信号与线性系统教学资料第5讲

1、信号与线性系统,第 5 讲 教材位置: 第3章 连续信号的正交分解 3.4-3.5 内容概要: 周期信号的频谱，非周期信号的频谱，傅里叶变换,2020/8/3,信号与线性系统第5讲,2,开讲前言-前讲回顾,函数分解与正交函数集 矢量分解与正交矢量空间 正交函数集的定义,正交函数集的完备性 函数在正交函数集的分解 复变正交函数集的定义 三角、指数函数集构成正交函数集 信号表示为傅立叶级数 三角傅立叶级数， 信号表示为三角傅立叶级数的分量表示 信号可表示为傅立叶级数的条件 指数傅立叶级数，复振幅系数，以及与三角级数系数的关系 关于信号用傅立叶级数表示的几点说明 物理意义、正交函数集的范畴、被表达函

2、数的周期性,2020/8/3,信号与线性系统第5讲,3,开讲前言-本讲导入,信号表示为傅里叶级数，即信号可由不同频率的正弦信号加权构成 要知道信号由哪些频率的正弦信号组成，知道其加权值，这就是关于信号的频谱问题 频谱：信号由不同频率的信号构成，各个频率信号的幅度。 信号的频谱是信号的重要物理概念 对周期信号进行傅里叶级数展开的同时，得到该周期信号的频谱。 本讲学习周期信号的频谱分析、对称周期信号的频谱分析、非周期信号的频谱分析、傅里叶变换。,2020/8/3,信号与线性系统第5讲,4,3.4 周期信号的频谱,1、周期方波频谱分析,1,1,0,T/2,T,t,f(t),2020/8/3,信号与线

3、性系统第5讲,5,3.4 周期信号的频谱,周期方波信号频谱分析 离散性频谱是不连续的线条。 谐波性线条只出现在谐波位置。 收敛性谱线高度为该谐波的振幅，总趋势是收敛的,2020/8/3,信号与线性系统第5讲,6,3.4 周期信号的频谱,2、周期性矩形脉冲函数频谱分析 脉冲幅度为A 脉冲宽度为 脉冲重复 周期T 一个周期内表达式 展开为指数傅里叶级数 复振幅表示为,A,0,2020/8/3,信号与线性系统第5讲,7,3.4 周期信号的频谱,直流分量 N次谐波振幅 振幅与/T相关,抽样函数,2020/8/3,信号与线性系统第5讲,8,3.4 周期信号的频谱,频谱作图 抽样函数sa(x) 令T=5

4、,在n=0,n=1,n=2,， 求A0、A1、A2各次谐波振幅。 用相应长度线段代表,并按频率高低排列，得振幅频谱。 三种振幅频谱表示方式 复数振幅An 振幅频谱An=|An| 指数级数系数Cn,2020/8/3,信号与线性系统第5讲,9,3.4 周期信号的频谱,频谱图说明 复数振幅An一般为复函数，当An为实函数时可用幅度正、负表示相位为0和，形成幅度谱和相位谱合一，否则就必须分解为振幅频谱和相位频谱表示； 振幅频谱An=|An|为实数，仅仅对幅度描述； 指数级数系数Cn是复函数，引入了负频率变量，同时，振幅幅度减半。,2020/8/3,信号与线性系统第5讲,10,3.4 周期信号的频谱讨论

5、, /T对频谱结构的影响 不变而T增大时： 谱线变密。因=2/T，故T ； 谱线高度减小。An与T成反比 T 不变而 减小时 振幅过零点谐波频率提高。包络形状的变化 整个频谱振幅相应减小，收敛速度降低。 0 , T 谱线密集成连续 振幅趋近零且平坦无过零点 这就是冲激函数的频谱,2020/8/3,信号与线性系统第5讲,11,3.4 周期信号的频谱讨论,频带宽度定义： 对于一个信号，从零频率开始到需要考虑的最高分量的这一频率范围，是信号所占有的频带宽度，简称频宽。 一般以振幅第一个过零点为频带宽度。 若振幅没有过零点，则以振幅下降到最高幅度的10%所对应的频率点为频宽。 信号的时间特性和频率特性

6、间的关系 时间函数中变化较快的信号必定具有较宽的频带。,2020/8/3,信号与线性系统第5讲,12,3.4 周期信号的频谱,3、对称信号的傅里叶级数 四种对称关系 偶函数 ：对称纵轴 奇函数 ：对称原点 奇谐函数 ：半周期镜像 偶谐函数：半周期重叠,任意函数f(t)的奇、偶分量表示法：,2020/8/3,信号与线性系统第5讲,13,3.4 周期信号的频谱,对称函数频谱分析 周期函数展开为三角傅里叶级数 偶函数项 奇函数项 余弦函数为偶函数，正弦函数为奇函数 偶函数只有直流分量和余弦项 奇函数只有正弦项 奇谐函数只有奇数谐波项 偶谐函数只有偶数谐波项,2020/8/3,信号与线性系统第5讲,1

