第五章 S域分析.ppt

1、电子与信息工程学院,第五章 连续系统的S域分析,5.2 拉普拉斯变换的性质,电子与信息工程学院,目 录,连续系统的S域分析,目 录,电子与信息工程学院,引言,电子与信息工程学院,上一章的频域分析是以虚指数信号ejt为基本信号。 任意信号可分解为若干不同频率的虚指数分量之和，使响应的求解得到简化。其物理意义清楚，但也有不足： （1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2t(t); （2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。,本章引入 以复指数函数est为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。使用复频率s进行系统分析，称为s域分析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。 这样，频域的傅

2、里叶变换就推广到了复频域的拉普拉斯变换。,复频率 s = +j,一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 二、收敛域 三、因果信号的单边拉氏变换与傅里叶变换的关系,5.1 拉普拉斯变换,频谱函数,一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换,存在问题,阶跃函数的 傅里叶变换难以用上式求出；而指数增长函数 不存在傅里叶变换,解决办法,衰减因子 (为实常数）乘信号f(t),使 在 时，趋于0，从而存在傅里叶变换,相应的傅里叶逆变换为,令 ,则 ,得,双边拉普拉斯变换对,称为 的双边拉普拉斯变换（或象函数） 称为 的双边拉普拉斯逆变换（或原函数）,二、收敛域,选择 值，使双边拉普拉斯变换的积分收敛 例1 因果信号f1(t)

3、= et (t) ，求拉氏变换,可见，对于因果信号，仅当Res=时，其拉氏变换存在。,收敛域,收敛边界,收敛域如图所示,例2 反因果信号f2(t)= et(-t) ，求拉氏变换。,可见，对于反因果信号，仅当Res=时，其拉氏变换存在。 收敛域如图所示。,例3 典型信号的双边拉普拉斯变换,Res= 2,Res= 3, 3 2,f1(t)= e-3t (t) + e-2t (t) f2(t)= e -3t (t) e-2t (t) f3(t)= e -3t (t) e-2t ( t),注：双边拉普拉斯变换必须指明收敛域,单边拉氏变换,典型信号的拉氏变换,1、,2、,3、,4、,5、,三、因果信号的

4、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系,00 F(j)不存在.,5.2 拉普拉斯变换的性质,目 录,电子与信息工程学院,5.2 拉普拉斯变换性质,线性性质 尺度变换 时移特性 复频移特性 时域微分 时域积分,卷积定理 s域微分 s域积分 初值定理 终值定理,一、线性性质,若f1(t)F1(s) Res1 f2(t)F2(s) Res2 则 a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(s)+a2F2(s) Resmax(1,2),二、尺度变换,若 , Res0，且有实数a0 ，,则,三、时移特性,若f(t) F(s) , Res0, 且有实常数t00 , 则f(t-t0)(t-t0)e-st0F(s) ,

5、Res0,与尺度变换相结合,四、复频移（s域平移）特性,若f(t) F(s) , Res0 , 且有复常数sa=a+ja, 则f(t)esat F(s-sa) , Res0+a,五、时域的微分特性（微分定理）,若f(t) F(s) , Res0, 则f(t) sF(s) f(0-),六、时域积分特性（积分定理）,七、卷积定理,时域卷积定理,复频域（s域）卷积定理,八、s域微分和积分,若f(t) F(s) , Res0, 则,若因果函数 f1(t) F1(s) , Res1 , f2(t) F2(s) , Res2 则 f1(t)*f2(t) F1(s)F2(s),九、初值定理和终值定理,由F(

6、s)直接求f(0+)和f(），而不必求出原函数f(t).,初值定理,设函数f(t)不含(t)及其各阶导数（即F(s)为真分式，若F(s)为假分式化为真分式），则,终值定理,若f(t)当t 时存在，并且 f(t) F(s) , Res0, 00，则,举例,例4：,例5：,目 录,电子与信息工程学院,一、逆变换方法 : （1）查表 （2）利用性质 （3） 部分分式展开 -结合,若象函数F(s)是 s的有理分式：,若mn,例6：,二、零点和极点,若mn,零点,极点,三、部分分式展开法,单阶实数极点,例7：,共轭复数极点,重根,的求法,左=-3,目 录,电子与信息工程学院,一、微分方程,系统的初始状态为y(0-) ,y(1)(0-),，y(n-1) (0-),利用拉氏变换求解：,s域的代数方程,若f (t)在t = 0时接入系统，则 f (j)(t) s j F(s),y(t)， yzi(t)， yzs(t),例8 描述某LTI系统的微分方程为 y(t) + 5y(t) + 6y(t) = 2f (t) 已知初始状态y(0-) = 1，y(0-)= -1，激励f (t) = 5cost(t)， 求系统的全响应y(t),解： 方程取拉氏变换，并整理得,Yzi(s),Yzs(s),二、系统函数,它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始状态无