人教版高中数学2.1.1 第2课时指数幂及运算

1、第2课时 指数幂及运算,一、分数指数幂的意义,0,没有意义,判断：(正确的打“”，错误的打“”) (1)只要根式有意义，都能化成分数指数幂的形式.( ) (2)分数指数幂 可以理解为 个a相乘.( ) (3)0的任何指数幂都等于0.( ),提示：(1)正确.引入分数指数幂之后,任何有意义的根式都能 化成分数指数幂的形式, 即 (2)错误.分数指数幂 不可以理解为 个a相乘.事实上，它 是根式的一种新写法. (3)错误.因为0的负指数幂无意义，所以此说法是错误的. 答案：(1) (2) (3),二、有理数指数幂的运算性质 (1)aras=_(a0,r,sQ). (2)(ar)s=_(a0,r,s

2、Q). (3)(ab)r=_(a0,b0,rQ).,ar+s,ars,arbr,思考：在有理数指数幂的运算性质中，为什么要规定a0? 提示：(1)若a=0，0的负数指数幂无意义, (ab)r=arbr，当r0时不成立，a0. (2)若a0，(ar)s=ars也不一定成立,如 a0时不成立.因此规定a0.,三、无理数指数幂 无理数指数幂a(a0,是无理数)是一个确定的_,有理 数指数幂的运算性质对于无理数指数幂_. 思考：为什么在规定无理数指数幂的意义时，必须规定底数 是正数？ 提示：底数大于零是必要的，否则会造成混乱，如a=-1,则 (-1)是1还是-1就无法确定了，规定后就清楚了.,实数,同

3、样适用,【知识点拨】 1.“三角度”理解分数指数幂 (1)角度一：与根式的关系. 分数指数幂是根式的另一种写法，根式与分数指数幂可以相 互转化. (2)角度二：底数的取值范围. 由分数指数幂的定义知a0， 可能会有意义.当 有意义 时可借助定义将底数化为正数，再进行运算.,(3)角度三：运算性质. 分数指数幂的运算性质形式上与整数指数幂的运算性质完全一样.记忆有理数指数幂的运算性质的口诀是：乘相加，除相减，幂相乘.,2.关于指数运算性质的四点说明 (1)无理数指数幂的运算性质是有理数指数幂运算性质的推广. (2)运算性质的形式要掌握，它是化简的基础. (3)运算性质可以逆用.如amn=(am)

4、n=(an)m(a0). (4)要会用文字语言来叙述运算性质.,3.对无理数指数幂的理解 (1)无理数可以作为指数，并且它的结果是一个实数. (2)无理数指数幂是一个确定的实数，所以能进行指数的运算，也能进行幂的运算，有理数指数幂的运算性质，同样也适用于无理数指数幂.类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算性质.对任意的实数r,s,均有下面的运算性质：aras=ar+s(a0,r,sR). (ar)s=ars(a0,r,sR). (ab)r=arbr(a0,b0,rR).,类型 一 根式与分数指数幂的互化 【典型例题】 1.下列互化中正确的是( ) A. (x0) B. (y0)

5、C. (x,y0) D. 2.将 化为分数指数幂的形式是_.,【解题探究】1.分数指数幂的底数a0时成立吗？如何处理？ 2.根式中的根指数和被开方数(式)的指数与分数指数幂有怎样的对应关系？,探究提示： 1.由分数指数幂的定义知a0， 可能会有意义，当 有意 义时可借助定义将底数化为正数,再进行运算，如 等. 2.根指数 分数指数的分母，被开方数(式)的指数 分数指 数的分子.,【解析】1.选C. 故选项A不正确；选项B中，y0， 故 选项B也不正确； 故选项D不正确. 2. 答案：,【互动探究】若将题2变为 又如何化为分数指数幂的 形式呢？ 【解析】,【拓展提升】根式与分数指数幂互化的规律

