行列式乘法法则.ppt

1、4 n级行列式的性质,5 行列式的计算,6 行列式按一行(列)展开,3 n级行列式,2 排列,1 引言,7 克拉默(Cramer)法则,8 拉普拉斯(Laplace)定理 行列式的乘法法则,第二章 行列式,1用消元法解二元线性方程组,(1),(2),2.1 引言,原方程组有唯一解,由方程组的四个系数确定,若记,则当时该方程组的解为,2在三元一次线形方程组求解时有类似结果,即有方程组,当 时，有唯一解,其中,n元一次线性方程组,它的解是否也有类似的结论呢？,历史资料：17世纪末，莱布尼兹在研究线性方程组的解时, 首先 使用现在称为结式的一个行列式. 大约1729年，马克劳林开始用 行列式方法解含

2、2-4个未知量的线性方程组，克莱姆1750年给出 行列式求解线性方程组的重要结论，即克莱姆法则. 这些早期工 作大都是为了研究方程组而利用行列式这一工具，以求得到方程 组解的简洁表达式.对行列式的系统研究第一人是法国人范德邦, 而行列式这一名词则由柯西给出，现今符号是凯莱1841年引进的. 东方最早给出行列式概念的是日本人关孝和（早于莱布尼兹）.,为此，本章依次解决如下问题：,2）n级行列式的性质与计算？,1）怎样定义n级行列式？,3）方程组()在什么情况下有解？,有解的情况下，如何表示此解？,一、排 列,二、逆序逆序数,2.2 排列,三、奇排列 偶排列,四、对换,一、排列,定义,称为一个 级

3、排列,由1，2，n 组成的一个有序数组,123，132，213，231，312，321,如，所有的3级排列是,共6=3！个.,(阶乘),注：,所有不同级排列的总数是,二、逆序逆序数,我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.,定义,一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数,在一个排列中，如果一对数的前后位置,与标准次序相反，即前面的数大于后面的数，,则称这对数为一个逆序；, 排列 123 称为标准排列，其逆序数为,注：, 排列 的逆序数常记为,后面比 小的数的个数,后面比 小的数的个数.,后面比 小的数的个数,或前面比 大的数的个数,前面比 大的数的个数,

4、前面比 大的数的个数,方法一,方法二,例1排列 31542 中，逆序有,31，,32，,54，,52，,42,的逆序数.,例2求 级排列,解：,方法一,逆序数为奇数的排列称为奇排列；,逆序数为偶数的排列称为偶排列,三 、奇排列、偶排列,定义,标准排列 123 为偶排列,注：,练习：求下列排列的逆序数并讨论其奇偶性,（1）,（2）,答案:,当 时为偶排列；,当 时为奇排列.,当 n 为偶数时为偶排列，,当 n 为奇数时为奇排列.,方法一,方法二,（2）,四 、对换,1.定义,把一个排列中某两个数的位置互换，而,其余的数不动，得到另一个排列，这一变换,称为一个对换,将相邻两个元素对调，叫做相邻对换

5、,证明,1) 特殊情形：作相邻对换,除 外，其它元素所成逆序不改变.,对换改变排列的奇偶性即经过一次对换，,奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列,2.定理1,设排列为,当 时，,经对换后 所成逆序不变 ， 的逆序减少1个.,因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.,设排列为,当 时，,现来对换 与,2)一般情形,所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.,设在全部 阶排列中，有 个奇排列， 个 偶排列，下证,将 个奇排列的前两个数对换，则这 个奇排列 全变成偶排列，并且它们彼此不同，,同理，将 个偶排列的前两个数对换，则这 个 偶排列全变成奇排列，并且它们彼此不同，,推论1,证明,故,一

6、系列对换互换，并且所作对换的次数与这个,任意一个排列与标准排列 都可经过,排列的奇偶性相同,3.定理2,由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数,因此知结论成立.,证明,而标准排列是偶排列（逆序数为0）,一、 行列式定义,二、n 级行列式的等价定义,2.3 n 级行列式,一、行列式的定义,1. 二级行列式,2. 三级行列式,沙路法,对角线法,3. n 级行列式的定义,等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积,(1),每一项（1）都按下列规则带有符号：,当 为奇排列时（1）带负号；,当 为偶排列时（1）带正号；,n 级行列式,的代数和，这里 为的排列.,即,这里 表示对所有1、2、 、

