微积分 无穷级数.ppt

1、,第八章 无穷级数,8.1 无穷级数的概念和基本性质 8.2 正项级数 8.3 任意项级数,绝对收敛 8.4 幂级数,一、无穷级数的基本概念,8.1 无穷级数的概念和基本性质,给定一个数列 u1, u2, u3, , un, , 则由这数列构成的表达式 u1u2u3 un ,其中第n项un叫做级数的一般项.,叫做无穷级数,简称级数.,称为级数, 其中第n项un叫做级数的一般项.,表达式,级数举例:,调和级数,等比级数,aqn-1,几何级数,p级数,级数的部分和:,级数的前n项的和,级数敛散性定义:,余项:,rnssnun1un2 ,例1 证明级数 123 n 是发散的.,证,此级数的部分和为,

2、如果q1, 则部分和,解:,(3)当q=-1时, 因为sn当n为奇数时等于a ；当n为偶数,例2,时等于零。,(1),(2),解:因为,提示:,例3,因此，,级数收敛的必要条件:,证:,注意: (1)级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件, 不能因为一般项趋于零就断定级数收敛. （2）判断级数敛散时应首先验证是否满足收敛的必要条件.,推论:如果,则,证:,但另一方面,解:因为,无穷级数的基本性质,性质1,无穷级数的基本性质,sn、sn、tn, 则,性质1,性质2,无穷级数的基本性质,性质3 在一个级数的前面加上、去掉或改变有限项, 级数的敛散性不变.,性质1,性质2,无穷级数的基本性质,性

3、质4 如果级数收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛, 且其和不变.,应注意的问题: 如果加括号后所成的级数收敛, 则不能断定去括号后原来的级数也收敛. 例如, 级数(11)+(11) + 收敛, 但级数1-11-1 却是发散的.,性质1,性质2,性质3 在一个级数的前面加上、去掉或改变有限项, 级数的敛散性不变.,无穷级数的基本性质,推论 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散.,性质1,性质2,性质4 如果级数收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛, 且其和不变.,性质3 在一个级数的前面加上、去掉或改变有限项, 级数的敛散性不变.,正项级数收敛的充分必要条

4、件它的部分和数列有上界.,一、正项级数 各项都是正数或零的级数称为正项级数.,这是因为正项级数的部分和数列sn是单调增加的, 而单调有界数列是有极限的.,定理1(正项级数收敛的充要条件),8.2 正项级数,二、正项级数敛散性的判别法,定理2(比较判别法),推论:,例1 判断下列级数的敛散性.,解:(1) 因为,(2),解,定理2(比较判别法),设un和vn都是正项级数, 且unkvn(k0, nN). 若级数vn收敛, 则级数un收敛; 若级数un发散, 则级数vn发散.,所以,当,即,故该级数收敛.,定理3. (比较法的极限形式),则有,两个级数同时收敛或发散 ;,(2) 当 A = 0,(

5、3) 当 A =,设两正项级数,满足,(1) 当 0 A 时,的敛散性.,例4. 判别级数,解:,根据比较审敛法的极限形式知,(2)当r 1(或)时，级数发散,定理4(比值判别法),则,如果,(3)当r1时，比值判别法不能用.,解:,所以 根据比值判别法可知所给级数收敛,例3 证明级数,是收敛的,所以 根据比值判别法可知所给级数收敛,解,解,解:因为,例6 判断级数,的敛散性.,所以,(2)当r 1(或r)时，级数发散,定理5(根值判别法),则,如果,(3)当r1时，根值判别法不能用.,解:因为,例7 判断级数,的敛散性.,所以,8.3 任意项级数,绝对收敛,一、交错级数的定义 交错级数是这样

6、的级数, 它的各项是正负交错的.,定理1(莱布尼兹定理),(1)unun1(n1 2 3 ),则级数收敛 且其和su1 其余项rn的绝对值|rn|un1,这是一个交错级数.,解:,由莱布尼茨定理, 级数是收敛的,且其和su11,则级数收敛, 且其和su1, 其余项rn的绝对值|rn|un1.,定理1(莱布尼兹定理),因为此级数满足,例1,二、绝对收敛与条件收敛,例如:,三、绝对收敛与收敛的关系,定理2,应注意的问题,例2,解,定理3,解,所以级数绝对收敛。,解,8.4 幂级数,形如 a0a1xa2x2 anxn 的级数称为幂级数, 其中常数ai(i=1,2, )叫做幂级数的系数.,幂级数,1x

7、x2x3 xn ,幂级数举例:,说明: 幂级数的一般形式是 a0a1(x-x0)a2(x-x0)2 an(x-x0)n . 这种形式经变换t=x-x0可化为上述定义形式.,幂级数 1xx2x3 xn 是公比为x的几何级数.,因此它的收敛域为(-1, 1),它在|x|1时收敛, 在|x|1时发散.,在收敛域内有,幂级数举例:,如果幂级数anxn当xx0(x00)时收敛, 则适合不等式|x|x0|的一切x使幂级数anxn发散.,注:,定理1,如果幂级数anxn不是仅在点x0一点收敛, 也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全确定的正数R存在, 使得 当|x|R时, 幂级数发散; 当xR与xR时,

8、 幂级数可能收敛也可能发散.,收敛半径与收敛区间,推论,正数R通常叫做幂级数anxn的收敛半径. 从R到 R的区间叫做幂级数anxn的收敛区间,注: 若幂级数只在x0收敛, 则规定收敛半径R0; 若幂级数在(, )内收敛, 则规定收敛半径R.,定理2(收敛半径的求法),解:因为,解:,因为,所以收敛半径为R,从而收敛域为(, ).,因此, 收敛域为(1, 1.,解:,因为,所以收敛半径为R0,即级数仅在x0处收敛.,注:此级数缺少奇次幂的项, 前述求收敛半径的方法不能直接应用.,解:,这种缺项幂级数一般用比值审敛法来求收敛半径.,因为,所以,解:,所以收敛半径R2.,所以原级数的收敛域为1,

9、3).,即2x12, 或1x3,因此收敛域为2t2,幂级数的性质:,设幂级数anxn及bnxn分别在区间(R1, R1)及(R2, R2)内收敛, 则在(R1, R1)与(R2, R2)中较小的区间内有,减法:,加法:,=(an-bn)xn.,=(an+bn)xn,anxn-bnxn,anxn+bnxn,性质1 幂级数anxn的和函数s(x)在收敛域I上连续,幂级数的和函数的性质,逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径,性质2 幂级数anxn的和函数s(x)在收敛域I上可积 并且有逐项积分公式,性质3 幂级数anxn的和函数s(x)在收敛区间(R R)内可导 并且有逐项求导公式,逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径,幂级数的和