,所以(+)29. 所以+3, 当且仅当=1,即a=b=c=时等号成立. 所以+的最大值为3.,典例6(2018苏锡常镇四市高三调研)已知实数a,b,c满足a+2b+c=1,a2+b2+c2=1,求证:-c1. 证明因为a+2b+c=1,a2+b2+c2=1, 所以a+2b=1-c,a2+b2=1-c2. 由柯西不等式得(12+22)(a2+b2)(a+2b)2, 即5(1-c2)(1-c)2. 整理得,3c2-c-20,解得-c1.,所以-c1.,方法技巧 利用柯西不等式证明的关键是恰当变形,化为符合柯西不等式结构的形式,当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一样的形式时,就可使用柯西不等式进行求解.,4-1(2018