机械振动基础及其在核电站中的应用.ppt

1、机械振动基础及其在核电站中的应用,B在其作用下，结构上的惯性力 与外荷载相比是不可忽视的荷载。,动荷载的分类,周期荷载随时间周期性变化的荷载，如简谐荷载,简谐荷载,非简谐性周期荷载,动荷载及其分类,周期撞击荷载,冲击荷载在很短的时间内，荷载值急剧减小(或增加),突加荷载突然作用于结构上、荷载值在较长时间内保持不变,上述荷载是时间的确定函数，称之为确定性动力荷载。,动荷载及其分类,随机荷载（非确定性荷载）荷载的变化极不规则，在任时刻的数值无法预测。,随机荷载（非确定性荷载）,动荷载及其分类,自由度确定体系中全部质点位置所需的独立坐标的数目,单自由度结构,多自由度结构（自由度大于1的结构）,自由度

2、的概念,确定绝对刚性杆件上三个质点的位置只需杆件转角(t)便可，故为单自由度结构。,虽然只有一个集中质点，但其位置需由水平位移x和竖向位移y两个独立参数才能确定，因此振动自由度等于2，为多自由度体系。,自由度的确定,刚性链杆法在结构上施加最少数量的刚性链杆以限制刚架上所 有质点的位置，则该刚架的自由度数即等于所加链杆数目,具有两个集中质量，加入三根链杆即能使各质量固定不动其振动自由度为3。,注意：体系振动自由度的数目不完全取决于质点的数目，也与体系是否静定或超静定无关。体系的自由度数目与计算假定和计算精度有关。如果考虑质点的转动惯性，还应增加控制转动的约束，才能确定结构的振动自由度数目。,自由

3、度的确定,单自由度系统（SDOF）,振动微分方程的建立方法,刚度法 即列动力平衡方程。,(a) 弹簧恢复力,该力有将质点拉回静力平衡位置的趋势，负号表示其方向恒与位移y的方向相反，即永远指向静力平衡位置。,(b) 惯性力,负号表示其方向恒与加速度 的方向相反,设质点m在振动的任一时刻位移为y，取质点m为隔离体，不考虑质点运动时受到的阻力，则作用于质点m上 的力有：,质点在惯性力F1和恢复力Fc作用下维持平衡，则有：,或,将F1和Fc的表达式代入,单自由度系统自由振动微分方程,振动微分方程的建立方法,对于弹簧处于静力平衡位置时的初拉力，恒与质点的重量mg向平衡而抵消，故振动过程中这两个力都毋须考

4、虑。,柔度法 即列位移方程，当质点m振动时，把惯性力看作静力荷载作用在体 系的质量上，则在其作用下结构在质点处的位移y应当为：,振动微分方程的建立方法,振动力学是研究机械振动的运动学和动力学的一门课程。,自由振动方程,此二阶线性常系数齐次微分方程的通解为：,(a),(b),由初始条件t=0时，有,可得到,不考虑阻尼的自由振动,可见:单自由度体系无阻尼的自由振动是简谐振动。,令 ,（5）,位移满足周期运动的下列条件：,a表示质量m 的最大动位移，称为振幅。其由常数 、初始条件 y0 和 v0 决定的。是初始位置的相位角，称为初相角。它也取决于常数 、初始条件 y0 和 v0 。,T 称为结构的自

5、振周期，其常用的单位为秒(s)。自振周期的倒数代表每秒钟内的振动次数，称为工程频率，记作f，其单位为1秒(s-1)，或称为赫兹(Hz)。,(7),表示2秒内的振动次数，是结构动力性能的一个很重要的标志。,的单位为弧度秒(rads)，亦常简写为1s (s-1)。从圆周运动的角度来看，称它为圆频率，一般称为自振频率。,根据式(1)，可给出结构自振频率的计算公式如下：,相应地，结构的自振周期T的计算公式为：,式中g表示重力加速度，st 表示由于重量mg所产生的静力位移。,结构的自振频率和周期只取决于它自身的质量和刚度，与初始条件及外界的干扰因素无关，它反映着结构固有的动力特性。,（8）,解：三种支承