7、 n的n级排列求和,注:,第 i 行第 j 列的元素， i 称为行指标， j 称为列指标.,3) n级行列式定义展开式中共有n！项,1) 行列式 常简记为 或,主对角线,副对角线,例1计算行列式,例2.,一般地,对角形行列式,类似可得：,上三角形行列式,下三角形行列式,例3.,由n级行列式定义， 是一个的多项式函数，,且最高次幂为 ,显然含 的项有两项:,与,即 与,中 的系数为-1.,解:,这里 表示对所有1、2、 、 n的n级排列和,二、n 级行列式的等价定义,证明：,按行列式定义有,记,对于D中任意一项,总有且仅有 中的某一项,与之对应并相等;,反之，,对于 中任意一项,也总有且仅有D中

8、的某一项,与之对应并相等,从而,类似地，有,一、行列式的性质,二、应用举例,2.4 行列式的性质,转置行列式,行列式,设,称为D的转置行列式，,记作 或,行列互换，行列式不变，即,一、行列式的性质,性质1,记,另一方面，按行列式的等价定义可表成,证：,其中,按行列式的定义,行列式某行（列）元素的公因子可提到,行列式符号之外即,推论 行列式中某一行（列）为零，则行列式为零,性质2,或者说，以一数乘行列式的一行（列）就相当于,用这个数乘此行列式记为 或,若行列式的某一行（列）的元素都是两数,之和，则行列式可按此行（列）拆成两个行列式,之和，即,性质3,思考：,？,如果行列式中有两行（列）相同，那么

9、,行列式为0,（所谓两行相同指的是两行元素对应都相等）,性质4,设行列式,证：,中第 i 行与第 k 行相同，,即，,于是，,行列式中两行（列）成比例，则行列式为0.,证：由性质2、性质4即得,把行列式的某一行（列）的倍数加到另一,行（列），行列式不变.记为 或,证：由性质3、性质5即得,性质5,性质6,性质7,对换行列式中两行（列）位置，行列式反号 记为 或,性质,证：,性质,性质,例1. 计算行列式,说明：,计算行列式时可多次利用行列式的性质把它化为,上三角形或下三角形，从而算得行列式的值,例2. 计算行列式,解：,例3. 计算行列式,解：,例4.若 n 级行列式 满足,证明：当 n 为奇

10、数时，,的每行提取-1，得,证：,由,有,设, 当 n 为奇数时，,故,一、矩阵,二、矩阵的初等行变换,2.5 行列式的计算,三、行列式的计算,四、矩阵的初等列变换,一、矩阵,1.定义,由sn个数排成 s 行 n 列的表,称为一个 sn 矩阵，,j为列指标.,简记为,数 称为矩阵A的 i 行 j 列的元素，其中i为行指标，,若矩阵,则说A为数域 P 上的矩阵,当 s=n 时， 称为n级方阵,由 n级方阵 定义的 n 级行列式,称为矩阵A的行列式，记作 或detA,2.矩阵的相等,则称矩阵A与B相等，记作 A=B,设矩阵,如果,1) 以P中一个非零数k乘矩阵的一行；,2) 把矩阵的某一行的k倍加

11、到另一行， ；,3) 互换矩阵中两行的位置,注意：,二、矩阵的初等行变换,1.定义,数域P上的矩阵的初等行变换是指：,矩阵A经初等行变换变成矩阵B，一般地AB,如果矩阵A的任一行从第一个元素起至该行的,2.阶梯形矩阵,第一个非零元素所在的下方全为零；若该行全,为0，则它的下面各行也全为0，则称矩阵A为,阶梯形矩阵,任意一个矩阵总可以经过一系列初等行变换,化成阶梯形矩阵,性质1,例1 计算行列式,三、行列式的计算,方法：,阶梯阵，从而算得行列式的值,对行列式 中的A作初等行变换，把它化为,1) 以P中一个非零数k乘矩阵的一列；,2) 把矩阵的某一列的k倍加到另一列， ；,3) 互换矩阵中两列的位

12、置,四、矩阵的初等列变换,定义,数域P上的矩阵的初等列变换是指：,矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换,注意：,把它化成列阶梯阵，从而算得行列式的值,计算行列式 时，也可对A作初等列变换，,也可同时作初等行变换和列变换，有时候这样,可使行列式的计算更简便,一、余子式、代数余子式,二、行列式按行(列)展开法则,2.6 行列式按一行（列）展开,引入,可见，三级行列式可通过二级行列式来表示,一、余子式、代数余子式,定义,在 n 级行列式 中将元素 所在的,第 i 行与第 j 列划去，剩下 个元素按原位置,次序构成一个 级的行列式，,称之为元素 的余子式,记作 ,令,称 之为元素 的代数余子式,