6、(1)根指数 分数指数的分母， 被开方数(式)的指数 分数指数的分子. (2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然 后利用有理数指数幂的运算性质解题.,【变式训练】 等于( ) A. B. C. D.2 【解析】选C.,类型 二 利用分数指数幂的运算性质化简求值 【典型例题】 1.计算： =_. 2.化简：,【解题探究】1.对于指数幂中指数、底数是负数，或是小数的应如何化简？ 2.对于根式中含有多重根号的题目应如何处理? 探究提示： 1.负指数化成正指数，小数指数化成分数指数，底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质. 2

7、.含有多重根号的题目，可以由内到外逐一化分数指数幂，边运算边化简；或都先化成分数指数幂，再进行幂的运算.,【解析】1.原式= 答案： 2.原式=,【拓展提升】 1.幂的运算的常规方法 (1)化负指数幂为正指数幂; (2)化根式为分数指数幂; (3)化小数为分数进行运算. 2.分数指数幂及根式化简结果的具体要求 利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，不强求统一用什么形式，但结果不能既有根式又有分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数.,【变式训练】化简 【解析】原式=,类型 三 指数幂运算的条件求值 【典型例题】 1.x-2+x2= 且x1，则x2-x-2的值为(

8、 ) A.2或-2 B.-2 C. D.2 2.已知x+y=12，xy=9x，且xy，求 的值.,【解题探究】1.x2-x-2与x2+x-2存在怎样的关系？如何相互转化？ 2.条件求值的解题顺序怎样？ 探究提示： 1.存在的关系为x2-x-2= 注意整体代换思想的应用. 2.条件求值一般要结合条件先化简再求值,另外要特别注意条 件的应用,如隐含条件,整体代入等.,【解析】1.选D.x-2+x2= 且x1，所以x2x-2，x2-x-20， 故x2-x-2= 2.由x+y=12及xy=9x得x(12-x)=9x， 所以 或 当 时， 当 时，,【拓展提升】条件等式求值的原则和方法技巧 (1)原则：

9、对于条件等式的求值问题，可以把所要求的式子先进行变形，找出与条件等式的联系，然后求值. 也可以先对条件加以变形，使它与所要求的式子的联系更加明显，从整体上把握代数式的结构特点，然后求值. (2)方法技巧：乘法公式在分数指数幂当中的应用及“整体代换”的技巧、换元思想.,【变式训练】已知 =0，求yx的值. 【解题指南】解决本题的关键是根据已知条件，求出x,y的值. 【解析】由 =0得，|x-1|+|y+3|=0，所以 x=1，y=-3，yx=(-3)1=-3.,根式与分数指数幂的应用 【典型例题】 1. 从小到大的排列顺序为_. 2在 中最大的数是_.,【解析】1. 121123125， 即 答

10、案： 2 所以最大的数是 答案：,【拓展提升】根式大小比较的一般方法 (1)根指数相同时，不论根指数是奇数还是偶数，根式的大小取决于被开方数的大小. (2)根指数不同时，应先化成统一的根指数，再进行大小比较.,【易错误区】根式化简时忽视符号致误 【典例】化简 =( ) A. B. C.(a-1)4 D.,【解析】选B.要使原式有意义，则a-10.,【类题试解】化简： =_. 【解析】由 知,-a0,a0,故a-10， 所以 答案：,【误区警示】,【防范措施】 1.注意隐含条件的挖掘 要关注条件中有无隐含条件，在出现根式时，要注意是否是偶次方根，被开方数是否符合要求，如本例中是四次方根，则必须(a-1)30，即a-10. 2.准确应用公式和性质 对于公式和性质要记住且要记准.如本例根式与分数指数幂的互化公式，以及分数指数幂的运算性质.,1若a0，且m,n为整数，则下列各式中正确的是( ) A.aman= B.aman=am+n C.(am)n=am+n D.1-an=a0-n 【解析