6、情况的梁均为单自由度体系。,Case 1 三种不同支承情况的单跨梁，EI常数，在梁中点有一集中质 量m，当不考虑梁的质量时，试比较三者的自振频率。,据此可得,随着结构刚度的加大，其自振频率也相应地增高。,考虑阻尼时的自由振动,阻力可分为两种：一种是外部介质的阻力；另一种来源于物体内部的作用。这些统称为阻尼力。通常近似认为振动中物体所受阻尼力与其振动速度成正比，称为粘滞阻尼力，即：,其中：为阻尼系数，负号表示阻尼力的方向恒与速度方向相反,考虑阻尼时，质点m的动力平衡方程为,即：,令,这是一个常系数齐次线性微分方程，设其解的形式为,解得,其特征方程为：,根据阻尼大小不同，现分以下3种情况讨论：,(

7、1) k，即小阻尼情况，此时r1和r2为两个共轭复数， 式 (9)通解为：,(9),（10）,（11）,有阻尼自振频率,（12）,式（10）可改写为：,式中,（12）,小阻尼情况自由振动时的y-t 曲线,小阻尼时自由振动曲线为衰减的正弦曲线，其振幅按e-kt的规律减小，故k为衰减系数。,由式(11)有,工程中的值很小（对于钢筋混凝土结构大约为5%，钢结构的大约为1%-2%）。于是有=,相隔一周期后的两个振幅之比为一常数，振幅是按等比级数递减的。,若用yn表示某一时刻tn的振幅，yn+1表示经过一个周期T后的振幅，则有,上式两边取对数，得,振幅的对数递减量,同理，经过j个周期后，有,由实测各周期

8、的振幅可求出阻尼比。,(2) k，即大阻尼情况，此时r1和r2为两个负实数，式 (9)通 解为：,y(t)不是一个周期函数, 即在大阻尼情况下不会发生振动。,（13）,（14）,y-t 曲线,以上两种情况均不属振动，位移时程曲线（y-t 曲线）表示体系从初始位移出发，逐渐返回到静平衡位置而无振动发生。,y(t)不是周期函数，亦即在临界阻尼情况下不会发生振动。此时，临界阻尼系数,强迫振动结构在动力荷载（即外来干扰力）作用下产生的振动。,设质点m受干扰力F（t）作用，则质点m的动力平衡方程为：,即：,简谐荷载作用下的强迫振动,方程的解包括两部分：对应齐次方程的通解和对应干扰力F(t)的特解,(15

9、),通解,特解 随干扰力的不同而异。这里讨论干扰力为简谐周期荷载时的情况， 如具有转动部件的机器匀速转动时，由于不平衡质量产生的离心力的竖直 或水平分力等，表达为：,(16),其中 为干扰力的频率，F为干扰力最大值。此时式(15)写为：,(17),（a）,式(b) 代入式(17)，得到,式(a)+式(b) ，并引入初始条件，得到,(18),由初始条件决定的自由振动,伴生自由振动,按干扰力频率振动的纯强迫振动或稳态强迫振动,由初始条件决定的自由振动阶段和伴生自由振动阶段会随时间很快衰减掉，故称为过渡阶段；最后只剩下按干扰力频率振动的纯强迫振动，故称为平稳阶段。实际问题中，一般只讨论纯强迫振动。,

10、不考虑阻尼的纯强迫振动,(19),因此，最大动力位移（振幅）为,(20),其中:,代表将干扰力最大值F作为静载作用于结构上时引起的静力位移,位移动力系数，代表最大动力位移与静力位移之比,当时，值为负，表示动力位移与动力荷载的指向相反。,动力反应谱（动力放大系数随频比/变化的关系曲线）,动力放大系数的大小反映了结构动力反应的强弱。单自由度结构，当干扰力与惯性力的作用点重合时，位移动力系数与内力动力系数是完全一样的。,当 ，,通常,当动力荷载(即干扰力)的周期大于结构自振周期的五、六倍以上时，可将其视为静力荷载。,(1) 当时，即/0，这时1。这种情况相当于静力作用。,动力反应谱,(2) 当时，即

11、/1，这时。即振幅趋于无限大,这种现象 称为共振。,2) 实际上由于阻尼的存在共振时振幅不会无限增大。,1) 共振现象的形成有一个过程，振幅是由小逐渐变大的。,注意:,3) 应避开0.75/1.25共振区。,(3) 当 时，即/1，这时值为负值,并且趋近于零。 这表明高频简谐荷载作用下，振幅趋近于零，体系处于静止状态。,工程设计中，要求的是振幅绝对值,动力反应谱中/1 部分的画在横坐标的上方。,注意:,在单自由度体系上，当干扰力作用在质量上、扰力作用线与质体的振动位移方向重合时，其位移动力系数与内力动力系数是完全相同的，结构的最大动内力可以采用动力系数法求得。,如果干扰力不作用在质量上，体系的

