定积分及其应用习题课.ppt

1、1,定积分及其应用,基本内容,目录 下页 返回 结束,例题选讲,习题课,2,一、基本内容,首页 上页 下页 返回 结束,3,首页 上页 下页 返回 结束,4,首页 上页 下页 返回 结束,5,首页 上页 下页 返回 结束,6,首页 上页 下页 返回 结束,7,首页 上页 下页 返回 结束,8,首页 上页 下页 返回 结束,9,首页 上页 下页 返回 结束,10,首页 上页 下页 返回 结束,11,首先画出平面图形的大概图形，然后根据图形的特点，选择相应的积分变量，确定积分区域写出图形面积的积分表达式.,7.平面图形的面积,首页 上页 下页 返回 结束,12,8. 旋转体的体积,首页 上页 下页

2、 返回 结束,13,9. 平行截面面积为已知的立体的体积,如果曲线弧的参数方程为,10. 平面曲线的弧长,则曲线弧长为,首页 上页 下页 返回 结束,14,物体在变力F(x)的作用下, 从x轴上a点移动到 b点, 所做的功为,11. 变力作功,12. 水压力,对液体深度作微元,求得压强,然后对深度积分可求得物体所受的水压力.,计算一根细棒对一个质点的引力,可将细棒置于坐标轴上建立直角坐标系, 对细棒所处的区间取微元,然后积分.,13. 引力,首页 上页 下页 返回 结束,15,二、基本方法,首页 上页 下页 返回 结束,16,首页 上页 下页 返回 结束,17,首页 上页 下页 返回 结束,7

3、、定积分应用的基本方法 :,微元分析法,微元形状 :,条、,段、,带、,片、,扇、,环、,壳 等.,18,一、 定积分的应用及方法,几何方面 :,面积、,体积、,弧长、,表面积 .,物理方面 :,质量、,作功、,侧压力、,引力、,转动惯量 .,首页 上页 下页 返回 结束,19,三、例题选讲,首页 上页 下页 返回 结束,20,首页 上页 下页 返回 结束,21,驻点,首页 上页 下页 返回 结束,22,首页 上页 下页 返回 结束,23,首页 上页 下页 返回 结束,24,首页 上页 下页 返回 结束,25,首页 上页 下页 返回 结束,26,首页 上页 下页 返回 结束,27,首页 上页

4、下页 返回 结束,28,首页 上页 下页 返回 结束,29,首页 上页 下页 返回 结束,30,首页 上页 下页 返回 结束,31,解,令,首页 上页 下页 返回 结束,32,首页 上页 返回 结束,33,解 这是三叶玫瑰线，由 sin3 0，有,由对称性,例 10 求 = a sin3 所围图形的面积.,首页 上页 下页 返回 结束,34,解,旋转体的体积,首页 上页 下页 返回 结束,(P281-13题),35,解,x,y,o,首页 上页 下页 返回 结束,(参见P281-15(3)题),36,首页 上页 下页 返回 结束,37,首页 上页 下页 返回 结束,38,例14 求抛物线,在(0

5、,1) 内的一条切线,使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.,解 设抛物线上切点为,则该点处的切线方程为,它与 x , y 轴的交点分别为,所围面积,首页 上页 下页 返回 结束,39,得 0 , 1 上的唯一驻点,且为最小点 .,故所求切线为,首页 上页 下页 返回 结束,40,证 先求,上微曲边扇形,绕极轴旋转而成的体积,体积微元,故,绕极轴旋转而成的体积为,首页 上页 下页 返回 结束,例 15 证明曲边扇形,41,解 (1),由方程得,即,故得,首页 上页 下页 返回 结束,42,(2) 旋转体体积,首页 上页 下页 返回 结束,又,又,43,(P288-7题),解 以水中球心为坐

6、标原点,建立坐标系如图.,所求功为将-r, r上的微薄片都上提2r功元素的积分.,设在x处,厚为dx的小薄片在水中的,行程为,在水上的行程为,首页 上页 下页 返回 结束,44,由题设, 球的比重与水的比重相同, 水下薄片所受浮力与重力的合力为零, 薄片在水中上升到水面时不作功.,再由水面提升时,克服重力需作功:,首页 上页 下页 返回 结束,45,例 18 某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层,汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k, k0),汽锤第一次击打将桩打进地下 a 米,根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数 r (0r1),问: (1) 汽锤打桩3次后,可