数学物理方程第四章-留数定理.ppt

1、2020/8/3,阜师院数科院,第 四 章 留 数 定 理,4.1 留数定理,回忆柯西定理：如果 f(z) 是复闭通区域上的解析函数，则,这样的积分不为零，必定包含奇点。因此，研究奇点是求积分的第一要务。,2020/8/3,阜师院数科院,1. 定理,设函数 f(z) 在回路 l 所围区域 B 是除有限个孤立奇点 ，外解析，在闭区域 上除点 外连续，则,又：,2020/8/3,阜师院数科院,证明,如图，当区域中含有一个孤立奇点时在其收敛环可写,当区域中有 n 个孤立奇点时,#,柯西定理,闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时钟方向的积分 等于沿所有内境界线逆时钟方向的积分的和。,一个孤立奇点,20

2、20/8/3,阜师院数科院,当区域中有 n 个孤立奇点时,#,2020/8/3,阜师院数科院,2. 留数的计算,A. 单极点的情况：,作为幂零项,B. m 阶极点的情况,2020/8/3,阜师院数科院,m-1 次求导后 项为幂零项,2020/8/3,阜师院数科院,首先必须确定极点的阶！,分析经验,2020/8/3,阜师院数科院,3. 例,(1),处的留数。,解,分母的因式分解,一个单极点,(2),求 的极点，以及在极点上的留数。,解,极点为,无穷多个单极点,2020/8/3,阜师院数科院,(3),求 的极点，以及在极点上的留数。,解,A. 单极点,2020/8/3,阜师院数科院,(4),计算沿

3、单位圆 的如下回路积分。,解,寻找被积函数在单位圆内的极点，即它的分母在单位圆内的零点。,B. 3阶极点,2020/8/3,阜师院数科院,其中,在单位圆外。,又,在单位圆内,2020/8/3,阜师院数科院,2020/8/3,阜师院数科院,4.2 应用留数定理计算实变函数定积分,留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数。这就要利用解析延拓的概念。留数定理又是应用到回路积分的，要应用到定积分，就必须将定积分变为回路积分中的一部分。,如图，对于实积分 ，变量 x 定义在闭区间 a,b (线段 )，此区间应是回路 的一部分。实积分 要变为回路积分，则实函数必须解

4、析延拓到复平面上包含回路的一个区域中， 而实积分 成为回路积分的一部分：,2020/8/3,阜师院数科院,左边可以利用留数定理，右边对 的积分在解析延拓允许的情况下，可以自由选择，通常选择 使积分最易完成。这样可以完成实变函数定积分。,现在，大部分这样的积分可以应用计算软件完成，我们在这儿只给出最基础的类型。,类型一：三角函数的有理式的积分,2020/8/3,阜师院数科院,变量变换,积分区域变换：线段到单位圆。,2020/8/3,阜师院数科院,例,解,类型二：,其中，复变函数 f(z) 在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当 z 在实轴和上半平面趋于无穷大时，zf(z) 一致地趋

5、于零。,2020/8/3,阜师院数科院,这个积分通常看作为极限,而当 时，此极限称为 I 的主值,2020/8/3,阜师院数科院,例,n 为正整数.,解：,上半平面上有 n 阶极点 i 。,2020/8/3,阜师院数科院,2020/8/3,阜师院数科院,类型一：三角函数的有理式的积分,变量变换,类型二：,f(z) 在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点外解析；当 z 在实轴和上半平面趋于无穷大时，zf(z) 一致地趋于零。,2020/8/3,阜师院数科院,类型三：,偶函数 F(z) 和奇函数 G(z) 在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当 z 在实轴和上半平面趋于无穷大， F(z) 和 G(z) 一致地趋于零。,作变换,2020/8/3,阜师院数科院,约当引理,对于正整数 m ,上述极点沿 的积分为,证,同理,2020/8/3,阜师院数科院,只需证明,有界。,是一条对角线，在 范围