2019版数学浙江省学业水平考试专题复习必修5-§1

1、。 知识点一正弦定理 在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则 定理 内容 正弦定理 (1)2R sinAsinBsinC (2)a2RsinA， abc b2Rsin_B， c2Rsin_C； 变形 (3)sinA，sinB，sinC； 2R2R2R (4)abcsin_Asin_Bsin_C； (5)asinBbsinA， abc bsinCcsinB， asinCcsinA 知识点二余弦定理 定理余弦定理 a2b2c22bccos_A； 内容b2c2a22cacos_B； c2a2b22abcos_C b2c2a2 cosA； 2bc 变形 c2a2b

2、2 cosB； 2ca a2b2c2 cosC 2ab -可编辑修改- 。 知识点三三角形面积公式 1 1SABCah(h表示边a上的高) 2 111 2SABCabsinCbcsinAacsinB. 222 1 3Sr(abc)(r为三角形内切圆的半径) 2 知识点四解三角形 1已知两角和一边，如已知A，B和c，由ABC 求C，由正弦定理求a，b. 2已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求 较短边所对的角，然后利用ABC 求另一角 3已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由ABC 求 C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解

3、可能有多种情况 4已知三边a，b，c，可以应用余弦定理求A，B，C. 5判断三角形的形状通常利用正、 余弦定理进行边角互化， 根据边的关系或角的关系确定三 角形的形状 6在ABC中，abcABCsinAsinBsinC. 题型一正、余弦定理的应用 例 1(1)(2017 年 4 月学考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a 3， A60，B45，则b的长为() A. 2 B1 C. 2 D2 2 3且 bc， 2 (2)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2，c2 3，cosA 则b等于() A3 B2 2 C2 D. 3 答案(1)C(2)C 解析(1)由

4、正弦定理得， sinAsinB ab asinB3sin 45 b 2. sinAsin 60 (2)由bc2bccosAa，得b6b80， 解得b2 或b4， 2222 -可编辑修改- 。 因为bc2 3，所以b2. 感悟与点拨(1)一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式， 就要考虑用余弦定理； 如 果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，就考虑用正弦定理；以上特征都不明显时， 则要考虑两个定理都有可能用到 (2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制 跟踪训练 1(1)(2018 年 4 月学考)在ABC中，已知AB2，AC3，则cosC的取值范围是 _ 答案 5 ，1 3

5、22 解析设BCa， 由 2 a3 23acosC， 2 a294a5 得 cosC 2 6a66a 当且仅当a 5时，等号成立 5cos C1. 3 a55 ， 66a3 (2)(2016 年 10 月学考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 sin 2C 3 cosC，C为锐角 求角C的大小； 若a1，b4，求边c的长 解由 sin 2C 3cosC，得 2sinCcosC 3cosC， 因为C为锐角，所以 cosC0， 从而 sinC 3. 2 故角C的大小是 . 3 由a1，b4，根据余弦定理得 c2a2b22abcos13，所以边c的长为 13. 题型二判断三角

6、形的形状 例 2(2016 年 4 月学考)在ABC中，已知A30，AB3，BC2，则ABC的形状是() A钝角三角形 C直角三角形 答案A B锐角三角形 D不能确定 3 -可编辑修改- 。 解析由正弦定理，得 sinAsinC sinC BCAB ABsinA3sin 303 ， BC24 732 1 ， 44 7时，C 为钝角， 4 cosC 当 cosC 则ABC为钝角三角形 当 cosC 7时， 4 cosBcos180(AC) cos(AC)(cosAcosCsinAsinC) 7133 4242 2130， 8 B为钝角 故ABC为钝角三角形 感悟与点拨依据已知条件中的边角关系判断