13、注：, 行列式中每一个元素分别对应着一个余子式,和代数余子式,无关，只与该元素的在行列式中的位置有关, 元素 的余子式和代数余子式与 的大小,元素除 外都为 0，则,1.引理,二 、行列式按行(列)展开法则,若n 级行列式 D = 的 中第 i 行所有,证：,先证的情形，即,由行列式的定义，有,结论成立。,一般情形：,结论成立。,2.定理,行列式 D 等于它的任一行（列）的各元素与其,对应的代数余子式乘积之和，即,或,行列式按行（列）展开法则,证：,例1.计算行列式,解：,例2.证明范德蒙行列式,证：用数学归纳法.,时，,假设对于 级范德蒙行列式结论成立即,结论成立,把 从第 n 行开始，后面

14、一行减去前面一行的,倍，得,下证对于 n 级范德蒙行列式 结论也成立.,范德蒙行列式 中至少两个相等,注：,3.推论,行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的,对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证, 当 时,同理可证,综合定理及推论，有关于代数余子式的重要性质：,例3.设 求,解：,和,例4.证明：,对k用数学归纳法,一、非齐次与齐次线性方程组的概念,二、克兰姆法则及有关定理,2.7 克兰姆法则,一、非齐次与齐次线性方程组的概念,设线性方程组,非齐次线性方程组,若常数项不全为零，则称为,简记为,则称为齐次线性方程组,若常数项 即,简记为,(1),非齐次线性方程组(m=n时的情况),(2)

15、,齐次线性方程组(m=n时的情况),线性方程组（1）(2)的系数行列式,对于齐次线性方程组,除零解外的解（若还有的话）称为非零解,注：,一定是它的解，称之为零解,二、克莱姆法则,定理4 如果线性方程组（1）的系数行列式,则方程组()有唯一解,所得的一个 n 阶行列式，即,的元素用方程组（1）的常数项代换,资料： 克莱姆是瑞士数学家，1704年7月31日生于日内瓦，1752年1月4日去世于法国塞兹河畔的巴尼奥勒.早年在日内瓦读书，1724年起在日内瓦加尔文学院任教，1734年成为几何学教授，1750年任哲学教授. 他一生未婚，专心治学，平易近人，德高望重，先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国

16、、意大利等学会成员. 1750年，他在专著线性代数分析导论中提出了克莱姆法则.(其实莱布尼兹（1693年）和马克劳林（1748年）也给出了该法则，但他们的记法不如克莱姆，故流传下来).,注：,在第三章中还将证明这个条件也是充分的 即,有非零解,例2：问 取何值时，齐次线性方程组有非零解?,解:,若方程组有非零解，则, 当 时，方程组有非零解,评论： cramer法则给出一类线性方程组的公式解，明确了解与系数的关系，这在以后的许多问题的讨论中是重要的，同时便于编成程序在计算机上进行计算. 但作为一种计算方法而言要解一个n个未知量、n个方程的线性方程组，要计算n+1个n阶行列式，计算量较大.另一方

17、面该公式对n个未知量，m个方程的一般线性方程组的求解就无能为力。,一、k 级子式余子式代数余子式,二、拉普拉斯(Laplace)定理,2.8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则,三、行列式乘法法则,拉普拉斯（749-1827）：法国数 学家，物理学家,16岁入开恩大学 学习数学，后为巴黎军事学院教授. 曾任拿破仑的内政部长,后被拿破仑 革职.也曾担任过法兰西学院院长. 写了天体力学（共5卷）,关 于几率的分析理论的不朽著作， 赢得“法兰西的牛顿”的美誉.拉普拉斯的成就巨大， 现在数学中有所谓的拉普拉斯变换、拉普拉斯方程、 拉普拉斯展开式等. 他正好死于牛顿死亡的第100年，他的最后一句话是我们知之甚少，不知道的却甚多.,一、k 级子式与余子式、代数余子式,定义,在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列,按照原来次序组成一个 k 级行列式 M，称为行列,( )，位于这些行和列的交叉点上的 个元素,式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后,式 ，称为 k 级子式 M 的余子式；,余下的元素按照原来的次序组成的 级 行列,若 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别是,，则在 M 的余子式前,余子式，记为 .,注：, k 级子式不是唯一的.,（任一 n 级行列式有 个 k 级子式）,时，D本身为一个n级子式,二.Laplace 定理