张量网络态重整化

1、Renormalization of Tensor Network States,张量网络态重整化,陈勇 3. 15 . 2016,目录,1 对于量子多体强关联系统的介绍 2 对于此类系统研究方法的发展 3 介绍张量网络态重整化研究多体系统 4 此方法与其他方法的对比（优点）,对于量子多体强关联系统的介绍,对于这样一个量子多体系统，每一个格点上都有一个量子态 这些量子态相邻之间或次近邻间有相互作用 如何用波函数来完整描述整个系统的状态，以及格点之间的关联作用？,Entanglement Entopy between A and B L: number of bonds on the inter

2、face between A and B : minimal number of basis states needed for describing the wavefunction,对于量子多体强关联系统的介绍,对于量子多体强关联系统的介绍,对于弱关联多体系统的研究方法（Strong coupling approach） 截断多体系统基空间（truncated many body basis space） 量子蒙特卡洛方法 Quantum Monte Carlo 重正化方法 Numerical Renormalizatio,对于弱关联多体系统的研究方法（Weak coupling appr

3、oach） 用单粒子近似方法 (single particle approximation) 哈里克-福特近似 Hartree-Fock Theory 密度泛函理论 Density Functional Theory,蒙特卡洛方法简单介绍（ISing Modle）,二维 ISing Modle,第假设i个节点是一个小磁针，每个小磁针有上下两种状态，我们用 来表示这个状态，并且 表示磁针朝上或者朝下。网格上相邻的两个小磁针可以发生相互作用,总能量为：,蒙特卡洛方法简单介绍（ISing Modle）,二维 ISing Modle,下面我们来讨论Ising模型的计算机模拟。有趣的是，先让每个小磁针的

4、状态发生随机变化，再根据能量来依概率接受这种状态变化，系统下一时刻的状态并不是直接取为该状态组合，而是以概率发生：,概率为 u,概率为 1-u,蒙特卡洛方法简单介绍（ISing Modle）,二维 ISing Modle,按照上述算法，系统可以最终达到如下的概率分布状态：,这个分布就是波尔兹曼分布,蒙特卡洛方法简单介绍（ISing Modle）,模拟结果：,T小于Tc,T约等于Tc（临界状态）,T大于Tc,二维模型的重整化简单介绍,什么是制约Ising模型最核心的因素呢？根据统计力学，我们知道，这个核心因素就是 配分函数：,通过Z(H,T)，我们可以求出一切Ising模型的热力学量。,平均磁场

5、强度,磁导率,比热,二维模型的重整化简单介绍,重正化包含两大步骤： （1）对系统进行粗粒化，从两个不同的尺度上描述Ising模型 （2）写出两个不同尺度下的配分函数，让它们的形式彼此相同。（卡丹诺夫（Kadanoff）变换）,图(a)到图(b)中的灰色方格的小磁针忽略掉，只保留白色格子的小磁针。,图(b)到图(b)旋转45度并将尺度缩小 倍就可以得到跟原模型一致的Ising模型。,二维模型的重整化简单介绍,图（c）新标度的配分函数,记,图（a）的配分函数,让这个新的配分函数保持与原来的配分函数一致,（1）,（2）,（3）,然后求出,进而得到重整化方程,二维模型的重整化简单介绍,求解这个方程的迭

6、代不动点，我们得到了一个非o解：,这是一个非平凡的不动点。因此，我们通过,得到了二维Ising模型的临界温度。,Classical Lattice Statistical Model =Tensor Network Model,即用张量网络态来代替表示经典系统格点间的相互作用,张量网络态重整化,张量网络态重整化,第一步：粗粒化（把相邻的两个张量变成一个）,其中,张量网络态重整化,第二步：通过高阶奇异值分解确定变换酉矩阵,是核心张量，满足：,正交性,有序性,张量网络态重整化,第三步：对张量进行重整化（renormalize the tensor）,按照核心张量的规范对M的维数进行截断,张量网络态

7、重整化,第四步：粗粒化加截断循环过程完成以后得到：,然后根据配分函数求出系统的各种热力学性质,张量网络态重整化,以XY Model 为例,哈密顿量：,配分函数为：,定义每个格点张量,配分函数改写为：,张量网络态重整化,重复上面讨论的四个步骤，得到XY模型的最终配分函数，然后求出系统的热力学性质，如图：,计算结果与MC结果比较，看出HOTRG方法是比较准确的,对张量网络态重整化方法的改进（HOSRG）,但是HOTRG并不是最准确的，改进后的HOSRG方法更加提高了结果的准确度。,原理：HOSRG方法将系统与环境的相互作用考虑在内，所以是更准确的，依据的最大化熵的方法。,对HOSRG方法的介绍,H

8、OSRG主要分为两个迭代过程,1：向前迭代过程（Forward iterations）: :用HOTRG 去确定U (n) 和 T (n),2：反向迭代过程(Backward iterations) :计算环境张量E,计算环境的示意图,对HOSRG方法的介绍,HOSRG步骤,第一步：先用HOTRG方法将系统缩小到一个可操作的大小， ， N=,第二步：根据上面的公式求出环境块，刚开始的环境块 是个单位张量,第三步：构造一个密度矩阵来重新定义 ，再用 对 进行修正，并且不断迭代，直到所有的系统和环境块都收敛。,对密度矩阵对角化,对HOSRG方法的介绍,HOSRG的准确度,从TRG到HOTRG是数学方法的差别，但是SRG和HOSRG从物理上修正了误差，可以看出考虑了环境的影响后，结果是更加准确的,HOSRG方法应用到三维ISing模