第一章 静电学的基本规律(高斯定理).ppt

1、1,四、高斯定理及其应用 1.电场线（电力线） 2.电通量 3.静电场的高斯定理 4. 高斯定理在解场方面的应用 附录1：静电应用（图片） 附录2：静电场高斯定理的证明 附录3：如何理解均匀带电球面内场强为0？,2,疏密 垂直面积 规定条数,（1）规定 方向：电场线上每一点的切线方向表示该点的电场强度方向； 大小：,1. 电场线（电力线）,用一族空间曲线形象描述场强分布 电场线(electric field line)过去称为电力线,P,3,式中的d称为通过该面积元的 电通量(electric flux),定量规定： 通过垂直于 的单位面积的电场线条数等于该区域的电场强度值，即，,4,3)电场

2、线有头有尾，不会形成闭合曲线.,（2）电场线的性质,1)电场线起始于正电荷(或无穷远处)，终止于负电荷(或无穷远处) ，不会在没有电荷处中断.,2)两条电场线不会相交，也不会相切.,这些性质是由静电场的基本性质和场的单值性、有限大小性决定的.并且可用静电场的基本性质方程加以证明.,5,将上式推广至一般面元 若面积元不垂直电场强度,匀强电场,由电场线的定量规定，有,2. 电通量 通过任意面积的电场线条数叫通过该面的电通量,6,令,电通量的基本定义式,是面元dS的法线方向与该处的电场强度方向之间的夹角,匀强电场,7,通过任意面积元的电通量,通过任意曲面的电通量：,把曲面分成许多个面积元 每一面元处

3、视为匀强电场,8,物理上有实际意义的是求通过闭合面的电通量,1),有正 有负,若取如实蓝箭头所示的法线方向，则,若取如虚红箭头所示的法线方向，则,正负取决于面元的法线方向的选取, 0, 0,对于非闭合面，面元的正方向可以任取，,9,规定：面元方向,0,电场线穿入 电场线穿出,由闭合面内指向面外,2)通过闭合面的电通量,简称外法线方向,0,几何含义：通过闭合曲面的电场线的净条数,10,3. 静电场的高斯定理(Gauss theorem) (1) 表述 在静电场内 任一闭合面的电通量等于这闭合面所包围的电量的代数和(净电荷)除以0,（严格证明见附录2）,11,(2) 高斯定理关系式的导出 思路：1

4、）以点电荷场为例 取包围点电荷的高斯面 取不包围点电荷的高斯面 2）推广到一般 推导： 1）场源电荷是电量为Q的点电荷 高斯面包围该点电荷,12,高斯面如图,通过该高斯面的电通量？ 根据电场线的连续性 等于以点电荷为球心的 任意半径的球面的电通量,通过高斯球面任一面元 的电通量是,13,等于高斯面内电量代数和除以0,2)场源电荷仍是点电荷 但高斯面不包围电荷,因电场线连续，故电通量为零 等于高斯面内电量代数和除以0,3)推广:利用叠加原理,通过高斯球面的电通量,14,3)高斯定理是静电场的基本性质方程之一，它表明静电场是有源场，它要求电场线在无电荷处不能中断.,1) 中, 是面元 所在处的场强

5、.,4)对于运动电荷产生的电场及迅变电磁场，库仑定律不再成立，但高斯定理仍然成立.,15,常见的电量分布的很好的对称性： 球对称 柱对称 面对称,均匀带电的,球体 球面 (点电荷),无限长的 柱体 柱面 带电线,无限大的 平板 平面,16,举例目的： 1)清晰用高斯定理解题的步骤 2)通过解题明确用高斯定理解题的条件 3)简单的解作为基本结论记住 并且能熟练使用 理论是建立在理想模型之上的,电量分布没有很好的对称性时，虽然,不能用高斯定理求场强，但高斯定理仍然成立！,17,例1 求电量为q 半径为R 的均匀带电球面的电场强度分布,第1步：根据电荷分布的对称性，选取合适的经过场点的高斯面(闭合面

