《自动控制理论教学课件》第4章线性定常系统的线性变换

1、1,第四章 线性定常系统的线性变换,4.1 单输入-单输系统的可控规范型 和可观规范型,4.2 线性定常系统的结构分解,4.3 最小实现（补充）,2,4.1 单输入-单输出系统的可控规范形和可观规范形,一 可控规范形,对单输入-单输出线性定常系统，如果其状态空间描述具有如下形式,则称此状态空间描述为可控规范形。,3,结论：对于完全能控的单输入单输出系统,其中：A为nn常阵，b，c分别为n维列向量和n维行向量。设系统的特征多项式为,引入非奇异线性变换阵P-1：,4,作变换 ，即可导出可控标准型为：,式中：,其中：,5,证明：,1）系统完全可控，必有,所以向量 是线性无关的。,取变换矩阵为,式中：

2、 ，有,6,所以：,由于S和都是线性无关的，显然向量 也是线性无关的。应用凯莱-哈密顿定理得到,7,书写成矩阵形式为：,所以：,8,2）记变换矩阵P的行向量为pi，因PQ = I，即,故：,3）对于向量 ，由 计算得,9,三 可观测规范形,对单输入-单输出线性定常系统，如果其状 态空间描述具有如下形式,则称此状态空间描述为可观测规范形。,10,结论：对于完全可观测的单输入单输出系统,其中：A为nn常阵，b，c分别为n维列向量和n维行向量。设系统的特征多项式为,引入非奇异线性变换阵P ：,11,作变换 ，即可导出可控标准型为：,式中：,其中：,12,4.2 线性定常系统的结构分解,从可控性和可观

3、测性出发，状态变量便可分为可控可观测，可控不可观测，不可控可观测，不可控不可观测四类。 不同类型的状态变量也对应了不同的四类子系统：可控可观测子系统、可控不可观测子系统、不可控可观测子系统和不可控不可观测子系统，称为系统的分解。,对系统进行结构分解是通过引入适当的线性非奇异变换来实现的。,13,一 非奇异线性变换的不变特性,系统经过非奇异线性变换后，不会改变系统原有特性(包括系统特征值、传递函数矩阵、可控性、可观性等)，这就是所谓的非奇异线性变换的不变特性。,14,1非奇异变换后系统可控性不变,设变换前、后系统的可控性矩阵分别为S和 ，则：,另因为P为非奇异，所以,显然有,15,2非奇异变换后

4、系统可观测性不变,设变换前、后系统的可观测性矩阵分别为V和 ，则：,另因为P为非奇异，所以,显然有,16,二系统按可控性的结构分解,1可控性结构分解,设不可控系统的动态方程为,式中：x为n维状态向量；u为p维输入向量；y为q维输出向量；A，B，C为具有相应维数的矩阵。若系统可控性矩阵的秩为,则可构造nn非奇异变换矩阵P-1：,17,进行非奇异线性变换：,即可得到系统按可控性分解的规范表达式：,式中： 为r维可控状态子向量， 为(n-r)维不可控状态子向量，并且,18,nn非奇异变换矩阵P-1的构造方法：,1）从可控性判别阵S中任意的选取r个线性无关的列向量，记为 。 2）在n维实数空间中任意选

5、取尽可能简单的(n-r)个列向量（注：所谓尽可能简单是指这个列向量中有尽可能多的元素为零，非零元素取值为1），记为 ，使它们和 线性无关。 这样就可以构成nn非奇异变换矩阵,19,展开写有：,令 ，则可定义可控子系统动态方程为：,不可控子系统动态方程为：,20,图4-1 可控性规范分解方框图,21,2系统结构可控性分解特点,1）由于,22,因而r维系统 是可控的，且和系统 具有相同的传递函数矩阵。如果从传递特性的角度分析系统 时，可以等价地用分析子系统 来代替，由于后者维数降低了很多，可能会使分析变得简单。,23,2）输入u只能通过可控子系统传递到输出，而与不可控子系统无关，故u至y之间的传递

6、函数矩阵描述不能反映不可控部分的特性。,3）由于在选取非奇异变换矩阵 时，列向量 和 的选取不具有唯一性，虽然可控性规范分解的形式不变，但各系数矩阵因P-1的差异而不同，即可控性规范分解结果不唯一。,24,4）系统的特征多项式可分解为：,表明不完全可控系统的特征值由两部分组成：一部分为 的特征值，称为系统的可控振型；另一部分为 的特征值，称为系统的不可控振型。外部输入u的引入只能改变可控振型的位置，而不能改变不可控振型的位置。,25,例4-2： 已知系统（A,b,c），其中,试将系统作可控性规范分解。,解：1）可控性判别矩阵,故系统不完全可控。,26,2）从S中选出两个线性无关的列向量 和 ，

