线性代数逆矩阵.ppt

1、第3节 逆矩阵(inverse matrix),3.1 逆矩阵的概念,3.2 方阵可逆的充分必要条件,3.3 逆矩阵的应用,下页,3.1 逆矩阵的概念,解方程组,解：将其写成矩阵方程,两边都左乘矩阵F得,从而得方程组的解:,下页,那么,F 矩阵是怎么得到的呢？,第3节 逆矩阵,逆矩阵概念的引入,定义1 对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得 ABBAE， 那么矩阵A称为可逆的，而B称为A的逆矩阵.,可逆矩阵的定义,这是因为，如果B和B1都是A的逆矩阵，则有,AB=BA=E，,AB1=B1A=E,于是 B,=B1 .,=EB1,=( BA)B1,=B(AB1),=BE,定理1 如果矩阵A可逆，

2、则A的逆矩阵是唯一的.,逆矩阵的唯一性,下页,记为A1 .,由于A，B位置对称，故A，B互逆，即BA1 AB1,3.2 方阵可逆的充分必要条件,定义2 由矩阵,称为矩阵A的伴随矩阵，记为A* .即,的代数余子式构成的矩阵,下页,例1. 求,的伴随矩阵A*.,解:,同理 A13=1， A21=-2， A22=1， A23=-1， A31=-1， A32=2， A33=1,因此A的伴随矩阵,三阶矩阵A的伴随矩阵A*为,，,下页,定理2 n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是|A|0，而且,其中A*为方阵A的伴随矩阵.,所以|A|0.,设A可逆，,故|A|A1|E|1，,使AA1E ,即有A1，,证：,必

3、要性.,定义3 对于n阶矩阵A，若行列式|A|=0，则称A是奇异的 (或降秩的或退化的)，否则称A为非奇异的(或满秩的或非退 化的) .,下页,方阵可逆的充分必要条件,=|A|E,|A|,0,0,0,|A|,0,0,0,|A|,充分性.,定理2 n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是|A|0，而且,其中A*为方阵A的伴随矩阵.,证：,则有 AB,注意：,=E .,同理可证BA=E .,因此A可逆，,(即 AB = E.),下页,解: 因为,=20，,所以A可逆.,又因为,10,7,-5,-2,-2,2,2,1,-1,，,所以,A-1,|A|=,下页,讨论：,提示：,=a11a22-a12a21，,下

4、页,(2)如何求对角矩阵的逆矩阵。,(1),(2),推论,这一结论说明，如果要验证矩阵B是矩阵A的逆矩阵，只要 验证一个等式AB=E或BA=E即可.,下页,例3设n阶矩阵A满足aA2+bA+cE=O，证明A为可逆矩阵， 并求A-1(a, b, c为常数，且c0) .,又因c0，故有,aA2+bA= -cE，,解: 由aA2+bA+cE=O，有,-c-1(aA2 +bA) =E，,即 -c-1(aA+bE )A=E，,因此A可逆，且A-1 = - c-1aA - c-1bE .,下页,可逆矩阵的性质,3. (AB )1B 1A1.,因为,(AB)(B-1A-1),=A(BB-1)A-1,=AEA

5、-1,=AA-1,=E,所以(AB )1B 1A1.,2. (lA )1l1A1.,1. (A1)1A.,4. (AT )1(A1)T .,因为,AT(A-1)T,=(A-1A)T,=ET=E，,所以 (AT )1(A1)T .,5. |A1|=|A|1 .,下页,应当指出，A，B可逆，A+B未必可逆.,即使A+B可逆，但一般地,例如,显然A、B可逆，,但因为 |A+B|=0,故A+B不可逆.,当A=B时，,，而不是,下页,线性方程组,的矩阵形式为,其中,若A可逆，,AX=b两边左乘A-1，得 X=A-1b,这就是线性方程组解的矩阵表达式.,下页,用逆矩阵求解线性方程组,3.3逆矩阵的应用,例

6、5. 利用逆矩阵求解方程组,解: 将方程组写成矩阵形式,计算得,，故A可逆.,因而有,，即,下页,解:,X,下页,XA-1CB-1,为什么？,用逆矩阵求解矩阵方程,解：,XA-1CB-1,注：求解矩阵方程,下页,例5. 设三阶矩阵A,B满足关系式 ，且,求矩阵 B.,解: 由于A可逆，,将等式,两端右乘,有,，整理得,于是,故,，,下页,练习,下页,练习,解: 1. 由A2-A-2E=O，得,所以A-E可逆，正确选项为 ,2. 由ABCE, 可得BC为A的逆阵，,所以BCAE,正确选项为 ,1、设 n 阶矩阵A满足A2-A-2EO，则必有( ) A=2E； A= - E； A - E可逆； A