12、位移和内力没有一个统一的动力系数。这种情况下的结构动内力、动位移的计算，可用建立动力微分方程的方法计算。,(1) 设惯性力和动力荷载分别为单位力和单位力偶作用在体系上，并绘出相应的弯矩图.,Case 2 图示简支梁跨中有一集中质量m，支座A 处受动力矩Msint 的作用，不计梁的质量，试求质点的动位移和支座A 处的动转角的幅值。,解：该体系不能直接用放大系数求动位移，可由建立体系的振动方程来求解。,式中,(2) 根据叠加原理列出动位移,质点的动位移是惯性力FI(t) 和动力荷载共同作用下产生的，按叠加原理可表示为,这说明质体动位移尚可应用放大系数计算。,质点的动位移幅值为 ，其中 为动荷载幅值

13、M所引起的质点静位移yst，为动力系数。,支座A处的动转角也是由惯性力FI(t)和动力荷载共同作用下产生的，按叠加原理可表示为,由稳态解式(c)可知,对式(c)求导两次后代入上式，可得,将式(a)和F *=3M/l代入上式, 得,(c),可见, 质点位移的动力系数和支座处动转角的动力系数是不同的。,支座A处的动转角幅值为 , 为动荷载幅值M所引起的静转角，为该动力系数。,其中,而,动荷载不作用在质量上时，体系不能用一个统一的动力系数来表示。,由式(18)的第三项，有：,令,令 和 ，则振幅A可写为,（23）,有阻尼的强迫振动,动力系数不仅与频比有关，而且还与阻尼比 有关。,动力系数与频比和阻尼

14、比的关系图,在0.75时，则很小，表明质量m接近于不动或只作极微小的振动。,(1) 阻尼对简谐荷载的动力系数影响较大,简谐荷载作用下有阻尼稳态振动的主要特点：,(2) 在=1的共振情况下, 动力系数为,动力系数与频比和阻尼比的关系图,在考虑阻尼的影响时，共振时动力系数不是无穷大, 而是一个有限值。在研究共振时的动力反应时，阻尼的影响是不容忽略的。,用求极值的方法确定的最大值发生在 处, 因的值通常都很小，近似地将=1时的值作为最大值。,(3) 最大值并不发生在=1处。,动力系数与频比和阻尼比的关系图,当1时，/2； 当=1时， =/2。,(4) 阻尼体系的位移y(t)=Asin(t-)和干扰力

15、F(t)=sint 不同步， 其相位角为。,只要有阻尼存在, 位移总是滞后于振动荷载。,共振时, =/2, 位移方程式为 y(t)= ystcost,= 1/(2)，=，c=cc=2m,阻尼力为,注意到共振时,可见共振时干扰力与阻尼力互相平衡。,共振时受力特点讨论:,为了减小动力放大系数， 当 =/ 1时称为(共振后区) ，这时，应设法减小结构的自振频率。这种方法称为“柔性方案”。,动力系数与频比和阻尼比的关系图,讨论：,1. 强迫力为一般动力荷载-无阻尼,(1) 瞬时冲量的动力反应,假定冲击荷载作用之前体系的初位移及初速度均为零。,由于荷载作用时间极短，可以认为在冲击荷载作用完毕的瞬间，体系

16、的位移仍为零。但冲击荷载有冲量，可以使处于静止状态的质点获得速度而引起自由振动。,思考：体系在冲击荷载作用下获得的是位移还是速度？,在任意荷载作用下的强迫振动,根据动量定律，质点在瞬时冲量F t 作用下的动量变化为,由于v0=0, 所以有,原来初位移、初速度为零的体系,在冲击荷载作用后的瞬间,变成了初位移为零,初速度为 的自由振动问题。,由,若冲击荷载不是在t0，而是在t时作用，则上式中的t 应改为(t - )。,(25),由式(24)可得在t 时作用瞬时冲量S引起的动力反应。,(24),(2)一般动力荷载F(t)的动力反应,把整个加载过程看成是由一系列瞬时冲量所组成的。在时刻t 作用的荷载为

