理论力学习题2.ppt

1、2.1求均匀扇形薄片的质心，此扇形的半径为a，所对的圆心角为2 ，并证半圆片的质心离圆心的距离为 。,解：如图所示。以扇形薄片顶点为坐标原点，建立坐标轴ox，由对称性知，质心必在x轴上。,对于半圆片,设均匀扁形薄片面密度为 ，则：,2.3 重W为的人，手里拿着一个重为w的物体，此人用与地平线成 角的速度 向前跳去，当他达到最高点时，将物体以相对速度u水平向后抛出。问由于物体的抛出，跳的距离增加了多少？,解：如图所示，建立固定坐标系,设人抛出物体后的速度为 ，物体抛出后相对于地面的速度为 ，方向如图所示，且：,人抛出物体前后水平方向无外力作用，动量守恒。则有：,所以人落地时跳的距离增加为：,到达

2、最高点时， 则：,比不抛重物速度增加：,2.4 质量为m1的质点，沿倾角为 的光滑直角劈滑下，劈的本身质量为m2，又可在光滑水平面上自由滑动，试求：(a) 质点水平方向的加速度 ；(b) 劈的加速度 ；(c) 劈对质点的反作用力R1；(d) 水平面对劈的反作用力R2。,解：取隔离体，受力分析如图所示。建立固定直角坐标系 ，动系,质点m1的运动微分方程为：,方向,方向：,以上六式联立可解出：,方向：,方向：,直角劈的运动微分方程为：,2.5 半径为a，质量为M的薄圆片，绕垂直于圆片并通过圆心的竖直轴以匀角速 转动，求绕此轴的动量矩。,解：如图所示，将圆片分成许多小圆环，厚度为 ，薄圆片面密度:,

3、半径为r的小圆环的质量：,速度为：,动量矩：,其大小：,整个圆片对轴的动量矩方向相同，则大小为：,2.7 质量为M，半径为a的光滑半球，其底面放在光滑的水平面上，有一质量为m的质点沿此半球面滑下，设质点的初位置与球心的连线和竖直向上的直线间所成之角为 ，并且初始时此系统是静止的，求此质点滑到它与球心的连线和竖直向上直线间所成之角为 时之 值。,解：如图所示，设质点相对半球的速度为 （沿切线），半球相对地的速度为 ，方向水平向左，取地面为惯性参照系，水平方向合外力为零，动量守恒，有：,只有保守力作功，机械能守恒。,（1）,（2）,（1）（2）两式联立得：,（1）,（2）,2.8 一光滑球A与另一

4、静止的光滑球B发生斜碰，如两者均为完全弹性体，且两球的质量相等，则两球碰后的速度互相垂直，试证明之。,证明：由动量守恒得：,由机械能守恒得：,(1),(2),用 分别点乘（3）式后相加得：,由（4）式知：,又证：由（3）得：,由（4）式知：,(4),(3),用 分别点乘（3）式后相加得：,你觉得这种看法对吗？如不正确，错在什么地方？,答：此看法不对。题中在利用对固定点（岸）的动能定理时，没有考虑铁球抛出前后船和人的速度变化，从而未计入船和人的动能，造成错误，正确做法是：,设船和人的质量为M，球的质量为m，以岸为参照系，设铁球抛出后船和人的速度为U，而铁球相对船的速度为v ，方向如图所示。,2.

5、8 轮船以速度V行驶，一人在船上将一质量为m的铁球以速度v向船首抛去，有人认为：这时人做的功为：,如果：,在此过程中，人所作的功为：,将 代入 中 ：,此过程中，水平方向无外力作用，动量守恒则：,在铁球抛出前后，其初动能和末动能为：,2.11 在光滑的水平桌面上，有质量为m的两个质点，用一不可伸长的绳紧直相连，绳长为a，设其中一质点受到一个与绳正交的冲量I的作用，求证此后两质点将各作圆滚线运动，且其能量之比为： ，式中t为冲力作用的时间。,证：设体系质心速度为vc，则：,所以质心作匀速直线运动.,在质心系 中，由动量矩守恒得：,两质点绕质心转动的角速度，上式表明 为常数，表明两质点绕质心作匀速

6、圆周运动，且：,由科尼希定理得：,（1）（2）两式代入（3）得：,在质心坐标系中，两质点的坐标为：,在静止坐标系o-xy中，两质点的坐标为：,这两组方程均为摆线的参数方程，故两质点作摆线运动。,两质点的能量为：,其能量之比为：,2.6 一炮弹的质量为M1+M2，射出时的水平及竖直分速度为U和V，当炮弹达到最高点时，其内部的炸药产生能量E，使此炸弹分为M1及M2两部分，在开始时，两者仍按原方向飞行，试求它们落地时相隔的距离，不计空气阻力。,解法1：选地面为参照系，建立坐标系,设炸药分为M1、M2两部分后，其相对地的速度为U1、U2，方向沿原方向，如图所示.,M1、M2 落地时相隔的距离为：,竖直

7、方向速度：,、两式联立求出U1和U2，则M1、M2两者之间速度差为：,(1),(2),解法2：选M1、M2构成的质点组的质心为参照系，设炸药爆炸后相对质心的速度分别为 和 ，方向相同。,在质心坐标系中，水平方向动量守恒：,(1),故落地时两者相隔的距离为：,到达最高点：,、两式联立求出 ，则 两者之间速度差为：,(2),(1),2.10 质量为m2的光滑球用一不可伸长的绳系于固定点A，另一质量为m1的球以与绳成 角的速度 与m2正碰，试求m1 及m2碰后开始运动的速度 及 ，设恢复系数e为已知。,解：m2被限制在圆周上运动，在垂直于绳的方向上动量守恒：,(1),在两球心连线上，由恢复系数e的定

8、义有：,(2),（1）（2）两式联立得：,(1),(2),2.12 质量为m1的球以速度 与质量为m2的静止球正碰，求碰撞后两球相对质心的速度 和 。又起始时，两球相对于质心的动能是多少？恢复系数为e已知。,解：设两球碰撞前、后相对质心的速度大小为V1、V2及 、 方向相同,则两球碰前相对质心的速度：,碰前两球相对质心的动能：,（1）（2）两式联立得：,2.13 长为l的均匀细链条伸直地平放在水平光滑桌面上，其方向与桌边缘垂直，此时链条的一半从桌上下垂，起始时，整个链条是静止的，试用两种不同的方法，求此链条的末端滑到桌子的边缘时，链条的速度v.,解：方法1，用质心运动定理求解,如图所示，建立坐标ox，以整个链条为研究对象，任意时刻垂下链条受到的力为：,由质心运动定理有：,积分：,方法2 ：由动能定理得：,方法3：由机械能守恒得：（以桌面为零势面）,方法4：由变质量动力学方程求解,本问题属于： ，其动力学方程简化为：,以垂下链条为主体， （ 为链条的线密度）对（1）式投影：,（2）（3）两式联立得：,(1),2.16 雨滴下落时，其质量的增加率与雨滴的