7、不可逆,2、设A,B,C均n为阶方阵，且ABC=E，则( ) ACB=E； CBA=E ； BAC=E ； BCA=E ,下页,作业： 86页 30,结束,1. AAAA|A|E ;,3. 若|A|0, 则|A*|=|A|n-1 .,2. 若|A|0, 则A|A|A-1 ;,下页,3.6 伴随矩阵的常用性质,4. (AB)*=B*A*,5. (kA)*=kn-1A*,7. 若A可逆，则(A-1)*=(A*)-1,6. (A*)T=(AT)*,一、初等变换,二、初等矩阵,三、求逆矩阵的初等行变换法,下页,第5节 矩阵的初等变换与初等矩阵,5.1 初等变换,交换第i行与第j行记为rirj .,r2

8、r4,定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行(列)； (2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.,例如,下页,第5节 矩阵的初等变换与初等矩阵,交换第i列与第j列记为cicj .,c1c3,例如,下页,5.1 初等变换,定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行(列)； (2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.,用数k乘以第i行记为kri .,4r2,例如,下页,5.1 初等变换,定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.

9、 (1)交换矩阵的某两行(列)； (2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.,用数k乘以第i列记为kci .,4c3,例如,下页,5.1 初等变换,定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行(列)； (2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.,第i行的k倍加到第j行记为rj+kri .,r3-3r1,例如,下页,5.1 初等变换,定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行(列)； (2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一

10、行(列)的k倍加到另一行(列)上.,第i列的k倍加到第j列记为cj+kci .,c3+c1,例如,下页,5.1 初等变换,定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行(列)； (2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.,定义2 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为 初等矩阵（或初等方阵）. 初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k)、E(j,i(k) .,=E(2, 4),例如，下面是几个4阶初等矩阵：,r2r4,=E(2, 4),c2c4,下页,5.2 初等矩阵,=E(3(4),4 r3,=E(3(

11、4),4 c3,下页,定义2 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为 初等矩阵（或初等方阵）. 初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k)、E(j,i(k) .,5.2 初等矩阵,例如，下面是几个4阶初等矩阵：,=Er(2,4(k),r2+kr4,=Ec(2,4(k),c2+kc4,下页,定义2 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为 初等矩阵（或初等方阵）. 初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k)、E(j,i(k) .,5.2 初等矩阵,例如，下面是几个4阶初等矩阵：,初等矩阵都是可逆的，且它们的逆矩阵仍是初等矩阵.,初等矩阵的可逆性,E(j,i(k)-1=E

12、(j,i(-k) .,E(i(k)-1=E(i(k -1)；,E(i, j)-1=E(i, j)；,这是因为，初等矩阵的行列式要么为1,要么为-1,要么为k(k0) . 其逆阵分别为:,下页,定理1 设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换相当于 在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换 相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.,E(1, 2)A=,与交换A的第一行(列)与第二行(列)所得结果相同.,AE(1, 2)=,例如，设,下页,定理1 设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换相当于 在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换 相当于在A的右边乘以相应

13、的n 阶初等矩阵.,E(1(3)A=,与A的第一行(列)乘以3所得结果相同.,AE(1(3)=,例如，设,下页,与第三行(列)的2倍加到第一行(列)所得结果相同.,例如，设,E(1,3(2)A=,AE(1,3(2)=,下页,定理1 设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换相当于 在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换 相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.,5.3 求逆矩阵的初等变换方法,定理2 若n阶矩阵A可逆，则可以通过初等行变换将A化为单位矩阵.,证： 因为A可逆,即|A|0，所以A的第一列不全为0,不妨设a11 0.,将A的第一行元素乘以1/a11 ,再将变换后

14、的第一行的(-ai1)倍加到第i行， i=2,3,n,使第一列其他元素全化为零，得如下形式矩阵B1:,由定理1知，,其中Fi是对应初等矩阵.,一直进行下去，最终把A化成了 单位矩阵E.,同理可得B2:,下页,即B2的第二行第二列元素化为 1, 第二列的其它元素全化为零.,推论 方阵A可逆的充分必要条件是A可以表示为有限个 初等矩阵的乘积.,下页,证 （必要性）假设A可逆，由定理2，A经有限次初等行变换可化为单位阵E , 即存在初等矩阵,使,而,是初等矩阵.,（充分性）如果A可表示为有限个初等矩阵的乘积，因为初等矩阵都是可逆的，而可逆矩阵的乘积仍然可逆的，所以A是可逆矩阵.,利用初等行变换求逆矩阵的方法(要求：熟练掌握),构造一个 n2n 矩阵(A|E)，对矩阵(A|E)作初等行变换