7、三角形的形状时，主要有如下两种方法： (1)利用正、 余弦定理把已知条件转化为边边关系， 通过因式分解、 配方等得出边的相应关系， 从而判断三角形的形状 (2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形， 得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC 这个结论 跟踪训练 2在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.若 sinCsin(BA) sin 2A，试判断ABC的形状 解sinCsin(BA)sin 2A， sin(BA)sin(BA)2sinAcosA， 2sinBcosA2sinAcosA， cosA(sinAsinB)0

8、， cosA0 或 sinAsinB0. 当 cosA0 即A 时，ABC为直角三角形 2 当 sinAsinB0 时，sinAsinB， ab，此时ABC为等腰三角形 综上，ABC的形状为直角三角形或等腰三角形 -可编辑修改- 。 题型三与三角形面积有关的问题 例 3在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bc2acosB. (1)证明：A2B； (2)若ABC的面积S ，求角A的大小 4 (1)证明由正弦定理得，bc2acosBsinBsinC2sinAcosB， 所以 2sinAcosBsinBsin(AB) sinBsinAcosBcosAsinB， 则 sinBsin

9、(AB)， 又A，B(0，)，故 0AB， 所以B(AB)或BAB， 即A(舍去)或A2B， 所以A2B. (2)解由S 得， 4 1a absinC ，由正弦定理及(1)得 24 11 2 sinAsinBsinC sinA， 24 1 sinBsinC sin 2BsinBcosB， 2 因为 sinB0，得 sinCcosB又B，C(0，)， 所以C B. 2 当BC 时，A ； 22 当CB 时，A . 24 综上，A 或A . 24 感悟与点拨有关三角形面积问题的求解方法： (1)灵活运用正、 余弦定理实现边角转化 (2) 合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系式、二倍角公式

10、等 跟踪训练 3(1)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若 sinA2sinB，c4， 2 a2 a2 C ，则ABC的面积为() 81616 38 3 A. B. C. D. 3333 3 -可编辑修改- 。 答案D 解析由 sinA2sinB，得a2b， 4 38 3 222 由cab2abcosC，得b，a. 33 18 3 SabsinC. 23 (2)已知a，b，c分别为ABC的内角A，B，C的对边，sinB2sinAsinC. 若ab，求 cosB； 设B90 ，且a 2，求ABC的面积 解由题设及正弦定理可得b2ac. 又ab，可得b2c，a2c. 2 2 a2c

11、2b21 由余弦定理可得 cosB . 2ac4 由题意知，b2ac. 因为B90 ，由勾股定理得acb. 故ac2ac，得ca 2. 1 所以ABC的面积Sac1. 2 题型四解三角形应用举例 例 4已知A，B两地间的距离为 10 km，B，C两地间的距离为 20 km，现测得ABC120 ， 则A，C两地间的距离为() A10 km C10 5 km 答案D 解析如图所示，由余弦定理可得， B10 3 km D10 7 km 22 222 2 AC2AB2BC22ABBC cosB700， 所以AC10 7(km) 感悟与点拨(1)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型 (

12、2)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解 (3)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等 跟踪训练 4如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山 顶D在西偏北 30 的方向上，行驶 600 m 后到达B处，测得此山顶在西偏北75 的方向上，仰 -可编辑修改- 。 角为 30，则此山的高度CD_m. 答案100 6 解析由题意，在ABC中，BAC30， ABC18075105， 故ACB45. 又AB600 m， 600BC 故由正弦定理得， sin 45sin 30 解得BC300 2 m. 在 RtBCD中， CDBCtan 3030

13、0 2 3100 6(m) 3 一、选择题 1(2018 年 6 月学考)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B45，C30， c1，则b等于() A. 23 B. C. 2 D. 3 22 答案C 2ABC中，若a1，c2，B60，则ABC的面积为() 13 A. B. C1 D. 3 22 答案B 1133 解析SacsinB 12. 2222 3已知ABC中，a4，b4 3，A30，则B等于() A60 C60或 120 答案C B30 D30或 150 -可编辑修改- 。 ab3 解析根据正弦定理，得 sinB， sinAsinB2 又ab,0B180，B60或 120