6、),解:,取过场点P的以球心O 为球心的球面,第2步：从高斯定理表达式的左方入手 计算通过高斯面的电通量,18,第4步：根据高斯定理列方程、解方程,第3步：求高斯面内电量代数和,19,第5步：得解,思考：,1）球面内场强为零 到球面外突变 ，物理上合理吗？,2）若选过场点P的任意闭合曲面，高斯定理是否成立？能否求出场强的分布？,3）能否这样证明球面内的场强：“因为球面内没有电荷，所以场强为零”，对吗？,20,例2 求电量为q 半径为R 的均匀带电球体的 电场强度分布,第1步：根据电荷分布的对称性，选取合适的经过场点的高斯面(闭合面),解:,取过场点P的以球心O 为球心的球面,第2步：从高斯定理

7、表达式的左方入手 计算通过高斯面的电通量,21,第4步：根据高斯定理列方程、解方程,第3步：求高斯面内电量代数和,22,第5步：得解,例3 均匀带电的无限长的直线,线密度,对称性的分析,取合适的高斯面,计算电通量,利用高斯定理解出E,23,24,例4 求面电荷密度为的均匀带电无限大平面的场强分布.,解：由对称性分析易知空间的场强必垂直于带电平面, 而且与带电平面距离相等的点场强大小相同.,由于圆筒的侧面上各点的 与侧面平行，故,又,据高斯定理可得：,选一个过场点P、轴线与带电平面垂直的的圆筒形高斯面，两底面到带电平面距离相等，如图所示.,对于有限大带电平面，只要研究的场点P到平面边缘上任一点的

8、距离远大于P点到平面的垂直距离，则此平面就可看作“无限大”平面，上述结论即可应用。,25,无限大带电平面的电场叠加问题,26,关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是：,（A）如果高斯面上 E 处处为零，则该面内必无电荷。,（B）如果高斯面内无电荷 ,则高斯面上E处处为零。,（D）如果高斯面内有净余电荷 ,则穿过高斯面的电通量必不为零。,（C）如果高斯面上 E 处处不为零，则该面内必有电荷。,（ E）高斯定理仅适用于具有高度对称性的电场。,思考,27,例5 真空中有一电荷为Q，半径为R的均匀带电球面.试求 （1）球面外两点间的电势差； （2）球面内两点间的电势差； （3）球面外任意点的电

9、势； （4）球面内任意点的电势.,28,解,由高斯定理知，电场分布为,（1）,29,由高斯定理知，电场分布为,解,1.当r R 时,2.当r R 时,P,30,3.当r = R 时，,4.电势分布,31,均匀带电球面，球内任一点的电势等于球表面的电势，故均匀带电球面及其内部是一个等电势的区域。球外任一点的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷在该点产生的电势。,电势分布曲线,场强分布曲线,E,R,R,r,r,O,O,32,33,1.利用点电荷场强公式和场强叠加原理,2.利用已知场强公式和场强叠加原理,3.利用高斯定理（电荷分布具有很好的对称性）,第一章结束,34,静电喷漆,静电除尘,附录1： 静电

10、应用(图片),35,带电木梳吸水,36,附录2： 高斯定理的立体角法证明 1.介绍立体角的定义 2.证明,37,1)平面角 由一点发出的两条射线之间的夹角 记做 d,单位：弧度,1.立体角的概念,设射线长为r ， 线段元dl对某点所张的平面角：,dl0是以r为半径的圆弧 是线段元dl与dl0之间的夹角,38,2)立体角 面元dS 对某点所张的角叫做立体角 即锥体的“顶角”,单位：球面度,对比平面角有 定义式:,dS0是以r为半径的圆锥对应的球面元 是面元dS与球面元dS0间的夹角,39,弧度,闭合曲面对面内一点所张的立体角,球面度,闭合平面曲线对曲线内一点所张的平面角,40,库仑定律 + 叠加原理,思路：先证明点电荷的场 然后推广至一般电荷分布的场,1) 源电荷是点电荷 在该场中取一包围点电荷的闭合面(如图示),2.高斯定理的证明,在闭合面S上任取面元,该面元对点电荷所张的立体角d,点电荷在面元处的场强为,41,在所设的情况下得证,42,2)源电荷仍是点电荷 取一闭合面不包围点电荷