17、F(t) ，此荷载在微分时段 d内产生的冲量为dS=F(t)d 。根据式(25)，此微分冲量引起的动力反应为：,(g),对加载过程中产生的微分反应进行叠加，得出总反应如下：,称为杜哈梅(Duhamel)积分。,(26),(27),式中第一、二项代表自由振动部分，第三项代表强迫振动部分。,(26),如果初始位移y0和初始速度v0 不为零，则总位移应为：,2.几种动荷载的动力反应,(1) 突加长期荷载,突加长期荷载就是指突然施加于结构并继续作用在结构上的荷载，它可表示为：,如果原结构的初始位移和初始速度都等于零，将式（h）代入式(26)并进行积分后，可得动力位移如下：,（h）,(28),(26),

18、当t=T/2时，y(t)max=2yst，动力系数为=2。,位移时程曲线图,(28),式中 表示在静力荷载F0作用下所产生的静力位移。,当突加荷载作用在系统上的时间超过t=T/2 时就算作长期荷载, 这时引起的最大动力位移为相应静力位移的两倍。,其特点是当t=0时，在质体上突然施加常量荷裁F0，而且一直保持不变，直到t=t1时突然卸去。,(2) 突加短期荷载,体系在这种荷载作用下的位移反应，可按两个阶段分别计算再叠加。,第一阶段（0tt1）：此阶段与突加长期荷载相同，因此动力位移反应仍按公式(28)计算。,荷载可以看作突加长期荷载F0 (图中坐标上方实线及所续虚线部分)叠加上t=t1 时突加上

19、来的负长期荷载(F0 )(图坐标下方虚线部分)。,(29),第二阶段(tt1)：荷载可以看作突加长期荷载F0 (图中坐标上方实线所续虚线部分)叠加上t=t1 时的负突加长期荷载(-F0) (图中坐标下方虚线部分)。当tt1时，有,第一阶段（0tt1）与突加长期荷载相同，动力位移反应为,质点位移反应可分为两个阶段按式（26）积分求得。,(3) 爆炸冲击荷载,变化规律为,第一阶段（0tt1）,第二阶段（t t1）,当(t1T)0.4时，最大位移反应在第一阶段出现，否则就出现在第二阶段。,从前面几种动力荷载作用下单自由度体系的位移反应可知，最大位移反应与与t1T有关。,最大位移反应可用速度为零（即位

20、移的导数）这个条件下的时间值来计算。,3. 当强迫力为一般动力荷载情况-有阻尼,有阻尼体系在一般动力荷载 F(t) 作用时，其动力位移也可表示为杜哈梅积分。,由于冲量S=mv0 ，故在初始时刻由冲量S 引起的振动为,（30）,单独由初始速度v0(初始位移为零)所引起的振动为,把一般动力荷载F 的加载过程看作是由无限多个瞬时冲量所组成，对t =到 t = +d的时间分段上的微分冲量dS=F()d来说，它所引起的动位移为,(t ),积分后即得开始处于静止状态的单自由度体系有阻尼的受迫振动方程为,(31),如果还有初始位移y0和初始速度v0，则总位移为,(31),(32),这就是有阻尼情况下的杜哈梅

21、积分。,多自由度系统（MDOF）,图示等截面烟囱，将其分为五段，从上到下将每两段的质量集中于其中点，将一个无限自由度的体系简化为四个自由度体系。,自由振动,图示简支梁的自重略去不计, 体系有n个振动自由度，y1、y2、yi、yn分别代表这些质点自静平衡位置量起的位移。,振动微分方程的建立方法,刚度法,（1）首先加入附加链杆阻止所有质点的位移,则在各质点的惯性力 作用下，各链杆产生和惯性力大小相等、方向相反的反力；,可按照位移法的步骤来处理,（2）其次令各链杆发生与各质点实际位置相同的位移，此时各链杆上所需施加的力为FRi(i=1,2,n)。,（3）不考虑阻尼时，将上述两种情况叠加，各附加链杆上

22、的总反力为零，由此可列出各质点的动力平衡方程。以质点mi 为例：,即：,(33),同理，体系中的每一个质点都可以列出相应的动力平衡方程式，有,写成矩阵形式：,Y和分别是位移向量和加速度向量：,M和K分别是质量矩阵和刚度矩阵：,体系中某质点i 产生位移 yi 可看成是系统内各质点运动时的惯性力共同引起的。即,柔度法,考虑每一个质点的位移，可得一组运动微分方程式：,FI1，FI2，FIn为质点1，2，n 的惯性力。,体系的柔度系数ij为作用在质点j上的单位力引起质点i 的位移。,写成矩阵形式：,称为体系的柔度矩阵, I单位矩阵。,所以，由刚度法建立的公式（34）与公式（35）是完全相通的。,因为：