7、附加任意列向量 ，构成非奇异变换矩阵P-1：,则：,27,即可得到系统按可控性分解的规范表达式为：,故可控子系统动态方程为：,不可控子系统动态方程为：,28,例4-3：给定线性定常系统(A,B,C)，其中,试对系统作可控性规范分解。,解：已知 ，由于 ，故只需判断 是否为行满秩。,系统不完全可控。,29,从可控性判别阵中取线性无关的向量s1, s2，再任取s3，构成非奇异线性变换矩阵：,于是：,30,可控子系统的动态方程为：,不可控子系统的动态方程为：,31,三系统按可观测性的结构分解,设不可观测系统的动态方程为,式中：x为n维状态向量；u为p维输入向量；y为q维输出向量；A，B，C为具有相应

8、维数的矩阵。若系统可观测性矩阵的秩为,则可从V中任意的选取l个线性无关的行向量，记为,32,。再在n维实数空间中任意选取尽可能简单的(n-l)个n维行向量 ，使它们和 线性无关。这样就可以构成nn非奇异变换矩阵,对于上述不完全可观测系统，进行非奇异线性变换,33,即可得到系统按可观测性分解的规范表达式：,式中： 为l维可观测状态子向量， 为(n- l)维不可观测状态子向量，并且,34,展开写有：,则可观测子系统动态方程为：,不可观测子系统动态方程为：,35,图4-2 可观测性规范分解方块图,36,例4-4： 试将例4-2所示系统按可观测性进行分解。已知系统(A,B,C)，其中,解：n=3，系统

9、的可观测性判别矩阵为：,故系统不完全可观。,37,从V中选取两线性无关行向量 和 ， 再选取一个与之线性无关的行向量 ，构成非奇异线性变换矩阵：,则：,38,即可得到系统按可观测性分解的规范表达式：,可观测子系统动态方程为：,不可观子系统动态方程为：,39,四、系统结构的规范分解（可控性可观测性结构分解）,对于不完全可控和不完全可观测的n维系统状态空间描述：,， 。实现系统结构的规范分解：可先对其按可控性进行分解，然后再分别对得到的可控子系统和不可控子系统按可观测性进行分解，则可找到一个非奇异矩阵P，做变换 ，实现按可控性可观测性结构分解。,40,具体实现过程： 1) 先对系统进行可控性分解，

10、即引入状态变换,式中 基于系统可控性矩阵来构造。,2）对可控子系统进行可观测性分解，即引入状态变换,式中 基于可控子系统的可观测性矩阵来构造 。,41,3）对不可控子系统进行可观测性分解，即引入状态变换,式中 基于不可控子系统的可观测性矩阵来构造。,4）综合上面三次状态变换，有下列状态变换关系,引入P-1变换，做变换 ，即可将系统分解为：,42,使系统结构分解为：,43,可控可观测子系统的动态方程：,可控不可观测子系统的动态方程：,不可控可观测子系统的动态方程：,不可控不可观测子系统的动态方程：,44,注意：由信号的传递关系可知,系统的传递函数矩阵为：,上式说明线性定常系统的传递函数矩阵与其可

11、控可观测子系统的传递函数矩阵相同，这体现了系统状态空间描述与输入输出描述的一个重要关系，即输入输出描述只能反映系统的既可控又可观测部分，它是对系统的一个不完全描述。只有当系统为可控且可观测时，输入输出描述对系统的表征才是完整的。,45,例4-5 ：设不可控且不可观测系统的动态方程为,试对系统作可控可观测性规范分解。,解：1）系统按可控性分解。系统可控性判别阵：,系统不完全可控，可控状态的维数为2。,46,选取进行可控性分解的变换阵：,则：,47,故有：,其中可控子系统为：,不可控子系统为：,48,2)不可控子系统是一维的。输出方程 是可观测子系统，故令：,3）可控子系统的可观性规范分解。首先确

12、定系统可观测状态的维数。系统可观测性判别阵：,可控子系统不完全可观测，可观测状态的维数为1。构造可观测性分解变换矩阵：,49,可观性规范分解的变换矩阵为：,则引入变换 ，即对按可控性分解后的系统按可观测性分解，得：,50,即系统按可控可观测性分解的结果为：,原系统分解为 三部分。,51,4.3 最小实现（补充）,1定义：对于传递函数矩阵G(s)的一个维数最低的实现，称为G(s)的最小实现或不可约简实现。,2定理：设(A,B,C)为传递函数矩阵的一个n维实现，则其为最小实现的充要条件是A,B可控且A,C可观测。,52,3. 对SISO系统，如何直接利用传递函数确定最小实现？,设单输入单输出线性定常系统(A,b,c)的传递函数为：,式中： 是系统的特征多项式；,，其中adj(sI-A)为特征矩阵sI-A的伴随矩阵。,定理：系统实现(A,b,c)为最小实现，即为可控且可观测的