14、. 4在ABC中，已知abbcc，则角A为() A.3 2 C. 3 答案C 解析由abbcc， 得bcabc， 222 222 222 B.6 2 D. 或 33 b2c2a21 由余弦定理得 cosA ， 2bc2 2 0A，A. 3 5如图所示，为测一树的高度，在地面选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为 30，45，且A，B两点之间的距离为 60 m，则树的高度为() A(3030 3)m C(1530 3)m 答案A 解析由正弦定理可得， sin4530sin 30 1 602 解得PB， sin4530 又 sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 3

15、0 所以hPBsin 45 (3030 3)m. 6在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知 8b5c，C2B，则 cosC的值 为() 30 sin 45 sin4530 6 2 ， 4 B(3015 3)m D(1515 3)m ABPB -可编辑修改- 。 7 A.25 7 C25 答案A 解析由正弦定理， sinBsinC 7 B25 24 D.25 bc 8b 5b 将 8b5c及C2B代入得， sinBsin 2B 8 51 化简得， sinB2sinBcosB 4 则 cosB ， 5 74 22 cosCcos 2B2cosB12 1. 255 cb 2A 7在

16、ABC中，已知 sin ，则ABC的形状为() 22c A等腰三角形 C等腰直角三角形 答案B B直角三角形 D等边三角形 cb 2A 解析因为 sin ， 22c 1cosAcb 所以. 22c 1cosAsinCsinB 利用正弦定理得， 22sinC 化简得 sinCsinCcosAsinCsinB， 所以 sinCcosAsinBsin(AC) sinAcosCcosAsinC， 所以 sinAcosC0. 又 sinA0，所以 cosC0， 又C(0，)，所以C ， 2 所以ABC为直角三角形 8在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，如果 2bac，B30，ABC的面积 -

17、可编辑修改- 。 为3 2，则 b等于() A1 3B.1 3 2 C.2 3 2 D2 3 答案A 解析由1 2acsin 30 3 2，得 ac6， 由余弦定理得b2a2c22accos 30 (ac)22ac 3ac 4b2126 3，b 31. 9在ABC中，若a2b22c2，则 cosC的最小值为() A. 3 2 B. 2 2 C.1 2 D1 2 答案C 解析在ABC中，a2b22c2， 由余弦定理得， 2 2 a2b2c2 ab2a b2 cosC 2 2ab 2ab a 2b2 4ab 2ab 4ab 1 2(当且仅当 ab时取等号)， cosC的最小值为1 2. 10已知A

18、BC的面积为 3 2 ，AC 3，ABC 3，则ABC 的周长等于( A.3 3 2 B3 3 C2 3D3 3 答案D 解析由题意，可得1 2ABBCsinABC 3 2 ， 即1 2ABBC 33 2 2 ， -可编辑修改- ) 。 所以ABBC2. 再由余弦定理可得 AC2AB2BC22ABBCcos ABBC2，即ABBC5， 得(ABBC) ABBC2ABBC 549， 所以ABBC3. 所以ABC的周长等于ABBCAC3 3， 故选 D. 二、填空题 11在ABC中，若角A，B，C成等差数列，则B_， 4 答案 33 解析由AC2B且ABC，B ， 3 222 2222 3 ac _. bsinAsinC 2 acsinAsinC14 2 . 2bsinAsinC sinBsinAsinCsinB3 2 12已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a 3，b1，cosC 则 sinB_. 答案 3 3 3， 3 解析由题意和余弦定理可得， c2a2b22abcosC( 3)212 31 c 2，0C，cosC sinC 6， 3 1 3， 3 32， 3 由正弦定理得 sinBbsin C c 6 33 . 3 2 3 13已知锐角三角形ABC的面积为 ，且b2，c 3，则A_. 2 -可编辑修改- 。