23、,设式（36）的特解为：,按柔度法求解,即所有质点按同一频率同一相位作同步简谐振动，但各质点的振幅值各不相同,(37),(f ),柔度法的振幅方程,柔度法的频率方程,振幅向量A 存在非零解的条件为,(40),(39),根据频率方程可得到n个自振频率 ，将它们由小到大排列， 分别称为第一，第二，第n频率，并总称为结构自振的频谱。,注意: 体系自振频率的个数和它的自由度数目相同。,此时各质点按同一频率 作同步简谐振动，但各质点的位移相互间的比值,并不随时间而变化，也就是说在任何时刻结构的振动都保持同一形状，整个结构就像一个单自由度结构一样在振动。这种多自由度结构按任一自振频率 进行的简谐振动称为主

24、振动，与其相应的特定振动形式称为主振型(振型),将 代回式(37)，得到：,(42),将n个自振频率中的任一个 代入式(f )，得到特解为,(41),n个主振动的线性组合，构成振动微分方程的一般解：,(43),和 取决于初始条件。然而自振频率和振型与外因干扰无关，只取决于结构的质量分布和柔度系数，因而反映着结构本身固有的动力特性。,由于此时系数行列式为零，因此n个方程中只有（n-1）个是独立的，因而不能求得 的确定值，但可确定各质点振幅间的相对比值，便确定了振型。,振型向量,规准化振型向量,对于两个自由度结构，振幅方程（37）为：,令 ，将上式得：,频率方程为：,(44),两个自振频率为：,(

25、45),两个主振型为：,(46),(47),Case 3 图示简支梁在跨度的三分之一处有两个大小相等的集中质 量m，试分析其自由振动。设梁的自重略去不计，EI常数。,解: (1) 计算柔度系数ij,(2)求频率：,将i和ij值代上入 式得第一主振型为,第二主振型为,(3) 分析振型,可以看出，如果结构本身和质量分布都是对称的，则其振型不是正对称的便是反对称的。,第一主振型,第二主振型,Case 4 图示刚架，在梁跨中D处和柱顶A处有大小相等的集中质量 m，支座C处为弹性支承，弹簧的刚性系数k=(3EI)/l3。试求 自振频率和振型。,1. 求柔度系数,解：体系有两自由度，A处质点的水平位移和D

26、处质的竖向位移。,绘制M1、M2图,由图乘及弹簧内力虚功计算得,2. 写出振型方程,（a）,3. 写出频率方程，求频率,展开式为,解得,相应的频率为,当=1=27.083时，设A1(1)=1, 得,第一主振型为,第二主振型为,当= 2=2.917 时，设A1(2)=1，得,4. 求振型并绘出振型图,由所得结果绘出振型,按刚度法求解,(49),(48),振型方程,频率方程,将得到的n个自振频率 代回振幅方程，得：,(50),同样可确定n个主振型。,对于两个自由度结构，频率方程为：,展开得：,两个主振型为：,Case 5 三层刚架如图所示。设自上到下，各层楼面的质量(包括柱子质量)分别为m1=18

27、0000kg，m2=270000kg，m3=270000kg；各层的层间侧移刚度(即该层柱子上、下两端发生单位相对位移时，该层各柱剪力之和)分别 为k1=98MN/m，k2=196MN/m，k3=245MN/m。求刚架的自振频率和振 型。设横梁的刚度EI。,解: (1)求频率,体系的自由度数为3,振型方程为,频率方程为,建立刚度矩阵和质量矩阵,由图b可得：,由图c可得：,由图d可得：,得刚度矩阵：,质量矩阵为：,频率方程：,引入符号 ,则,展开式为,解方程得：,由 求得三个自振频率为：,将 代入式(K-2M)=0，为求标准化振型，规定1( j )=1 。,2. 求振型：,(4) 与单自由度体系

28、相同，多自由度体系的自振频率和主振型也是体系本身的固有性质。,对于多自由度体系:,(1) 在多自由度体系自由振动问题中，主要问题是确定体系的全部自振频率及其相应的主振型。,(2) 多自由度体系自振频率不止一个，其个数与体系自由度的个数相等。自振频率可由特征方程求出。,(3) 每个自振频率有自己相应的主振型。主振型是多自由度体系能够按单自由度振动时所具有的特定形式。,对上述两式分别两边同时左乘 和 ，有,对其中任两个不同的主振型向量Xi和 Xj ，有,4. 主振型的正交性,n个自由度系统具有n个自振频率及n个主振型，每一频率及其相应主振型满足,(50),(b),(a),(d),(c),（d）式两