7、4,3.4 周期信号的频谱,偶函数三角级数表达式 an是实数 bn0 偶函数指数级数表达式 Cn是实数 举例：周期三角函数,2020/8/3,信号与线性系统第5讲,15,3.4 周期信号的频谱,奇函数三角级数表达式 an a0 0 bn是实数 奇函数指数级数表达式 Cn是虚数 举例：周期锯齿波函数,2020/8/3,信号与线性系统第5讲,16,3.4 周期信号的频谱,奇谐函数特征 沿时间轴移半个周期； 符号反转； 波形不变； 移动半周期横轴镜像对称 奇谐函数傅里叶级数 偶次谐波系数为0 a2n=b2n=0,2020/8/3,信号与线性系统第5讲,17,3.4 周期信号的频谱,偶谐函数特征 沿时

8、间轴移半个周期； 波形不变； 半周期重叠 偶谐函数傅里叶级数 奇次谐波系数为0 可看成T1=T/2的周期函数 作为周期T分析，系数为 作为周期T1分析，系数为,2020/8/3,信号与线性系统第5讲,18,3.4 周期信号的频谱举例,利用傅立叶级数的对称性判断信号含有的频率分量,函数为周期偶函数且奇谐函数 只含基波和奇次谐波的余弦分量,函数为周期奇函数且奇谐函数 只含基波和奇次谐波的正弦分量,2020/8/3,信号与线性系统第5讲,19,3.4 周期信号的频谱举例,函数为偶谐函数 含有直流分量和偶次谐波分量,函数为奇函数 只含有正弦分量,函数为偶函数且偶谐函数 含有直流分量和偶次余弦分量,20

9、20/8/3,信号与线性系统第5讲,20,3.4 周期信号的频谱,2020/8/3,信号与线性系统第5讲,21,3.5傅里叶变换与非周期信号的频谱,1、思路 讨论周期脉冲信号的频谱函数时候发现周期无穷大成为非周期信号，频谱谱线密集变得连续，幅度收缩为无穷小； 如何表示整体无穷小但仍有相对振幅差别的非周期信号频谱？ 通过对频谱的定义公式乘T/2，可以保持振幅之间的相对大小关系，由此产生一个对非周期信号频谱有意义的定义； 考虑T趋向无穷大，对于原信号傅里叶级数求和表达式进行积分转化，得到一个很有用途的新的定义： 傅里叶变换关系式,2020/8/3,信号与线性系统第5讲,22,3.5傅里叶变换与非周

10、期信号的频谱,2、傅里叶变换定义 定义f(t)为fT(t)在T 的非周期函数 周期函数fT(t)的复振幅表示为 两边乘T，当T时，极限量用符号F(j)表示； 当T时，趋于无穷小用d 表示， n趋于； F(j)的量纲为：单位频带的振幅，称其为原函数f(t)的频谱密度函数。,2020/8/3,信号与线性系统第5讲,23,3.5傅里叶变换与非周期信号的频谱,F(j)表示为复函数 幅度频谱|F(j)| 相位频谱() 复函数的共轭性 因为,若f(t)为实函数，则F(j)和F(-j)共轭，有下列结果 F*(j) = F(-j) 进而推导，由于 F(j) = | F(j)|e -j() 则有 F* (j)

11、=|F(j)|e j() F(-j) =|F(-j)|e -j(-) 上面两个复函数相等，则函数的模和相角都相等，有下面等式 | F(j)| = | F(-j)| 和 () = -(- ) 结论： | F(j)|是的偶函数，( )是的奇函数。,2020/8/3,信号与线性系统第5讲,24,3.5傅里叶变换与非周期信号的频谱,用F(j)表达f(t),当T ，,2020/8/3,信号与线性系统第5讲,25,3.5傅里叶变换与非周期信号的频谱,傅里叶变换存在的条件 非周期信号进行傅里叶积分也要满足狄利克雷条件。（有限间断点、有限极值和积分收敛） 绝对可积条件的积分表达式，为以下积分收敛 这是一个充分

12、条件，不是必要条件； 后面要介绍的周期函数的傅里叶变换表现出：函数虽然不是绝对可积，但存在傅里叶变换。,2020/8/3,信号与线性系统第5讲,26,3.5傅里叶变换与非周期信号的频谱,2、典型非周期信号的傅里叶变换分析 宽度，幅度A的单脉冲信号（门函数） 傅里叶变换,2020/8/3,信号与线性系统第5讲,27,3.5傅里叶变换与非周期信号的频谱,分析 包络外形是抽样函数，幅度是A 乘积 频谱具有收敛性，即信号的大部分能量都集中在低频段； 过0点在为周期对应的角频率的整数倍位置 与周期脉冲频谱的异同 包络外形一致， 原来以周期T的角频率作为基波，只在基波与谐波有值 现在是连续函数 当减小时，频谱的收敛速度变慢，即脉宽与频宽成反比 当趋近0时，单脉冲近似为冲激函数，此时谱线趋近水平，幅度为脉冲面积，即A 乘积。可预见冲激函数的傅里叶变换等于1。,2020/8/3,信号与线性系统