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1、1.1 变化率与导数,陈 琦,为什么同样从室温变化到100摄氏度，青蛙却有 不同的反应呢？,这是我国的某年的人均收入：,如何判断我国经济发展情况呢？,研究丰富多彩的变化率问题,平均变化率,瞬时变化率,问题一：气球膨胀率,问题二：高台跳水,平均变化率,我们把这个式子称为函数 从 到 的 平均变化率（average rate of change). 习惯上用 表示 ，即 ,类似的 .于是，平均变化率可以表示为 .,平均变化率的几何意义,对任意函数 ，做过其上任意两点的割线.不妨以 为例.,（几何画板演示）,研究丰富多彩的变化率问题,平均变化率,瞬时变化率,求t=2s时的瞬时速度，先考察t=2附近的
2、情况.在t=2附近任取一个时刻 .,取较小的 值代入计算,当 t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于 2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 13.1.,从物理的角度看, 时间间隔 |t |无限变小时, 平均速度就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 13.1m/s.,思考：,1、任取某一时刻t0，其瞬时速度怎样表示？,2、函数f(x)在x0处的瞬时变化率怎样表示？,导数的定义:,导数的几何意义:,（几何画板演示）,例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位: )为 f (x) = x2 7x+15 ( 0 x8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.,解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是,和,根据导数的定义,所以,同理可得,在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为3和5. 它说明在第2h附近, 原油温度大约以3 / h的速率下降; 在第6h附近,原油温度大约以5 / h的速率上升.,解法一：,一差二比三极限,解法二：,利用导数的几何意义,课堂小结：,平均变化率,从 到 的 平均变化率,割线的斜率,导数,y = f (x) 在 x = x0 处的
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