29、边转置，有,(e),（c）式-（e）式，有,当(ij)时，有,这说明，对于质量矩阵M，不同频率的两个主振型是彼此正交的。,同理可以证明，对于刚度矩阵K，不同频率的两个主振型彼此也是正交的。,对于标准化的振型向量，也同样具有正交性，即,振型正交性的物理意义: 体系按某一振型振动时，它的惯性力不会在其它振型上作功。也就是说它的能量不会转移到其它振型上去，说明各个主振型都能够单独出现，彼此线形无关。,主振型的正交性是结构本身的固有特性，它不仅可以用来简化结构的动力计算，而且还可以用来检验所求的主振型是否正确。,计算结构在动力荷载作用下的位移和内力, 即结构的动力反应。本节只研究结构在简谐荷载作用下的

30、动力反应问题。求解的方法只讨论直接法。,若干扰力频率处于共振区以外，则阻尼的影响不大。本节不考虑阻尼。,体系强迫振动要解决的问题,简谐荷载作用下的强迫振动,振动过程中的任一时刻 t ，引起体系位移的力有两种：,1. 各质点的惯性力FI1( t ) 、 FI2( t ) 、 FIn( t ),2. 干扰力 F1sint 、 F2sint 、 Fksint,柔度法建立振动微分方程式,体系中任一质点mi 的位移 yi 为：,yiP为所有干扰力在质点 mi 处引起的位移。,动力荷载达到最大值时在质点 mi 处所引起的静力位移。,注意到F( t )= mi i，有,对于n个自由度体系，可以建立n个这样的

31、方程。,写成矩阵形式为：M +y=P sint (52),(51),P=1P 2P nPT为动荷载幅值引起的静力位移列向量。,为结构的柔度矩阵。,是一个非齐次线性微分方程组。它的一般解由两部分组成：一部分是对应齐次微分方程的解；另一部分则是某一特解。齐次解对应于自由振动部分，这部分将很快衰减掉。在研究强迫振动问题时，着重讨论式(53)的特解,即稳定强迫振动的解。,M +y=P sint (53),设方程的特解为：,y=Asint (54),A=A1 A2 AnT,A为强迫振动位移幅值列向量：,A1、A2、An.,将y 连同 =A2sint 代入式(52)，化简后得,(55),解方程组可求出各质

32、点在纯强迫振动中的振幅：,由式(53)可得各质点的振动方程。,令FI0= 2MA,FI=M =2MAsint = FI0 sint,FIi0= 2miAi (i=1,2, ,n),y=Asint,FI0 称为惯性力幅值列向量。,写成展开形式为：,由上式可以看出：,位移、惯性力和干扰力均按同一频率作同步简谐振动，且同时达到幅值。,各质点的惯性力为： FI= M= 2MAsint (56),式中FI=FI1 FI2 FIn T为惯性力列向量。,在计算最大动位移和最大动内力时，可先求得惯性力的幅值FIi0 ，然后再把FIi0 和干扰力幅值 Fi 同时作用于结构上，按静力分析方法即可求得最大动位移和最

33、大动内力。,刚度法建立振动微分方程,当干扰力均作用在质点处时，由n个自由度的刚度法基本体系，得出其动力平衡方程如下：,(57),写成矩阵形式为：M +KY= F( t ) (58),F( t )= Fsint,式中F=F1 F2 Fn T 为荷载幅值列向量。,若各干扰力为同步简谐荷载，即：,在平稳阶段各质点亦均按频率荷载 作同步简谐振动。,设：Y= Y0 sint (59),将Y和 =-2Asint 代人式(57),并消去公因子sint ,得,(K2M) Y0=F (60),则 Y0= (K2M)-1F,由 A 便可求得各质点的惯性力幅值：FI0= 2MA,或 FIi0= 2miAi (i=1,2, ,n),其展开形式为：,(61),解 设以FI10、FI20分别代表质点 m1、m2的惯性力幅值，其典型方程如下：,柔度系数和自由项可利用图乘法求得,将上述数值代入典型方程(a)，化简后得,解得： FI10 =0.2936F ， FI20 =0.2689F,将FI10、FI20和F 共同作用在结